Рациональные степени (определения, терминология)

[Lion]

На мой взгляд, если в уравнении содержится выражение вида $f(x)^{g(x)}$, то это автоматически означает, что $f(x)>0$. Другое дело, если мы проводим арифметические вычисления. В этом случае обычно не задумываются над измениями ОДЗ.

[Бор]

Дело в том, что корень - значение, при подстановке которого в ур-е получается верное равенство. У нас это верно. -2 - удовл.

[незваный гость]

Lion писал(а):

На мой взгляд, если в уравнении содержится выражение вида $f(x)^{g(x)}$, то это автоматически означает, что $f(x)>0$. Другое дело, если мы проводим арифметические вычисления. В этом случае обычно не задумываются над измениями ОДЗ.

У меня по-прежнему два вопроса:

1) Почему Вы исключаете $f(x) = 0$? Т.е. ООФ вообще говоря, не есть минимальная область, в которой определена каждая из операций, входящих в выражение. ООФ, как я ее понимаю (если она не оговорена явно) суть подмножество области, из которой действует функция, при котором ее значение вычислимо. (Я говорю об области, хотя обычно в школьных задачах подразумевается $\mathbb R$.)

2) (вытекает логичным образом из первого: ) Почему $x^{x+4}$, заданная на $\mathbb Z$, не следует рассматривать при отрицательных значениях? На мой взгляд (отнюдь не абитуриентский), это функция определена всюду. Ну да, ее нельзя распространить на $\mathbb R$ (хорошо), так что ж? $|x|$ нельзя распространить аналитически на $\mathbb C$, но из-за этого никто не отказывается от ее рассмотрения.

В целом, наверное, тут имеет место быть разница между математикой и весьма специфическим предметом под названием «матподготовка абитуриента» («школьный курс»).

[Lion]

Бор писал(а):

Дело в том, что корень - значение, при подстановке которого в ур-е получается верное равенство. У нас это верно. -2 - удовл.

Это утверждение неверно. Все корень --- это значение из ОДЗ, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство. В частности, для уравнения $x^{x+4}=4$ ОДЗ есть $x>0$, поэтому число -2 не является корнем.
Другой пример: уравнение $\sqrt{x}=\sqrt{x}$. С одной стороны, оно приводится к виду 0=0, однако согласитесь, неверно утверждать, что решениями будут все вещественные числа.

незваный гость писал(а):

Почему Вы исключаете $f(x)=0$?

По определению ОДЗ для степенного выражения. Например, функция $g(x)$ может принимать отрицательные значения и тогда получится деление на 0.

незваный гость писал(а):

Почему $x^{x+4}$, заданная на $\mathbb{Z}$, не следует рассматривать при отрицательных значениях?

На $\mathbb{Z}$ это выражение рассматривать можно. И если мы решаем уравнение $x^{x+4}=0$ в целыхчислах, то -2 --- решение.

[Бор]

Извините, Lion.
x^(1/2)=x^(1/2) согласен. Решения - не все x принадлд. R. И действительно если подставить -2 , то (-2)^(1/2) не определено. Вы утверждаете, что при x=-2 функция не существует? Я не согласен.
(-2)^(-2+4)=4. Как видите, существует. Значит -2 - значение ДОПУСТИМОЕ, т.е. принадлежит ОДЗ. Здесь мы имеем дело не только с показатьной функцией, но и со степенной.
И второе.
f(x)=0 исключать нельзя, т.к 0^p, где p>0 определен. И рассматривается система f(x)=0 и p>0. Но в нашем примере это не нужно, т.к 0^p<>4.
Полностью согласен с незваным гостем!

[Lion]

А я не согласен.
Еще раз повторю: если подходить с позиций школьной математики, то есть правило: наличие выражения $f(x)^{g(x)}$ означает, что $f(x)>0$. Нипочему. Просто такое правило.
Другое дело, если мы подойдем к этому с позиции математики высшей. На здесь все сложнее, поскольку $a^x$ --- функция многозначная, и тогда решать школьные уравнения нельзя.
Поэтому я продолжаю настаивать, что число -2 не является корнем уравнения $x^{x+4}=0$, если мы решаем уравнение в действительных числах. И на любом экзамене Вам скорее всего скажут то же самое.

[Бор]

Lion писал(а):

если подходить с позиций школьной математики

Вообще то я уже писал:

Bor писал(а):

Ну а если отвлечься от того, что это случилось на экзамене. Как там действовать я уже понял.
А вообще, математика - точная наука. Получается мы уравнение не до конца решили, ибо есть отрицателный корень, нами не найденный. Существует ли способ решения таких уравнений, найдя ВСЕ корни? Я не знаю, может это в институте проходят. Или в XXI математики еще не знают как это сделать.

Вот мой вопрос.

Добавлено спустя 21 минуту 26 секунд:

Lion писал(а):

Нипочему. Просто такое правило.

Не следует путать ОДЗ и правило. ОДЗ (Область ДОПУСТИМЫХ значений). -2 - значение ДОПУСТИМОЕ, доказано выше. Если функция в -2 существует, то какой может быть вообще разговор об ОДЗ в этой точке.

[Lion]

Бор писал(а):

Lion писал(а):

Нипочему. Просто такое правило.

Не следует путать ОДЗ и правило. ОДЗ (Область ДОПУСТИМЫХ значений). -2 - значение ДОПУСТИМОЕ, доказано выше. Если функция в -2 существует, то какой может быть вообще разговор об ОДЗ в этой точке.

Повторяю в третий раз и последний. Есть правило: ОДЗ выражения $f(x)^{g(x)}$ есть $f(x)>0$. Поэтому рассматривать это выражение при $f(x)\leq 0$ некорректно!

В ответ на Ваш вопрос: иного способа решения задачи не существует. Мы и нашли ВСЕ корни.

[Руст]

А я продолжаю считать, что -2 корень, даже с точки зрения школьной математики.
Выражение $f(x)^{g(x)}$ определено, если выполняется одно из 3
1.f(x)>0 (g(x) - прозвольное).
2. f(x)=0, g(x)>=0 (g(x)=0 по соглашению),
3. f(x)<0, g(x) целое (более общо рациональное с нечётным знаменателем).
Последнийслучай с целым g(x) относится к школьной математике, нет многозначности. Более общий случай так же понятен школьнику (но для школьника по усмотрению).

[Бор]

Дорогой Lion. Я думаю, что мы с вами люди умные и будем иметь кроме того, что написано в книжках и свое мнение. Ибо математика - это не история, и не обществознание. И когда мы говорим что-то об этой науке, то мы должны ПОНИМАТЬ, о чем мы говорим. Я не думаю, что человек учащийся на мехмате, не имеет представления об ОДЗ.
Попытайтесь прочитать дальнейшее и не стоять упрямо на том что кто-то написал в книжке, а, если не согласны, то поправьте меня.
f(x)=x^(1/2). ОДЗ =0,+беск. и это не случайно. Если мы возьмем
(-4)^(1/2) то это значение не определено, т.к нет такого числа, которое при возведении в квадрат давало бы -4! Согласны? Идемте дальше.
у нас -2 -определено, т.к. (-2)^2=4. Если вы не согласны с тем, что
(-2)*(-2)=4, то скажите:"Я не согласен. Будет другое число, но не 4". Если же вы так сказать не можете, то это значение функции в x=-2 равно 4 и только 4. А значит ОПРЕДЕЛЕНО, и, как следствие, принадлежит ОДЗ.
И второе.
В книжке написано f(x)>0, т.к. они хотят ограничить школьника нахождением только таких корней. Согласен, на экзамене НАДО решать так. И экзаменатор будет смотреть, учли ли мы это условие. Это правило равносильности, это НЕ ОДЗ. Но равновильность, которую проходят в школе отнюдь не означает, что найдутся ВСЕ КОРНИ и это НЕ СЛИЖАЕТ БАЛЛ на экзамене.
Вопрос в том не как себя надо вести на экзамене, а можно ли найти ВСЕ корни и, если да, то как?

[Lion]

Вы путаете два понятия: ОДЗ выражения и ОДЗ функции! Это разделение возникло не на пустом месте, как Вы думаете: иначе Вы просто не сможете решать неравенства и уравнения! Например, тогда Вы не сможете перейти от уравнения $f(x)^{g(x)}=h(x)$ к уравнению $g(x)\ln f(x)=\ln h(x)$.

[Бор]

Lion, поясните точно. ОДЗ какого выражения и ОДЗ какой функции?

[Lion]

Есть два понятия: выражение и функция. Одну и ту же запись, например, $x^{x+4}$, можно рассматривать как выражение, а можно как функцию.
Если это выражение, то действительно в точке -2 оно определено и равно 4.
Но если это функция, то в точке -2 ее рассматривать нельзя!
Дело в том, что выражение мы рассматриваем отдельно и можем только вычислять в какой-то точке, или упрощать его.
Когда мы решаем какое-то уравнение, то смотрим на него не как на выражение, а как на функцию! И решить уравнение означает найти нули функции. Поэтому если Вы встречаете уравнение $x^{x+4}=4$, то -2 нельзя считать его корнем.

[незваный гость]

Lion писал(а):

Повторяю в третий раз и последний. Есть правило: ОДЗ выражения $f(x)^{g(x)}$ есть $f(x)>0$. Поэтому рассматривать это выражение при $f(x)\leq 0$ некорректно!

ОК. Правило выяснили, отставим его в сторону.

Мне по-прежнему хотелось бы прояснить вопрос (с точки зрения математики, а не школьного курса, покрытого правилом):

Какова ООФ $f(x)^{g(x)}$, где задано (или очевидно), что $g(x) > 0$?

Пожалуй, я разобрался и согласился с Вашей позицией об отрицательных целых в ООФ $f(x)=x^x$.

[Бор]

Lion. Я бы с вами еще поспорил с выражение и функцией, но тема этого вопроса не другая. Я привел свое доказательство выше. Вы все покрыли правилом. Давайте так, если значение не принадл. ОДЗ, значит оно при подстановке в функцию не имеет смысла. Вы или не пишите ничего, или докажите, что (-2)^2 - не имеет смысла. Довольно!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Предлагайте свои решения.