Трапеция. Хватает ли условий в задаче?

[lampard]

Найти площадь трапеции, если $BD=15$ и $BE=9$


Vожно площадь трапеции найти через произведение диагоналей

$S=\dfrac{BD\cdot AC}{2}$

По теореме Пифагора $ED=12$. А как найти $AC$? или есть способ проще?

[Null]

Точку С можно двигать по АС, так что задача не имеет решения.

[lampard]

Null в сообщении #541004 писал(а):

Точку С можно двигать по АС, так что задача не имеет решения.

Там на рисунке отмечены 2 угла, они имеются ввиду прямые. (Может я криво нарисовал). Может ли точка С ездить по прямой АС так, чтобы углы сохранялись и притом сохранялась трапеция ($AD||BC$)?

[spaits]

Условий в задаче хватает. Трапеция определена однозначно.
В том прямоугольном треугольнике, в котором Вы вычислили катет, определите оба отрезка гипотенузы и высоту, опущенную на гипотенузу. А потом для определения $OC$ используйте подобие треугольников.
Это не ромб, половина произведения диагоналей не даст площадь трапеции, однако отрезки диагоналей являются катетами четырех прямоугольных треугольников. Площадь ромба равна сумме площадей этих треугольников.
Может быть, найдете решение проще?

[hippie]

Пусть $F$ — точка пересечения прямой $BE$ и перпендикуляра к прямой $BD,$ восстановленного в точке $D.$
Тогда точку $A$ можно произвольным образом выбрать на интервале $(BF)$ (или $(EF),$ если в условии дополнительно сказано, что основание перпендикуляра $DE$ попало на сторону $AB,$ а не на её продолжение). Точки $O$ и $C$ после этого однозначно восстанавливаются.

Если, как на Вашем рисунке, основания трапеции — $AD$ и $BC,$ то площадь трапеции стремится к 0, если точка $A$ приближается к $B$ и стремится к бесконечности, если точка $A$ приближается к $F.$
Таким образом, в этом случае площадь трапеции может принимать любое положительное значение (или любое значение,большее некоторого минимального, если в условии дополнительно сказано, что основание перпендикуляра $DE$ попало на сторону $AB,$ а не на её продолжение).

Если же основания трапеции — $AB$ и $CD,$ то, хотя трапеция определена неоднозначно, площадь её определяется однозначно. (Отрезок $AC$ заключён между двумя фиксированными параллельными прямыми и образует с ними фиксированный угол.)
По-моему, в этом случае площадь трапеции проще вычислить не как половину произведения диагоналей, а как произведение полусуммы оснований на высоту. Высоту Вы уже нашли, а сумма оснований находится из подобия треугольников $AOB,\ COD$ и $DEB.$

[lampard]

spaits в сообщении #541144 писал(а):

В том прямоугольном треугольнике, в котором Вы вычислили катет, определите оба отрезка гипотенузы и высоту, опущенную на гипотенузу.

Спасибо.
Чтобы так сделать - по-моему нужны синусы и косинусы, но говорят, что без них можно сделать. Или можно и без них найти?

(P.S.)

Площадь произвольного четырёхугольника с диагоналями $d_1$, $d_2$ и углом $\alpha$ между ними (или их продолжениями), равна:

$S=\frac{d_1d_2\sin\alpha}{2}$

-- 21.02.2012, 03:26 --

hippie в сообщении #541148 писал(а):

Высоту Вы уже нашли, а сумма оснований находится из подобия треугольников $AOB,\ COD$ и $DEB.$

Спасибо. У меня не получается доказать подобие. $AOB$ и $COD$. Не хватает одного угла. Оба треугольника имеют 2 прямых угла. Но этого недостаточно, тчобы доказать подобие...

-- 21.02.2012, 03:28 --

Цитата:

площадь трапеции проще вычислить не как половину произведения диагоналей, а как произведение полусуммы оснований на высоту

Кстати - а высота имеется ввиду любая, то есть не обязательно, что именно между основаниями? Не знал, что нас может устроить высота, опущенная на боковую сторону...

[hippie]

lampard в сообщении #541151 писал(а):

-- 21.02.2012, 03:26 --

hippie в сообщении #541148 писал(а):

Высоту Вы уже нашли, а сумма оснований находится из подобия треугольников $AOB,\ COD$ и $DEB.$

Спасибо. У меня не получается доказать подобие. $AOB$ и $COD$. Не хватает одного угла. Оба треугольника имеют 2 прямых угла. Но этого недостаточно, тчобы доказать подобие...

-- 21.02.2012, 03:28 --

Цитата:

площадь трапеции проще вычислить не как половину произведения диагоналей, а как произведение полусуммы оснований на высоту

Кстати - а высота имеется ввиду любая, то есть не обязательно, что именно между основаниями? Не знал, что нас может устроить высота, опущенная на боковую сторону...

А Вы не пробовали прочитать мой комментарий полностью? Там есть ответ на оба Ваших вопроса!

———————————————————————————————————————————————————————

Подсказка: обратите внимание на фрагменты, выделенные жирным шрифтом!

———————————————————————————————————————————————————————

Подскажу даже БОЛЬШЕ! Главное это:

hippie в сообщении #541148 писал(а):

Если же основания трапеции — $AB$ и $CD,$ то

[lampard]

Спасибо, да я упустил самое важное. Основания имеются ввиду $AD$ и $BC$, сейчас соображу. Просто я многое не понял, начиная с первого предложения.

Допустим не очень понял - что значит вот это

Цитата:

перпендикуляра к прямой $BD,$ восстановленного в точке $D.$

А этот перпендикуляр -- не будет ли $ED$? Что-то не очень представляю - о чем речь. Если это пойму, то можно будет дальше разбираться, иначе будет не понятно, так как следующий абзац следует из этого.

Я так понят, что если основания -- это $AD$ и $BC$, то не будет конкретного ответа? Т.е. нужны дополнительные условия, чтобы получить конкретное число?

[hippie]

Если основания $AD$ и $BC,$ то площадь не определена. Об этом я тоже писал в ПЕРВОМ комментарии.
Прочитайте внимательно!

-- 21.02.2012, 04:48 --

lampard в сообщении #541155 писал(а):

Цитата:

перпендикуляра к прямой $BD,$ восстановленного в точке $D.$

А этот перпендикуляр -- не будет ли $ED$? Что-то не очень представляю - о чем речь. Если это пойму, то можно будет дальше разбираться, иначе будет не понятно, так как следующий абзац следует из этого.

НЕТ! Ведь $ED$ это перпендикуляр к $AB,$ а не к $BD.$

Если отказаться от математического языка, и говорить "по-рабоче-крестьянски", то точка $F$ это ограничитель "ползунка", по которому движется точка $A.$ Когда точка $A$ "переползёт" через "ограничитель", трапеция перестанет быть трапецией, и превратится в звёздчатый четырёхугольник.

lampard в сообщении #541155 писал(а):

Я так понял, что если основания -- это $AD$ и $BC$, то не будет конкретного ответа? Т.е. нужны дополнительные условия, чтобы получить конкретное число?

Именно так!!! Прочитайте в моём первом комментарии фрагмент, начинающийся со слов
"Если, как на Вашем рисунке, основания трапеции — $AD$ и $BC,$ то"

[spaits]

hippie в сообщении #541156 писал(а):

Если основания и то площадь не определена. Об этом я тоже писал в ПЕРВОМ комментарии.

Трапеция определена при данных в задаче условиях. И воображаемый "ползунок" не нужен. Вершина $C$ определяется условием, что верхний и нижний треугольники внутри трапеции подобны.

[hippie]

spaits в сообщении #541392 писал(а):

hippie в сообщении #541156 писал(а):

Если основания и то площадь не определена. Об этом я тоже писал в ПЕРВОМ комментарии.

Трапеция определена при данных в задаче условиях. И воображаемый "ползунок" не нужен. Вершина $C$ определяется условием, что верхний и нижний треугольники внутри трапеции подобны.

На чертеже изображены две трапеции, удовлетворяющие условию задачи — красная $A_1 BC_1 D$ и синяя $A_2 BC_2 D.$
(Сетка оставлена специально для того, чтобы все условия было легко проверить.)



Уважаемый spaits, из вашего утверждения следует, что это одна и та же трапеция.
Попробуйте это доказать. Или, хотя бы, доказать, что эти две трапеции имеют одинаковую площадь.

[lampard]

hippie в сообщении #541156 писал(а):

Если отказаться от математического языка, и говорить "по-рабоче-крестьянски", то точка $F$ это ограничитель "ползунка", по которому движется точка $A.$ Когда точка $A$ "переползёт" через "ограничитель", трапеция перестанет быть трапецией, и превратится в звёздчатый четырёхугольник.

Отлично, это понял, спасибо. Разбираюсь со следующими предложениями вашего первого сообщения.

Вот так я понял где должна лежать $F$. Правильно?



А ведь, если основания $AD$ и $BC$, тогда точку $A$ двигать нельзя, так как нарушится параллельность этих оснований. Если $AB$ и $CD$, то можно двигать и параллельность не нарушится. Прав ли я?

[hippie]

Точку $A$ можно двигать по интервалу $(EF)$ (или $(BF)$) независимо от того, какие основания.
Но точка $C$ будет строится по разному.

После того, как выбрали (произвольно) точку $A$ на интервале $(EF),$ проводите из неё прямую $AO,$ перпендикулярную $BD.$ Далее, из точки $B,$ проводите прямую $BX,$ параллельную прямой $AD.$ Точка $C$ — точка пересечения прямых $BX$ и $AO.$
(Все условия: $AD$ и $BC$ параллельны; диагонали $BD$ и $AC$ перпендикулярны; $BE$ и $DE$ перпендикулярны; $BD=15;\ BE=9$ выполнены по построению.)

Пример двух таких трапеций приведен в моём предыдущем сообщении. Там же видно, почему их площади не могут совпасть. (При основаниях $AD$ и $BC$ площади ВСЕГДА будут различными!)

[lampard]

hippie в сообщении #541473 писал(а):

Точку $A$ можно двигать по интервалу $(EF)$ (или $(BF)$) независимо от того, какие основания.
Но точка $C$ будет строится по разному.

После того, как выбрали (произвольно) точку $A$ на интервале $(EF),$ проводите из неё прямую $AO,$ перпендикулярную $BD.$ Далее, из точки $B,$ проводите прямую $BX,$ параллельную прямой $AD.$ Точка $C$ — точка пересечения прямых $BX$ и $AO.$
(Все условия: $AD$ и $BC$ параллельны; диагонали $BD$ и $AC$ перпендикулярны; $BE$ и $DE$ перпендикулярны; $BD=15;\ BE=9$ выполнены по построению.)

Пример двух таких трапеций приведен в моём предыдущем сообщении. Там же видно, почему их площади не могут совпасть. (При основаниях $AD$ и $BC$ площади ВСЕГДА будут различными!)

Спасибо большое, теперь все понятно.

(вот что получилось построить, немного криво, но смысл я понял)

[spaits]

hippie в сообщении #541423 писал(а):

Уважаемый spaits, из вашего утверждения следует, что это одна и та же трапеция.
Попробуйте это доказать. Или, хотя бы, доказать, что эти две трапеции имеют одинаковую площадь.

На рисунке, данном в условии задачи $AB$ параллельно $CD$, правда это не оговорено в условии.
Если это не оговорено, то два решения.

-- Чт фев 23, 2012 15:51:08 --

Решу задачу до конца, забанят. Это должен сделать топикстартер.