Пусть число представимо в виде
![$x^2+y^2$ $x^2+y^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/7/617d8bb2f82872531a61f336c72ebd1282.png)
при целых взаимно простых переменных, не буду оговаривать это всякий раз. В этом случае, при
![$(xy,p)=1$ $(xy,p)=1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/3/4d3d5454028a4e4057d40414e3cc1b4782.png)
, где p простое число вида 4n+3, по малой теореме Ферма следует
![$x^{2(2n+1)}+y^{2(2n+1)}=2+pm$ $x^{2(2n+1)}+y^{2(2n+1)}=2+pm$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/8/2786d05608b3bb3e5297eff1ea987e9582.png)
, а поскольку число
![$x^2+y^2$ $x^2+y^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/7/617d8bb2f82872531a61f336c72ebd1282.png)
является делителем числа
![$x^{2(2n+1)}+y^{2(2n+1)}$ $x^{2(2n+1)}+y^{2(2n+1)}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/0/7d0c1579021ae7d8b118dddb88a7d3a982.png)
, то никакое p вида 4n+3 делителем числа
![$x^2+y^2$ $x^2+y^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/7/617d8bb2f82872531a61f336c72ebd1282.png)
не является. Пример:
![$x^6+y^6=(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)=2+7m$ $x^6+y^6=(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)=2+7m$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/8/ae87f535d16f34f00c7113b045eea29382.png)
. Для степеней
![$2^k$ $2^k$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/f/91f4e50a1561b60d45e7079ca70f2ed482.png)
где k некоторое натуральное число доказательство полностью аналогично.Пример: Пусть число представимо в виде
![$x^4+y^4$ $x^4+y^4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/4/2c4fb56e5374c7e15c0e5bf6dff698de82.png)
, тогда из предыдущего случая следует что все нечетные простые делители этого числа имеют вид p=4n+1, по малой теореме теореме Ферма следует
![$x^{4n}+y^{4n}=2+pm$ $x^{4n}+y^{4n}=2+pm$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e2bcaa1cb4979be3f4743efd59e75382.png)
и в случае если n нечетное число результат будет как в предыдущем случае. Пример
![$x^{12}+y^{12}=(x^4+y^4)(x^8-x^4y^4+y^8)=2+13m$ $x^{12}+y^{12}=(x^4+y^4)(x^8-x^4y^4+y^8)=2+13m$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/f/bcf65f51001b9ec89708992f902fad7e82.png)
. Таким образом для доказательства утверждения что все простые делители (нечетные) числа представимого в виде
![$x^{2^k}+y^{2^k}$ $x^{2^k}+y^{2^k}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/2/f428a32a233532ee2e42209057c374d182.png)
имеют вид
![$p=1+2n2^k$ $p=1+2n2^k$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/e/83eb7dcf98995575f86a81df2dac1b4682.png)
не требуется никаких знаний по теории сравнений кроме малой теоремы Ферма.