2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 
Сообщение19.02.2007, 02:25 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/06
1265
Бор,
на этом форуме не принято указывать другим, что им делать. BTW, Lion свое решение предложил.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.02.2007, 02:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Позвольте мне пояснить свою точку зрения. $(-2)^2$, несомненно имеет смысл. И этот смысл мы придаем ему, рассматривая функцию $x^2$ при $x=-2$. Тоже самое относится к $(-2)^{-2}$.

Функция, которую мы рассматриваем, придавая смысл выражению, определяет свойства, которые мы ожидаем получить. Например, мы не можем говорить о значении $(-1)^{\frac13}$, поскольку мы ожидаем, что оно окажется таким же, как и $(-1)^{\frac26}$. Мы ожидаем определенного поведения при изменении показателя степени, аддитивном и мультипликативном. Но $x^y$ при неположительных $x$ этими свойствами не обладает.

Когда же мы рассматриваем $x^{-2}$, эти проблемы не появляются. Не появляются они и когда мы рассматриваем, скажем $x^x$ на множестве целых чисел, поскольку многие из операций выводят за пределы этого множества.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.02.2007, 09:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Правило, которое высказал RIP и которое я поддерживаю, можно довести до маразма. Вот
незваный гость писал(а):
:evil:
Позвольте мне пояснить свою точку зрения. $(-2)^2$, несомненно имеет смысл. И этот смысл мы придаем ему, рассматривая функцию $x^2$ при $x=-2$. Тоже самое относится к $(-2)^{-2}$.

А как Вы смотрите на эту функцию? Если как на показательную функцию с основанием $x$, то $x>0$, а если как на степенную, то ... опять $x>0$ по простой причине: а как мы станем формулировать правило, в зависимости от показателя, где какая ООФ? Единственная возможность допустить неположительные $x$ - это считать $x^2$ произведением: $x^2=x\cdot x$. :lol: Обычно так и считается без дополнительных пояснений. А вспомним теперь астроиду $x^{2/3} +y^{2/3}=1$. Что же ограничиться только положительными x и y?
Нет, не ограничиваемся и даже нуль допускаем, хотя и определили показательную функцию только при положительном основании.
Какого чёрта тащить весь этот разброд в допущениях на вступительные экзамены? Не хватает что ли задач, где нет таких нюансов? А единства в этом вопросе нет и среди членов приёмных комиссий.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.02.2007, 20:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Дело немного не в том, как мы определяем (и доопределяем функцию), а в том, какие свойства мы от нее ожидаем (иначе наш лучший друг — это датчик случайных чисел). Когда рассматривается $f(x) = x^2$, то от нее ожидается только мультипликативность по аргументу. Это очень важное свойство, особенно в связи с неоднозначностью записи рациональных (да и во всех остальных случаях жизни).

Когда же мы рассматриваем $f(x)=x^x$, нам нужны мультипликативные свойства как основания степени, так и показателя. Вот с последними-то и проблема: $f(x) = f(x/y)^y y^x$, но всегда ли определено $f(x/y)$?!?

А кривулька красивая, с удовольствием посмотрел. Только вот… :lol: Стал рисовать в Mathematica, перешел в полярные координаты и задал ParametricPlot, а он мне в ответ: хвункия определена только в первой четверти :( Пришлось модулей насовать…

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.02.2007, 00:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
незваный гость писал(а):
А кривулька красивая, с удовольствием посмотрел. Только вот… :lol: Стал рисовать в Mathematica, перешел в полярные координаты и задал ParametricPlot, а он мне в ответ: хвункия определена только в первой четверти :( Пришлось модулей насовать…


Мне кажется, что при написании уравнения астроиды неявно имеется в виду что-нибудь типа $\left(x^2\right)^{\frac 13}+\left(y^2\right)^{\frac 13}=1$, а $x^2$, как обычно для целых степеней, интерпретируется как $x\cdot x$. Если второе Mathematica понимает (а куда ей деваться?), то первое уже чересчур, поскольку общепринятым такое понимание рациональных степеней не является.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.02.2007, 00:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Someone писал(а):
$\left(x^2\right)^{\frac 13}+\left(y^2\right)^{\frac 13}=1$
или $\left(x^{\frac 13}\right)^2+\left(y^{\frac 13}\right)^2=1$. В любом случае, Вы правы. Я написал про Mathematica только потому, что уж больно совпало с обсуждаемой темой.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.02.2007, 13:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Во-во, человек, который sapiense - не пакет, он и модуль недостающий вставит и доопределит $x^\alpha$ в точке $x=0$, если $\alpha > 0$ :D
А к чему школьник приучен? Шаг влево, шаг вправо - это попытка к бегству, карается на месте.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.02.2007, 01:14 


20/01/06
107
RIP писал(а):
Руст писал(а):
Тем не менее, я не согласен и с RIPом.

Я рассказал не свою точку зрения, а то, чему меня учили в школе.


Наверно, плохо учили.

существует два независимых подхода к решению таких уравнений:

1. функциональный (тогда имеем степенно-показательную функцию)
2. метод полного поиска корней.

опять же на екзамене, просто следует указать какому подходу Вы придерживаетесь и решать этим методом. (решая вторым, я прошёл собесебование в университет ;)

итак, ответ такой: смотря какому подходу придерживаться... если функциональный -- то больше ограничений. но и более мощные методы, иначе, иногда, только перебор.

это похоже на аксиому выбора :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.02.2007, 13:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/11/06
696
мехмат
Поскольку я учился в школе совсем недавно, могу с уверенностью заявить: никакой "степенно-показательной функции" в школе не проходят, и я не понимаю, о каких "функциональных методах решения" Вы говорите. И что Вы называете "методом полного поиска корней"?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.02.2007, 00:43 


20/01/06
107
Lion писал(а):
Поскольку я учился в школе совсем недавно, могу с уверенностью заявить: никакой "степенно-показательной функции" в школе не проходят, и я не понимаю, о каких "функциональных методах решения" Вы говорите. И что Вы называете "методом полного поиска корней"?


И тем не менее в донецкой школе, где я учился, проходят. :)

А вообще, проблема тут не математическая, а скорее методологическая...

функциональный метод -- рассматрвать уравнения как равенство функций (поиск точек пересечений) и там уже различные вариации на тему: "функция_в_правой_части_монотонна_возрастает_ а_в_правой_монотонно_невозврастает_-_ значит_не_более_одного_решения"... и др. и пр.

второй метод -- не воспринимать уравнение как равенство функций (т.е., по сути, не использовать аппарат мананализа...)

разбил длинную строку // нг

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.02.2007, 06:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
4arodej писал(а):
второй метод -- не воспринимать уравнение как равенство функций (т.е., по сути, не использовать аппарат мананализа...)

Это сильно! Это круто! А что такое $2^{-2}$? Как Вы определяете смысл уравнения, если Вы обходите понятие функции?! Не непрерывной (…), а просто функции.

Я понимаю, что использовать методы матана не обязательно, но что все-таки находится в левой части $x^2+x=0$?

Предупреждая ответ «выражение»: а что такое выражение?

Lion писал(а):
"степенно-показательной функции"

Это, наверное, $f(x, y) = x^y$. :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.02.2007, 19:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/11/06
696
мехмат
4arodej писал(а):
второй метод -- не воспринимать уравнение как равенство функций (т.е., по сути, не использовать аппарат мананализа...)

Любое уравнение представляется в виде $f(x)=0$, где $f(x)$ --- некоторая функция. И решить уравнение --- здачит найти все нули этой функции. Иных соображений (подобно тем, которые обсуждались выше) быть не может.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.08.2007, 14:46 


04/02/06
122
СПИИРАН
незваный гость писал(а):
... но что все-таки находится в левой части $x^2+x=0$?


Неизвестное нам число. :)

Смысл уравнения в том и состоит, чтобы найти его (неизвестное число). А мы начинаем предполагать, что для каждого $x$ из некоторой области (которую, строго говоря, следовало бы задать заранее) левая часть уравнения получает своё значение, и нам необходимо найти такое $x$, чтобы (полученное) значение, стоящее в левой части, совпало со значением, стоящим в правой. При положительных $x$ (мы берём только вещественные значения) левая часть положительна и, поэтому, уравнение решений не имеет. Решение $x=0$ тривиально. Ещё одно решение: $x=-1$. Других решений среди отрицательных $x$ нет, поскольку при $x\in (-1,0)$ имеем $x^2<-x$, а при $x\in (-\infty, -1)$ имеем $x^2>-x$.

Это и есть полный перебор корней. Фактом анализа является то, полином второй степени с вещественными коэффициентами имеет не более двух корней, и то, что непрерывная функция принимает все свои промежуточные значения.

А если искать комплексные корни?

P.S. По идее, с $(-8)^\frac{1}{3}$ не должно быть никаких проблем. Но, почему-то у вас они возникли. Спрашивается, у кого что-то не так: 1) у меня; 2) в кого-то из вас; 3) в школьной математике? При естественном течении дел, сначала определяют корни, а уже потом --- их степени. Причём так, чтобы дробная степень представлялась несократимой дробью. Поэтому $(-8)^\frac{2}{6}$ --- это синоним для $(-8)^\frac{1}{3}$.

P.P.S. Это был мой экспромпт: посмотрим ещё, что я напишу по размышлении...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.08.2007, 17:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
OZH писал(а):
незваный гость писал(а):
но что все-таки находится в левой части $x^2+x=0$?
Неизвестное нам число.

Ну, ответим на сарказм … конструктивно. Тем, у кого в левой части неизвестное число, я сообщаю Великую тайну, скрывавшуюся математиками тысячелетиями: это число известно, оно — ноль.

Если Вы хотите продолжать, я задам Вам следующий вопрос: а что такое «неизвестное число» с точки зрения математики?

Мой ответ: в левой части стоит функция, и задача стоит а определении значений ее аргумента, при котором значение функции равно 0.

OZH писал(а):
(которую, строго говоря, следовало бы задать заранее)

Золотые слова. Школьная математика подразумевает, что эта область — вещественные числа, поскольку других не знает. На олимпиадах, впрочем, иногда говорят: «решить в целых числах».

OZH писал(а):
При естественном течении дел, сначала определяют корни, а уже потом --- их степени.

Это где Вы прочитали, про естественное течение? И каким образом нашли $(-8)^{1/6}$?

OZH писал(а):
Это был мой экспромпт: посмотрим ещё, что я напишу по размышлении...

Лучше не пишите, а почитайте что-нибудь. Например, что такое (формально) число, функция, операция, … Чтобы не фантазировать на эту тему.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.08.2007, 13:26 


04/02/06
122
СПИИРАН
незваный гость писал(а):
:evil:
Ну, ответим на сарказм … конструктивно.


Вы правильно уловили сарказм.

Цитата:
Тем, у кого в левой части неизвестное число, я сообщаю Великую тайну, скрывавшуюся математиками тысячелетиями: это число известно, оно — ноль.


Уравнение --- это всего лишь некое соотношение: при подстановке в уравнение искомого числа мы получим тождество. А можем и не получить за неимением решений. Левая часть уравнения $x^2=-1$ в вещественных числах никогда не сможет стать $-1$, тем не менее это уравнение корректно. Это уравнение показывает, что при определённых операциях мы выходим за пределы нашей алгебраической структуры.

Цитата:
Если Вы хотите продолжать, я задам Вам следующий вопрос: а что такое «неизвестное число» с точки зрения математики?


То, которое надо найти.

Цитата:
Мой ответ: в левой части стоит функция, и задача стоит а определении значений ее аргумента, при котором значение функции равно 0.


Это лишь одна из возможных интерпретаций.

Цитата:
Школьная математика подразумевает, что эта область — вещественные числа, поскольку других не знает.


Я учился в самой что ни есть средней школе. Но знавал комплексные числа. До сих пор жив.

Цитата:
И каким образом нашли $(-8)^{1/6}$?


Undefined symbol.

Цитата:
Это был мой экспромпт: посмотрим ещё, что я напишу по размышлении...

Лучше не пишите, а почитайте что-нибудь.
Цитата:

Читаем...

Цитата:
Например, что такое (формально) число, функция, операция, …


О-о! Это благодатная тема! Можно затронуть. Продолжим?

Цитата:
Чтобы не фантазировать на эту тему.


Вместо фантазий можно предложить выводить математические крючочки. Или, хотя бы, рассуждения. Начать?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 46 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group