Разыгрывание сл. в. методом Монте-Карло

[PAV]

Если заданы вероятности попадания в интервалы и внутри каждого интервала распределение равномерное, то моделировать вообще ничего не надо - математическое ожидание считается точно как взвешенное среднее середин интервалов с весами, равными вероятностям попадания. Собственно, такое же решение и для других законов, там только среднее на каждом интервале может быть своим.

Если же есть возможность дробить область значений с.в. на интервалы и с той или иной точностью определять вероятности попадания в эти интервалы, то тогда с указанной точностью можно восстановить весь закон распределения с.в. и найти ее мат.ожидание.

[juna]

Это будет, только если интервалы, без промежутков, на которых неизвестна вероятность. Если считать, что вероятность попадания в них пропорциональна их длине, то можно также определить, но можно так и не считать. Оценивать степень риска, разыгрывать этот остаток вероятности до единицы между интервалами, на которых вероятность не определена и т.д.

[reader_st]

PAV

Есть совершенно четкий алгоритм получения сл. в. он описан в частности у Бусленко. Если знать закон распределения на каждом интервале, то мат. ожидание на большом интервале я бы посчитал по формулам для вероятностных смесей --- они приводятся в книге Вентцель, Овчаров "Теория вероятностей ... для инженеров" или что в этом духе(точное название не вспомнию). Согласен, что при предположении о равномерном распределении на каждом из маленьких отрезков для оценки общего мат. ожидания можно использовать взвешенное среднее середин интервалов с весами.

Относительно,

Цитата:

Если заданы вероятности попадания в интервалы и внутри каждого интервала распределение равномерное, то моделировать вообще ничего не надо

интервалов всего 4, как мне кажется для оценки мат. ожидания маловато.
Относительно корректности получеамых результатов: мне встретилась работа по мат. экономике, в которой закон распределения и его параметры задаются на основе экспертных оценок, подчеркивается, что оценки получены в рамках экспертных знаний.
Добавлю:
Задача отражает реальный процесс, а именно распределение ресурсов, поэтому, здесь можно опираться на априорные данные.

Артамонов Ю.Н.

Совершенно верно Вы поняли задачу:
есть большой отрезок

$$[A;B]$$

, его мы разбиваем на маленькие (способ разбиения пока не важен), затем с помощью экспертного опроса мы определеям вероятности для каждого из интервалов. А затем разыгрываем. Все.

[PAV]

Вопрос - при розыгрыше предлагается использовать одно и то же разбиение на интервалы? Или перед каждым розыгрышем производится свое разбиение и свой экспертный опрос?

[reader_st]

PAV писал(а):

Вопрос - при розыгрыше предлагается использовать одно и то же разбиение на интервалы? Или перед каждым розыгрышем производится свое разбиение и свой экспертный опрос?

Разбитие исходного отрезка

$$[A;B]$$

на маленькие

$$[a_j;b_j]$$

происходит единожды, а именно в начале задачи, все дальнейшие операции: определение вероятностей, разыгрывание и т.п. происходит на этих интервалов. Никакие другие не определяются.

[PAV]

И, как я понимаю, присваивание вероятностей этим интервалам происходит единожды?

Если так, то я все равно ничего не понимаю. Во-первых, Вы методом Монте-Карло пытаетесь оценить величину, точное значение которой можно вычислить явным образом. Во-вторых, это точное значение полностью определяется тем волюнтаристким предположением, которое Вы же сами и сделали (выбрав то или иное распределение на каждом интервале).

Т.е. Вы сначала нечто произвольным образом выбираете, что уже позволяет точно вычислить итоговое математическое ожидание, а затем вместо того, чтобы его вычислить, начинаете его оценивать статистически.

[reader_st]

PAV

Вашу мысль я понял, что зачем я все это моделирую, если у меня все равно будет равномерное распределение на каждом отрезке.

первая причина: мало отрезков для оценки мат. ожидания;
вторая причина: все же после выбора отрезка (маленького) можно сгенерировать сл. в. по любому закону (надо смотреть очень аккуратно), в частности, по равномерному.
Я стараюсь не ограничиваться только равномерным.
По крайней мере другого решения по поиска мат. ожидания я найти не могу.

[PAV]

Пусть про случайную величину известно, что она принимает значения на интервале $[a,b]$. Что можно сказать про ее математическое ожидание?

Ответ: математическое ожидание тоже принадлежит этому интервалу. И все. Больше ничего сказать нельзя. Вы можете оценивать его средним значением $\frac{a+b}{2}$, но никакого содержательного смысла эта оценка не имеет.

Точно так же Ваша информация объективно содержит только то, что неизвестное математическое ожидание ограничено снизу величиной $\sum_{k}p_ka_k$ и сверху величиной $\sum_kp_kb_k$. Больше ничего. Вся остальная информация привнесена Вами и поэтому объективного смысла не имеет.

[juna]

PAV но здесь, как я понимаю, не совсем или совсем не вероятностная постановка. Случайностью здесь просто неопределенность измеряется. Так поступают в теории принятия решений. Т.е. процесс не носит массовый характер. Нельзя строго в математическом смысле говорить о мат. ожидании. А статистические испытания (их количество) как бы измеряют допустимую степень риска.

[reader_st]

PAV

С ограничением на значения мат. ожидания это хорошо, но мне лично нужна точечная оценка.
Относительно информативности и корректности: можно задать дискретные законы на каждом из отрезков, в рамках экспертных знаний, и разыгрывать в соответствии с ними. Другого способа я не знаю.

И как справедливо отметил Артамонов Ю.Н. при работе с экспертами подобные неточности допускаются.

[PAV]

reader_st

Имеющейся в Вашем распоряжении информации недостаточно для получения точечной оценки.

Я могу привести наглядный пример, точно иллюстрирующий мое мнение о данной задаче. Предположим, что мне нужно точное решение квадратного уравнения, коэффициентов которого я не знаю. Некие эксперты оценили первый и второй коэффициент, но третий по прежнему неизвестен. Я рассуждаю так: раз мне коэффициент неизвестен, то возьму-ка я его равным нулю. Хотя с этим нужно быть аккуратнее, поэтому можно также рассматривать и другие значения. А потом добавлю: а для получения решения воспользуюсь методом деления пополам, который дает мне приближенное решение.

Абсурд ситуации мне лично совершенно очевиден. Во-первых, зачем применять метод для приближенного решения, если есть простая формула, которая дает сразу точное решение. Во-вторых, сами подумайте, какой содержательный смысл могут нести найденные мною корни, если один из коэффициентов уравнения я придумал сам. Без каких-либо оснований, просто потому, что он мне глянулся.

С тем же успехом можно искать "решения" уравнения, все коэффициенты которого неизвестны, подставляя вместо них числа, которые нам в этот момент пришли в голову...

[reader_st]

PAV

Вы несколько преувеличиваете ситуацию с коэффициентами и корнями квадратного уравнения.

Я не придумываю никаких алгоритмов, использую лишь представленные в литературы (два источника я указал выше).
Согласен, что мое предположение о равномерном распределении на каждом отрезке --- это большой минус.
Но Ваше предложение посчитать по точной формуле (как я понимаю о том же равномерном распределении на каждом отрезке) не строже моего, т.к. я именно в данной задаче могу использовать экспертную информацию информации о предполагаемом распределении (отличном от нормального), а Вы нет, т.к. оно одно и тоже для все отрезков, но с разными мат. ожиданиями.

[PAV]

reader_st писал(а):

Но Ваше предложение посчитать по точной формуле (как я понимаю о том же равномерном распределении на каждом отрезке) не строже моего, т.к. я именно в данной задаче могу использовать экспертную информацию информации о предполагаемом распределении (отличном от нормального), а Вы нет, т.к. оно одно и тоже для все отрезков, но с разными мат. ожиданиями.

Этой фразы я не понял.

Еще раз.

1. Для моделирования Вам необходимо задать законы распределения на каждом отрезке $[a_k,b_k]$.

2. Задание этих законов точно и однозначно определяет соответствующие математические ожидания. Обозначим их через $m_k$. Еще раз обращаю внимание, что эти числа задали Вы сами тем, что выбрали какое-то распределение.

3. После этого математическое ожидание всей случайной величины также уже точно задано и равно $M=\sum_k p_km_k$.

4. Пытаясь моделировать случайную величину (используя выбор, сделанный Вами в пункте 1), Вы всего лишь численно оцениваете уже известную величину $M$. Никакой новой информации моделирование не несет. Смысла в нем нет никакого, это ровно то же самое, что искать численным методом решение уравнения, для которого существует известная и простая формула. Моделирование нужно применять в других ситуациях. Любые отклонения, которые может дать Ваше моделирование от указанной мною величины $M$, вызваны особенностями реализации самого процесса моделирования, т.е. они вообще не имеют отношения к реальной задаче.

5. Если Вы решите в пункте 1 выбрать другие распределения - пожалуйста, для них будут другие числа $m_k'$ и соответственно другой результат $M'=\sum_k p_km'_k$. Опять-таки, с помощью моделирования Вы будете всего лишь оценивать эту известную величину.

6. Из этих пунктов видно, что фактически Вы своим собственным произвольным выбором (осуществляемым в пункте 1) неявно выбираете некоторое число $M$ из интервала от $\sum_kp_ka_k$ до $\sum_kp_kb_k$ и объявляете его ответом задачи. Использование моделирования в этом случае есть лишь попытка закамуфлировать этот Ваш произвол, будто бы не Вы сами выбираете ответ, а некоторая более умная процедура, которая учитывает имеющуюся экспертную информацию. Это неправда и это мне сильно не нравится. Не обижайтесь, но это по духу сильно напоминает доказательства теоремы Ферма в нашем дискуссионном разделе, где авторы пишут много фраз, содержащих разные умные слова, и на первый взгляд все это производит впечатление какого-то настоящего доказательства. Хотя по сути всего лишь камуфлирует некоторую очевидную ошибку в логике рассуждений.

Кстати, возникает еще такой вопрос. Интервалы $[a_k,b_k]$ не пересекаются? И можно ли считать достоверным, что они покрывают всю область значений, которые может принимать случайная величина? В противном случае все это становится еще более сомнительным...

[reader_st]

PAV

Вот конечный алгоритм, который я буду использовать. Взят из книги
Н.П. Бусленко "Метод статистического моделирования"
Процедура моделирования предполагает следующее:

1) выбирается случайное равномерно распределенное число

$$\xi_i$$

;
2) с помощью

$$\xi_i$$

случайным образом выбирается
интервал

$$(a_k,a_{k+1},)$$

;
3) берется следующее равномерно распределенное
число

$$\xi_{i+1}$$

и масштабируется с целью приведения его к интервалу

$$\xi_{i+1}$$

, т. е.

$$\xi_{i+1}$$

становится случайной величиной, равномерно распределенной в интервале

$$(a_k,a_{k+1},)$$

.
Случайное число

$$\y_i$$

с требуемым законом распределения вычисляем по формуле

$$y_i=a_i+\xi_{i+2}(a_{k+1}-a_k)$$

Это в точности то, что имел ввиду незваный гость.
В данной задаче математическое ожидание является оценкой степени неопределенности обеспеченности ресурсами.

[PAV]

Я практически ничего не понял. Появляются интервалы $(a_k,a_{k+1})$, которых раньше не было. В последней формуле одновременно участвуют индексы $i$ и $k$. Появляется величина $\xi_{i+2}$, которой раньше не было, а введенная ранее величина $\xi_{i+1}$ никак не используется...