2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Трапеция. Хватает ли условий в задаче?
Сообщение23.02.2012, 18:22 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
При любой из двух интерпретаций условия трапеция однозначно определяется положением точки $O$ на диагонали $BD$ (если учесть, что треугольник $BED$ фиксирован).

Если (как на рисунке) $AD\parallel BC$, то скольжение точки $O$ вдоль $BD$ вниз увеличивает оба отрезка второй диагонали -- и, следовательно, задача некорректна.

Если, наоборот, $AB\parallel DC$, то при аналогичном скольжении основание $AB$ увеличивается ровно настолько же, насколько уменьшается другое основание $DC$, и это при фиксированной высоте $BD$, поэтому площадь остаётся постоянной. Следовательно, достаточно рассмотреть предельный случай, когда точки $O$, $C$ и $D$ сливаются в одну, т.е. когда трапеция вырождается в прямоугольный треугольник. Ну с ним уже всё ясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трапеция. Хватает ли условий в задаче?
Сообщение23.02.2012, 19:12 


05/12/11
245
ewert в сообщении #541993 писал(а):
При любой из двух интерпретаций условия трапеция однозначно определяется положением точки $O$ на диагонали $BD$ (если учесть, что треугольник $BED$ фиксирован).

Если (как на рисунке) $AD\parallel BC$, то скольжение точки $O$ вдоль $BD$ вниз увеличивает оба отрезка второй диагонали -- и, следовательно, задача некорректна.

Если, наоборот, $AB\parallel DC$, то при аналогичном скольжении основание $AB$ увеличивается ровно настолько же, насколько уменьшается другое основание $DC$, и это при фиксированной высоте $BD$, поэтому площадь остаётся постоянной. Следовательно, достаточно рассмотреть предельный случай, когда точки $O$, $C$ и $D$ сливаются в одну, т.е. когда трапеция вырождается в прямоугольный треугольник. Ну с ним уже всё ясно.


Спасибо. Вот это не очень понял.
Если, наоборот, $AB\parallel DC$....

Можете, пожалуйста подробнее описать механизм скольжения (допустим скользит точка О вдоль какой-либо прямой, а что происходит с вершинами А и С, они же не останутся на месте?) , а то у меня в прямоугольный треугольник почему-то не получается. Там два прямые угла должны наложиться друг на друга?

 Профиль  
                  
 
 Re: Трапеция. Хватает ли условий в задаче?
Сообщение23.02.2012, 19:19 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
lampard в сообщении #542007 писал(а):
а что происходит с вершинами А и С, они же не останутся на месте?) ,

Не останутся. Но двигаться будут синхронно. Ведь это две точки пересечения некоторой прямой с двумя фиксированными прямыми (проходящими через правую и через левую стороны) в условиях, когда направление этой движущейся прямой тоже фиксировано --её перпендикулярностью другой диагонали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трапеция. Хватает ли условий в задаче?
Сообщение23.02.2012, 19:21 


05/12/11
245
spaits в сообщении #541979 писал(а):
hippie в сообщении #541423 писал(а):
Уважаемый spaits, из вашего утверждения следует, что это одна и та же трапеция.
Попробуйте это доказать. Или, хотя бы, доказать, что эти две трапеции имеют одинаковую площадь.

На рисунке, данном в условии задачи $AB$ параллельно $CD$, правда это не оговорено в условии.
Если это не оговорено, то два решения.

Ок, я попробую рассмотреть случай $AB$параллельно $CD$

Изображение

Треугольники $ABO$ и $OCD$ подобны по двум углам.

Сейчас запишу вспомогательные выражения-уравнения.

$BD=BO+OD=15$ (1)

$AB=BE+EA=9+EA$ (2)

$k=\dfrac{BO}{OD}=\dfrac{AO}{OC}=\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{9+EA}{CD}$ (3)

из (1) и (3) следует, что $BD=(1+k)OD$

$AB=kCD$

На этом фантазия исчерпывается...

-- 23.02.2012, 19:22 --

ewert в сообщении #542008 писал(а):
lampard в сообщении #542007 писал(а):
а что происходит с вершинами А и С, они же не останутся на месте?) ,

Не останутся. Но двигаться будут синхронно. Ведь это две точки пересечения некоторой прямой с двумя фиксированными прямыми (проходящими через правую и через левую стороны) в условиях, когда направление этой движущейся прямой тоже фиксировано --её перпендикулярностью другой диагонали.


А скольжение будет вдоль $BD$ или $AC$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Трапеция. Хватает ли условий в задаче?
Сообщение23.02.2012, 19:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
Предлагаю компромиссный вариант — ромб. Тоже как бы трапеция, где каждая сторона — основание. Вы и намекали на это в первом сообщении. И подобие там есть. :-)

Кстати, для четырёхугольников с перпендикулярными диагоналями площадь действительно равна половине произведения длин диагоналей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трапеция. Хватает ли условий в задаче?
Сообщение23.02.2012, 19:57 


05/12/11
245
Попытка рассмотреть вырожденный случай, когда $AB||CD$ и точка $O$ сливается с $C$ и $D$

Покрутив трапецию, пришел к выводу, что такой должен быть рисунок.

Изображение

Пусть та вершина будет $C$ (чтобы не перечислять множество ее имен)

По двум углам треугольники $ABC$ и $BEC$ подобны.

$\dfrac{15}{AC}=\dfrac{15}{AE+9}=\dfrac{12}{AE}$

$15AE=12(9+AE)$

$5AE=4AE+36$

$AE=36$ (это много, однако)

$AC=45$

$S=\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot EB=\dfrac{1}{2}\cdot 45\cdot 12=45\cdot 6=270$

Тогда площадь трапеции $270$. Правильно?

-- 23.02.2012, 20:00 --

gris в сообщении #542011 писал(а):
Предлагаю компромиссный вариант — ромб. Тоже как бы трапеция, где каждая сторона — основание. Вы и намекали на это в первом сообщении. И подобие там есть. :-)

Кстати, для четырёхугольников с перпендикулярными диагоналями площадь действительно равна половине произведения длин диагоналей.


Все равно же площадь этого ромба должна будет быть равна площади трапеции с основаниями $AB$ и $CD$ и площади того вырожденного треугольника?

 Профиль  
                  
 
 Re: Трапеция. Хватает ли условий в задаче?
Сообщение23.02.2012, 20:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
Да, будет равна.
Но Ваши сомнения не напрасны. 36 это и вправду многовато.
Отношения выписаны неверно. Лучше найдите $AB$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трапеция. Хватает ли условий в задаче?
Сообщение23.02.2012, 20:50 


05/12/11
245
gris в сообщении #542028 писал(а):
Да, будет равна.
Но Ваши сомнения не напрасны. 36 это и вправду многовато.
Отношения выписаны неверно. Лучше найдите $AB$.


Ок, спасибо, Пифагор подсказал следующее:

$AB^2=AC^2-CB^2=(AE+9)^2-15^2$

$AB^2=AE^2+EB^2=AE^2+12^2$

$AE^2+18AE+81=AE^2+144$

$18AE=144-81$

$18AE=63$

$2AE=7$

$AE=3,5$

$AC=12,5$

$S=\dfrac{1}{2}12,5\cdot 12=\dfrac{25\cdot 6}{2}=75$

Что-то все равно без $AB$ обошлось...

-- 23.02.2012, 20:58 --

Кстати, а при такой формулировке - можно ли было бы однозначно определить площадь?

Найти площадь трапеции, если $CD=15$ и $BE=9$. $BC||AD$
Изображение

Если - до как, я уж и этот вариант пытался разобрать, но никак не получилось. Если можно - то хотелось бы такой вариант разобрать. С чего следует начать решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Трапеция. Хватает ли условий в задаче?
Сообщение23.02.2012, 21:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
Вы прямо фокусник. И не уследишь, где там туз из рукава выскочил. Не в третьей ли строчке.
Тщательнее считайте. Вдумчивее.
Пока неправильно.

А вообще привели бы Вы текст задачи. Наверняка там никакого чертежа не было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трапеция. Хватает ли условий в задаче?
Сообщение23.02.2012, 21:58 


05/12/11
245
gris в сообщении #542041 писал(а):
Вы прямо фокусник. И не уследишь, где там туз из рукава выскочил. Не в третьей ли строчке.
Тщательнее считайте. Вдумчивее.
Пока неправильно.

А вообще привели бы Вы текст задачи. Наверняка там никакого чертежа не было.


$AB^2=AC^2-CB^2=(AE+9)^2-15^2$

$AB^2=AE^2+EB^2=AE^2+12^2$

$AE^2+18AE+81-225=AE^2+144$

$18AE=144-81+225=288$

$18AE=288$

$AE=16$

$AC=25$

$S=\dfrac{1}{2}25\cdot 12=\dfrac{50\cdot 6}{2}=150$

Что-то все равно без $AB$ обошлось...

-- 23.02.2012, 22:01 --

Текст задачи:

$ABCD$ - трапеция

$EB=9$

$BD=15$

+ рисунок, из которого видно, то $BC||AD$ , рисунок привел без искажений.

И больше ни единого словечка!

Может была перепутана сторона, вот я и спрашиваю...

 Профиль  
                  
 
 Re: Трапеция. Хватает ли условий в задаче?
Сообщение23.02.2012, 22:10 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
lampard в сообщении #542057 писал(а):
+ рисунок, из которого видно, то $BC||AD$ ,

ну тут уже не один раз говорилось, что при этой интерпретации задачка явно некорректна.

А при альтернативной -- уже у Вас какое-то явное занудство. Есть один катет прямоугольного треугольника, и есть смежная с этим катетом высота; этого и достаточно. Так зачем же ещё на полторы страницы растягивать вычисление его площади?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Трапеция. Хватает ли условий в задаче?
Сообщение23.02.2012, 22:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
Вот теперь правильно.
Насчёт $AB$ я предполагал из подобия двух маленьких треугольников написать $\dfrac {AB}{15}=\dfrac{12}{9}; \quad S=0,5\cdot AB\cdot 15=150$
А с рисунком, наверное, перепут вышел. Мало ли опечаток бывает. Главное — разобраться в задаче.
А всё-таки ромб лучше!

 Профиль  
                  
 
 Re: Трапеция. Хватает ли условий в задаче?
Сообщение23.02.2012, 23:04 


05/12/11
245
ewert в сообщении #542061 писал(а):
lampard в сообщении #542057 писал(а):
+ рисунок, из которого видно, то $BC||AD$ ,

ну тут уже не один раз говорилось, что при этой интерпретации задачка явно некорректна.

А при альтернативной -- уже у Вас какое-то явное занудство. Есть один катет прямоугольного треугольника, и есть смежная с этим катетом высота; этого и достаточно. Так зачем же ещё на полторы страницы растягивать вычисление его площади?...


Да, я помню ,что говорилось про значок этот и какие ситуации рассматривали. А растягивать - чтобы уметь решать подобные задачи при различных формулировках..

-- 23.02.2012, 23:11 --

gris в сообщении #542065 писал(а):
Вот теперь правильно.
Насчёт $AB$ я предполагал из подобия двух маленьких треугольников написать $\dfrac {AB}{15}=\dfrac{12}{9}; \quad S=0,5\cdot AB\cdot 15=150$
А с рисунком, наверное, перепут вышел. Мало ли опечаток бывает. Главное — разобраться в задаче.
А всё-таки ромб лучше!

Спасибо.

(Оффтоп)

С ромбом все просто. Одна диагональ 24, другая 15, а значит площадь - $S=12\cdot 15=180$

Ой, я погорячился, сейчас исправлюсь


$AB=20$

$CO=20^2-7,5^2=...$

$S=BD\cdot CO$

Ой, какие-то плохие числа...

 Профиль  
                  
 
 Re: Трапеция. Хватает ли условий в задаче?
Сообщение08.03.2012, 06:22 


05/12/11
245
Да, кстати. В условии сказано, что именно трапеция. Если мы будем рассматривать случай $AD\parallel BC$, то нужно доказать, что при скольжении вдоль точки $O$ фигура не вырождается в параллелограмм.

У нас фигура не должна превращаться в параллелограмм, так как у трапеции две стороны не параллельны.

Как доказать, что они не параллельны? Можно так?

Вот мы была у нас трапеция $ABCD$ мы сдвинули точки $A\to A'$ и $C\to C'$ и у нас получился параллелограмм $A'BC'D$ (что не подходит под условия задачи). Мы сдвинули $C'\to C''$ и $A'\to A''$ и теперь нужно доказать, что $DC''$ не параллельна $A''B$

Изображение

Можно ли доказать от противного так:

Пусть $DC''\parallel FB$ и $DC'\parallel BF$, тогда по аксиоме о параллельности третьей прямой $DC'\parallel DC''$

А это не так, так как эти прямые имеют общую точку $B$ (или же эти прямые совпадают, тогда точка $A'$ не сместилась в $A''$) Похоже на правду?

 Профиль  
                  
 
 Re: Трапеция. Хватает ли условий в задаче?
Сообщение09.03.2012, 14:06 


05/12/11
245
ну вот....

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group