Как применять теорему Лефшеца простым смертным?

[Nimza]

Чтобы устанавливать наличие неподвижных точек отображений $f \colon X \to X$ с помощью теоремы Лефшеца (отличие числа Лефшеца от нуля), нужно уметь вычислять следы операторов $f_{*} \colon H_k(X,\mathbb{Q}) \to H_k (X,\mathbb{Q})$. Но судя по тому, что тут используются гомологии, которые я не знаю, шансов научиться делать это по определению за разумное время мало. Есть ли обходной способ вычисления числа Лефшеца?

Мне это нужно, чтобы доказать, что у любого непрерывного отображения в себя пространства, ретрагируемого в точку есть неподвижная точка, а для пространства, ретрагируемого в окружность или в восьмёрку её может не быть.

[Oleg Zubelevich]

Nimza в сообщении #542747 писал(а):

Мне это нужно, чтобы доказать, что у любого непрерывного отображения в себя пространства, ретрагируемого в точку есть неподвижная точка

вот я так понимаю, что непрерывный ретракт интервала $(-1,1)$ в точку существует, однако...

[Nimza]

Вроде бы теорема Лефшеца работает с компактными топологическими пространствами http://en.wikipedia.org/wiki/Lefschetz_fixed-point_theorem. Так что тут примерами топологических пространств можно взять буквы в шрифте с засечками, для которых благодаря этой теореме засечки можно спокойно убрать и ничего не изменится.

[Oleg Zubelevich]

А я не про теорему Лефшеца, а про то, что Вы написали. Т.е. Вы хотите сказать, что любое компактное топологическое пространство $X$, для которого существует ретракт в точку обладает тем свойством, что непрерывное отображение $f:X\to X$ имеет неподвижную точку?

[Padawan]

Ну в точку-то любое ретрагируется. Наверное, имеется ввиду деформационная ретрагируемость,то есть стягиваемость в точку.

[Oleg Zubelevich]

Хорошо, пусть деформационная. Разве в этом случае утверждение верно?

[Padawan]

Мне оно кажется подозрительно сильным. Мы бы знали :)

[Oleg Zubelevich]

во-во

-- Вс фев 26, 2012 13:53:04 --

подозреваю, что в конечномерном случае, если пространство (компактное) стягивается в точку то оно гомеоморфно шару

[Nimza]

Вот нашёл

Цитата:

In 1932 Borsuk asked whether compactness together with contractibility could be a necessary and sufficient condition for the FPP to hold. The problem was open for 20 years until the conjecture was disproved by Kinoshita who found an example of a compact contractible space without the FPP.

[Padawan]

Nimza в сообщении #542780 писал(а):

Вот нашёл

Цитата:

In 1932 Borsuk asked whether compactness together with contractibility could be a necessary and sufficient condition for the FPP to hold. The problem was open for 20 years until the conjecture was disproved by Kinoshita who found an example of a compact contractible space without the FPP.

Жаль, было бы красиво.

-- Вс фев 26, 2012 16:16:08 --

Oleg Zubelevich в сообщении #542776 писал(а):

во-во
подозреваю, что в конечномерном случае, если пространство (компактное) стягивается в точку то оно гомеоморфно шару

Да не. Любой граф без петель (т.е. дерево) стягиваемо. В википедии увидел пример получше -- гребенка http://mathworld.wolfram.com/CombSpace.html.

[Nimza]

Может быть, хоть в конечномерном случае что хорошее выйдет, как заметил Oleg Zubelevich. В плане наличия неподвижных точек у конечномерных компактов, стягиваемых в точку.

[Oleg Zubelevich]

Cauty доказал в 2001 году великую теорему, что всякое линейное топологическое пространство ( с минимальными условиями типа отделимости) обладает свойством Шаудера: непрерывное отображение всякого выпуклого компакта в себя имеет неподвижную точку.

[Padawan]

Может, если на компакт есть дополнительные ограничения типа локальной связности, локальной стягиваемости, "многообразности" и т.д. утверждение будет верно. Не зря же пример так долго не моги построить. А конечномерность тут не принципиальна, я думаю.

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #542783 писал(а):

а не. Любой граф без петель (т.е. дерево) стягива

тоже хорошо -- дерево есть ретракт шара, стало быть будет и неподвижная точка

-- Вс фев 26, 2012 14:26:03 --

Padawan в сообщении #542790 писал(а):

есть дополнительные ограничения типа локальной связности, локальной стягиваемости, "многообразности" и т.д. утверждение будет верно. Не зря же пример так долго не моги построить. А конечномерность тут не принципиальна, я думаю.

только не сформулируйте чего-нибудь такого, из чего теорема Коти (см. выше) будет следовать

[Nimza]

В принципе, большая часть букв представляет собой деревья. Так что для всех них есть неподвижная точка. А вот правда ли что любой связный граф с циклом не обладает свойством неподвижной точки?