Трапеция. Хватает ли условий в задаче?

[ewert]

При любой из двух интерпретаций условия трапеция однозначно определяется положением точки $O$ на диагонали $BD$ (если учесть, что треугольник $BED$ фиксирован).

Если (как на рисунке) $AD\parallel BC$, то скольжение точки $O$ вдоль $BD$ вниз увеличивает оба отрезка второй диагонали -- и, следовательно, задача некорректна.

Если, наоборот, $AB\parallel DC$, то при аналогичном скольжении основание $AB$ увеличивается ровно настолько же, насколько уменьшается другое основание $DC$, и это при фиксированной высоте $BD$, поэтому площадь остаётся постоянной. Следовательно, достаточно рассмотреть предельный случай, когда точки $O$, $C$ и $D$ сливаются в одну, т.е. когда трапеция вырождается в прямоугольный треугольник. Ну с ним уже всё ясно.

[lampard]

ewert в сообщении #541993 писал(а):

При любой из двух интерпретаций условия трапеция однозначно определяется положением точки $O$ на диагонали $BD$ (если учесть, что треугольник $BED$ фиксирован).

Если (как на рисунке) $AD\parallel BC$, то скольжение точки $O$ вдоль $BD$ вниз увеличивает оба отрезка второй диагонали -- и, следовательно, задача некорректна.

Если, наоборот, $AB\parallel DC$, то при аналогичном скольжении основание $AB$ увеличивается ровно настолько же, насколько уменьшается другое основание $DC$, и это при фиксированной высоте $BD$, поэтому площадь остаётся постоянной. Следовательно, достаточно рассмотреть предельный случай, когда точки $O$, $C$ и $D$ сливаются в одну, т.е. когда трапеция вырождается в прямоугольный треугольник. Ну с ним уже всё ясно.

Спасибо. Вот это не очень понял.
Если, наоборот, $AB\parallel DC$....

Можете, пожалуйста подробнее описать механизм скольжения (допустим скользит точка О вдоль какой-либо прямой, а что происходит с вершинами А и С, они же не останутся на месте?) , а то у меня в прямоугольный треугольник почему-то не получается. Там два прямые угла должны наложиться друг на друга?

[ewert]

lampard в сообщении #542007 писал(а):

а что происходит с вершинами А и С, они же не останутся на месте?) ,

Не останутся. Но двигаться будут синхронно. Ведь это две точки пересечения некоторой прямой с двумя фиксированными прямыми (проходящими через правую и через левую стороны) в условиях, когда направление этой движущейся прямой тоже фиксировано --её перпендикулярностью другой диагонали.

[lampard]

spaits в сообщении #541979 писал(а):

hippie в сообщении #541423 писал(а):

Уважаемый spaits, из вашего утверждения следует, что это одна и та же трапеция.
Попробуйте это доказать. Или, хотя бы, доказать, что эти две трапеции имеют одинаковую площадь.

На рисунке, данном в условии задачи $AB$ параллельно $CD$, правда это не оговорено в условии.
Если это не оговорено, то два решения.

Ок, я попробую рассмотреть случай $AB$параллельно $CD$



Треугольники $ABO$ и $OCD$ подобны по двум углам.

Сейчас запишу вспомогательные выражения-уравнения.

$BD=BO+OD=15$ (1)

$AB=BE+EA=9+EA$ (2)

$k=\dfrac{BO}{OD}=\dfrac{AO}{OC}=\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{9+EA}{CD}$ (3)

из (1) и (3) следует, что $BD=(1+k)OD$

$AB=kCD$

На этом фантазия исчерпывается...

-- 23.02.2012, 19:22 --

ewert в сообщении #542008 писал(а):

lampard в сообщении #542007 писал(а):

а что происходит с вершинами А и С, они же не останутся на месте?) ,

Не останутся. Но двигаться будут синхронно. Ведь это две точки пересечения некоторой прямой с двумя фиксированными прямыми (проходящими через правую и через левую стороны) в условиях, когда направление этой движущейся прямой тоже фиксировано --её перпендикулярностью другой диагонали.

А скольжение будет вдоль $BD$ или $AC$?

[gris]

Предлагаю компромиссный вариант — ромб. Тоже как бы трапеция, где каждая сторона — основание. Вы и намекали на это в первом сообщении. И подобие там есть.

Кстати, для четырёхугольников с перпендикулярными диагоналями площадь действительно равна половине произведения длин диагоналей.

[lampard]

Попытка рассмотреть вырожденный случай, когда $AB||CD$ и точка $O$ сливается с $C$ и $D$

Покрутив трапецию, пришел к выводу, что такой должен быть рисунок.



Пусть та вершина будет $C$ (чтобы не перечислять множество ее имен)

По двум углам треугольники $ABC$ и $BEC$ подобны.

$\dfrac{15}{AC}=\dfrac{15}{AE+9}=\dfrac{12}{AE}$

$15AE=12(9+AE)$

$5AE=4AE+36$

$AE=36$ (это много, однако)

$AC=45$

$S=\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot EB=\dfrac{1}{2}\cdot 45\cdot 12=45\cdot 6=270$

Тогда площадь трапеции $270$. Правильно?

-- 23.02.2012, 20:00 --

gris в сообщении #542011 писал(а):

Предлагаю компромиссный вариант — ромб. Тоже как бы трапеция, где каждая сторона — основание. Вы и намекали на это в первом сообщении. И подобие там есть.

Кстати, для четырёхугольников с перпендикулярными диагоналями площадь действительно равна половине произведения длин диагоналей.

Все равно же площадь этого ромба должна будет быть равна площади трапеции с основаниями $AB$ и $CD$ и площади того вырожденного треугольника?

[gris]

Да, будет равна.
Но Ваши сомнения не напрасны. 36 это и вправду многовато.
Отношения выписаны неверно. Лучше найдите $AB$.

[lampard]

gris в сообщении #542028 писал(а):

Да, будет равна.
Но Ваши сомнения не напрасны. 36 это и вправду многовато.
Отношения выписаны неверно. Лучше найдите $AB$.

Ок, спасибо, Пифагор подсказал следующее:

$AB^2=AC^2-CB^2=(AE+9)^2-15^2$

$AB^2=AE^2+EB^2=AE^2+12^2$

$AE^2+18AE+81=AE^2+144$

$18AE=144-81$

$18AE=63$

$2AE=7$

$AE=3,5$

$AC=12,5$

$S=\dfrac{1}{2}12,5\cdot 12=\dfrac{25\cdot 6}{2}=75$

Что-то все равно без $AB$ обошлось...

-- 23.02.2012, 20:58 --

Кстати, а при такой формулировке - можно ли было бы однозначно определить площадь?

Найти площадь трапеции, если $CD=15$ и $BE=9$. $BC||AD$


Если - до как, я уж и этот вариант пытался разобрать, но никак не получилось. Если можно - то хотелось бы такой вариант разобрать. С чего следует начать решение?

[gris]

Вы прямо фокусник. И не уследишь, где там туз из рукава выскочил. Не в третьей ли строчке.
Тщательнее считайте. Вдумчивее.
Пока неправильно.

А вообще привели бы Вы текст задачи. Наверняка там никакого чертежа не было.

[lampard]

gris в сообщении #542041 писал(а):

Вы прямо фокусник. И не уследишь, где там туз из рукава выскочил. Не в третьей ли строчке.
Тщательнее считайте. Вдумчивее.
Пока неправильно.

А вообще привели бы Вы текст задачи. Наверняка там никакого чертежа не было.

$AB^2=AC^2-CB^2=(AE+9)^2-15^2$

$AB^2=AE^2+EB^2=AE^2+12^2$

$AE^2+18AE+81-225=AE^2+144$

$18AE=144-81+225=288$

$18AE=288$

$AE=16$

$AC=25$

$S=\dfrac{1}{2}25\cdot 12=\dfrac{50\cdot 6}{2}=150$

Что-то все равно без $AB$ обошлось...

-- 23.02.2012, 22:01 --

Текст задачи:

$ABCD$ - трапеция

$EB=9$

$BD=15$

+ рисунок, из которого видно, то $BC||AD$ , рисунок привел без искажений.

И больше ни единого словечка!

Может была перепутана сторона, вот я и спрашиваю...

[ewert]

lampard в сообщении #542057 писал(а):

+ рисунок, из которого видно, то $BC||AD$ ,

ну тут уже не один раз говорилось, что при этой интерпретации задачка явно некорректна.

А при альтернативной -- уже у Вас какое-то явное занудство. Есть один катет прямоугольного треугольника, и есть смежная с этим катетом высота; этого и достаточно. Так зачем же ещё на полторы страницы растягивать вычисление его площади?...

[gris]

Вот теперь правильно.
Насчёт $AB$ я предполагал из подобия двух маленьких треугольников написать $\dfrac {AB}{15}=\dfrac{12}{9}; \quad S=0,5\cdot AB\cdot 15=150$
А с рисунком, наверное, перепут вышел. Мало ли опечаток бывает. Главное — разобраться в задаче.
А всё-таки ромб лучше!

[lampard]

ewert в сообщении #542061 писал(а):

lampard в сообщении #542057 писал(а):

+ рисунок, из которого видно, то $BC||AD$ ,

ну тут уже не один раз говорилось, что при этой интерпретации задачка явно некорректна.

А при альтернативной -- уже у Вас какое-то явное занудство. Есть один катет прямоугольного треугольника, и есть смежная с этим катетом высота; этого и достаточно. Так зачем же ещё на полторы страницы растягивать вычисление его площади?...

Да, я помню ,что говорилось про значок этот и какие ситуации рассматривали. А растягивать - чтобы уметь решать подобные задачи при различных формулировках..

-- 23.02.2012, 23:11 --

gris в сообщении #542065 писал(а):

Вот теперь правильно.
Насчёт $AB$ я предполагал из подобия двух маленьких треугольников написать $\dfrac {AB}{15}=\dfrac{12}{9}; \quad S=0,5\cdot AB\cdot 15=150$
А с рисунком, наверное, перепут вышел. Мало ли опечаток бывает. Главное — разобраться в задаче.
А всё-таки ромб лучше!

Спасибо.

(Оффтоп)

С ромбом все просто. Одна диагональ 24, другая 15, а значит площадь - $S=12\cdot 15=180$

Ой, я погорячился, сейчас исправлюсь

$AB=20$

$CO=20^2-7,5^2=...$

$S=BD\cdot CO$

Ой, какие-то плохие числа...

[lampard]

Да, кстати. В условии сказано, что именно трапеция. Если мы будем рассматривать случай $AD\parallel BC$, то нужно доказать, что при скольжении вдоль точки $O$ фигура не вырождается в параллелограмм.

У нас фигура не должна превращаться в параллелограмм, так как у трапеции две стороны не параллельны.

Как доказать, что они не параллельны? Можно так?

Вот мы была у нас трапеция $ABCD$ мы сдвинули точки $A\to A'$ и $C\to C'$ и у нас получился параллелограмм $A'BC'D$ (что не подходит под условия задачи). Мы сдвинули $C'\to C''$ и $A'\to A''$ и теперь нужно доказать, что $DC''$ не параллельна $A''B$



Можно ли доказать от противного так:

Пусть $DC''\parallel FB$ и $DC'\parallel BF$, тогда по аксиоме о параллельности третьей прямой $DC'\parallel DC''$

А это не так, так как эти прямые имеют общую точку $B$ (или же эти прямые совпадают, тогда точка $A'$ не сместилась в $A''$) Похоже на правду?

[lampard]

ну вот....