Как применять теорему Лефшеца простым смертным?

[Padawan]

Oleg Zubelevich в сообщении #542792 писал(а):

только не сформулируйте чего-нибудь такого, из чего теорема Коти (см. выше) будет следовать

Почему? Я же не говорю, что это будет легко доказать. Просто гипотеза.

[Oleg Zubelevich]

ну я думал, что мы тут в окрестности стартового поста обсуждаем т.е. какие-то относительно учебные вопросы

[Nimza]

Oleg Zubelevich в сообщении #542792 писал(а):

тоже хорошо -- дерево есть ретракт шара

Что-то не особо очевидно. Как ретракцию в произвольном случае строить?

[Oleg Zubelevich]

как раз очевидно, но формальное доказательство может потребовать усилий. я его не продумывал

[Padawan]

Индукцией по количеству вершин вроде несложно

[hippie]

Nimza в сообщении #542747 писал(а):

Доказать, что у любого непрерывного отображения в себя пространства, ретрагируемого в точку, есть неподвижная точка.

Напоминает упражнение, которое мне попалось в 1986 году:
Доказать что любой* компактный абсолютный ретракт обладает свойством неподвижной точки.
* Именно любой, а не только метризуемый!

Поскольку компактный абсолютный ретракт является ретрактом тихоновского кирпича, достаточно доказать, что тихоновский кирпич (каждый, т.е. сколь угодно большого веса) обладает свойством неподвижной точки.
А это легко выводится из теоремы Брауэра.

PS Если не ошибаюсь, выпуклые компактные подмножества локально выпуклых ЛТП являются абсолютными ретрактами, и в 80-е годы это уже было известно. (Кажется, это доказал Дугунджи в середине XX века.) Таким образом, если я не напутал, то для локально выпуклых ЛТП доказательство теоремы Cauty известно давно. Тогда интересно было бы узнать, до какого класса ЛТП расширил эту теорему Cauty.

PPS А можно узнать формулировку Теоремы Лефшеца, на которую Вы ссылаетесь. К сожалению, я её не знаю .

PPPS После решения упомянутого выше упражнения у меня возникло предположение, что каждый гомотопически тривиальный компакт обладает свойством неподвижной точки. Провозился с этим предположением около месяца, но ни доказать ни построить контрпример так и не смог.

[Nimza]

hippie в сообщении #542897 писал(а):

А можно узнать формулировку Теоремы Лефшеца

Пусть $X$ -- компактное, триангулируемое (т.е. гомеоморфное некоторому полиэдру) топологическое пространство. Пусть $f \colon X \to X$ -- непрерывное отображение. Определим число Лефшеца как

$$ \Lambda_f = \sum\limits_{k \geqslant 0} (-1)^k \mbox{ Tr } (f_* \colon H^k (X,\mathbb{Q}) \to H^k (X,\mathbb{Q}) ) $$

Теорема. Если $\Lambda_f \neq 0$, то у $f$ есть неподвижная точка.

[Oleg Zubelevich]

hippie в сообщении #542897 писал(а):

Таким образом, если я не напутал, то для локально выпуклых ЛТП доказательство теоремы Cauty известно давно.

и называется теоремой Шаудера-Тихонова

hippie в сообщении #542897 писал(а):

до какого класса ЛТП расширил эту теорему Cauty

до хаусдорфовых

[hippie]

Nimza в сообщении #542906 писал(а):

hippie в сообщении #542897 писал(а):

А можно узнать формулировку Теоремы Лефшеца

Пусть $X$ -- компактное, триангулируемое (т.е. гомеоморфное некоторому полиэдру) топологическое пространство. Пусть $f \colon X \to X$ -- непрерывное отображение. Определим число Лефшеца как

$$ \Lambda_f = \sum\limits_{k \geqslant 0} (-1)^k \mbox{ Tr } (f_* \colon H^k (X,\mathbb{Q}) \to H^k (X,\mathbb{Q}) ) $$

Теорема. Если $\Lambda_f \neq 0$, то у $f$ есть неподвижная точка.

С этого и нужно было начинать! Теорема применима только к компактным, гомеоморфным некоторому полиэдру, пространствам. В этом случае (учитывая, что каждый полиэдр является метризуемым абсолютным окрестностным ретрактом) утверждение полностью покрывается свойством неподвижной точки у каждого абсолютного ретракта.
Через теорему Лефшеца, для таких пространств, результат тоже легко получается. Гомотопические ретракции сохраняют все гомотопические и гомологические группы. Следовательно, достаточно проверить, что у одноточечного пространства $\Lambda_f \neq 0.$

Oleg Zubelevich в сообщении #542910 писал(а):

hippie в сообщении #542897 писал(а):

Таким образом, если я не напутал, то для локально выпуклых ЛТП доказательство теоремы Cauty известно давно.

и называется теоремой Шаудера-Тихонова

hippie в сообщении #542897 писал(а):

до какого класса ЛТП расширил эту теорему Cauty

до хаусдорфовых

Большое спасибо за информацию!!! Результат о хаусдорфовых пространствах для меня совершенно неожиданный!!!!! И (на мой взгляд) очень красивый!!!!!

[Padawan]

hippie в сообщении #542897 писал(а):

PPPS После решения упомянутого выше упражнения у меня возникло предположение, что каждый гомотопически тривиальный компакт обладает свойством неподвижной точки. Провозился с этим предположением около месяца, но ни доказать ни построить контрпример так и не смог.

А некто Kinoshita смог :)

Nimza в сообщении #542780 писал(а):

Вот нашёл

Цитата:

In 1932 Borsuk asked whether compactness together with contractibility could be a necessary and sufficient condition for the FPP to hold. The problem was open for 20 years until the conjecture was disproved by Kinoshita who found an example of a compact contractible space without the FPP.

Поэтому я и говорю, что нужны дополнительные условия типа локальной связности. Интересно бы на пример этого Киношиты посмотреть.

[alcoholist]

Nimza в сообщении #542780 писал(а):

Вот нашёл

Цитата:
In 1932 Borsuk asked whether compactness together with contractibility could be a necessary and sufficient condition for the FPP to hold. The problem was open for 20 years until the conjecture was disproved by Kinoshita who found an example of a compact contractible space without the FPP.

судя по всему, пространство из примера не триангулируемо

-- Вс фев 26, 2012 21:45:15 --

но ТС спрашивал "можно ли без клеточной или симплициальной техники выяснить ненулёвость числа Лефшеца"... это вопрос

[Nimza]

Хех, если $X$ -- триангулируемо, компактно и стягиваемо в точку и $f \colon X \to X$ непрерывно, то $\Lambda_f = 1$.

[Padawan]

Вот пример Киношиты http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm40/fm4019.pdf