Принцип наименьшего действия,уравнения Лагранжа.

[Alex-Yu]

ИгорЪ в сообщении #534331 писал(а):

не понимаю почему это не репараметризация

Вас в школе учили вычислять интегралы методом замены переменной (т.е. с помощью репараметризации)? И на чем же еще основывается этот метод, если не на том, что при этом интеграл не меняется? Тождественно не меняется, а не при каких-либо условиях на подинтегральное выражение

[ИгорЪ]

Alex-Yu
Разумеется замена переменных и репараметризация одно и то же, и интеграл не меняется, но в теореие Нетер речь то об сохранении формы подинтегральной функции, замена переменных отфакторизовывается. Только это я и имел сказать.

[Alex-Yu]

ИгорЪ в сообщении #534956 писал(а):

Разумеется замена переменных и репараметризация одно и то же, и интеграл не меняется, но в теореие Нетер речь то

Я Вам уже объяснял, что именно делается в теореме Нетер. Если не понимаете -- Ваши проблемы, не мои. Впрочем, готов помочь разобраться, если увижу интерес к существу дела, а не к бессмыленному словоблудию. Пока -- увы.

А вообще меньше читайте соответствующий параграф Боголюбова-Ширкова. При всей великости Н.Н., этот параграф написан у него абсолютно невразумительно. Лучше своей головой подумайте.

[ИгорЪ]

Если вы спец по Нетер то давайте. Первое, разве сдвиг по времени, что есть репараметризация не дает по Нетер энергию?

[Alex-Yu]

ИгорЪ в сообщении #535132 писал(а):

разве сдвиг по времени, что есть репараметризация

Ну вот тут и ошибка: репараметризация НЕ ЕСТЬ сдвиг во времени. Ну сколько можно, объяснял же уже... Ладно, не вижу смысла в дальнейшем общении. На этом вопрос исчерпан. Во всяком случае для меня.

[ИгорЪ]

Alex-Yu в сообщении #533936 писал(а):

Если Вы про сохранение энергии (частный случай теоремы Нетер), то там сдвиг траектории во времени, а не перепараметризация ТОЙ ЖЕ САМОЙ траектории.

Вы можете на формулах показать чем отличается "сдвиг траектории" и репараметризация?

[espe]

ИгорЪ в сообщении #535132 писал(а):

Если вы спец по Нетер то давайте. Первое, разве сдвиг по времени, что есть репараметризация не дает по Нетер энергию?

ИгорЪ в сообщении #535244 писал(а):

Alex-Yu в сообщении #533936 писал(а):

Если Вы про сохранение энергии (частный случай теоремы Нетер), то там сдвиг траектории во времени, а не перепараметризация ТОЙ ЖЕ САМОЙ траектории.

Вы можете на формулах показать чем отличается "сдвиг траектории" и репараметризация?

Существует две теоремы Нётер. Одна (первая) имеет дело с глобальной симметрией действия, вторая с локальной (калибровочной), т.е. когда параметры преобразования зависят от времени (в теории поля ещё и координат).

В первом случае $t\mapsto t'=t+\varepsilon$, $\varepsilon$ --- константа. В этом случае по теореме Нётер у нас есть закон сохранения энергии и т.к. при его выводе используются уравнения движения, то можно сказать, что траектория сдвигается во времени как целое.

Во втором случае параметр преобразования симметрии зависит от времени $\varepsilon(t)$. Это можно назвать репараметризацией. Согласно второй теореме Нётер в этом случае мы будем иметь некоторые тождества, составленные из уравнений движения, например как здесь

ИгорЪ в сообщении #533588 писал(а):

Известно, что взяв лагранжиан свободной частицы в СТО в виде корня из квадрата длины 4-скорости, можно, вычислив 4-импульс , обнаружить что его длина есть константа типа массы. Это называется связь или условие массовой поверхности и значит не все 4 компоненты импульса независимы.

[ИгорЪ]

espe в сообщении #536254 писал(а):

В этом случае по теореме Нётер у нас есть закон сохранения энергии и т.к. при его выводе используются уравнения движения, то можно сказать, что траектория сдвигается во времени как целое.

В доказательстве Нетер, вычичляя изменение действия при преобразованиях симметрии, мы пользуемся УД, но причем здесь сдвиг траектории как целого я хоть убей не вижу.

espe в сообщении #536254 писал(а):

Это можно назвать репараметризацией. Согласно второй теореме Нётер в этом случае мы будем иметь некоторые тождества, составленные из уравнений движения

Я как то пытался получить для релят. частицы связь из второй Нетер, однако безрезультатно. Может вы знаете как это делать?

[espe]

ИгорЪ в сообщении #536415 писал(а):

В доказательстве Нетер, вычичляя изменение действия при преобразованиях симметрии, мы пользуемся УД, но причем здесь сдвиг траектории как целого я хоть убей не вижу.

Я имел ввиду только образное восприятие. Можно считать, что сдвигается пространство-время, а частицы стоят на месте, можно наоборот. Не стоит на этом заморачиваться. Образное восприятие у разных людей может быть разным.

ИгорЪ в сообщении #536415 писал(а):

Я как то пытался получить для релят. частицы связь из второй Нетер, однако безрезультатно. Может вы знаете как это делать?

Возьмём действие например в виде

$$S\sim\int d\tau\qquad d\tau=\sqrt{\dot{x}^\mu\dot{x}_\mu}dt.$$

Уравнение движения можно записать как

$$\frac{d^2x^\mu}{d\tau^2}=0.$$

Тождество, следующее из теоремы Нётер, будет

$$\frac{dx_\mu}{d\tau}\frac{d^2x^\mu}{d\tau^2}=\frac{1}{2}\frac{d}{d\tau}\left(\frac{dx_\mu}{d\tau}\frac{dx^\mu}{d\tau}\right)=\frac{1}{2}\frac{d}{d\tau}1\equiv0.$$

[ИгорЪ]

Это интересно.
А какую вы формулировку Нетер используете?

[espe]

Пусть имеется действие $S$, зависящее от набора полей $\varphi^i$ и инвариантное при преобразованиях $\delta\varphi^i=R^i_A\varepsilon^A$ ($R^i_A$ --- генераторы преобразований, $\varepsilon^A$ --- параметры, используются конденсированные обознаения, надеюсь понятные). Тогда при преобразованиях симметрии имеем

$$\delta S=S[\varphi+\delta\varphi]-S[\varphi]=\frac{\delta S}{\delta\varphi^i}\delta\varphi^i=\frac{\delta S}{\delta\varphi^i}R^i_A\varepsilon^A=0.$$

В силу того, что параметры являются произвольными функциями имеем тождества (их количество равно количеству параметров)

$$\frac{\delta S}{\delta\varphi^i}R^i_A=0.$$

[ИгорЪ]

1.В нашем случае, кроме "полей"=координат, преобразовывается "пространство"=время и при вычислении изменения действия возникает ещё переносной член, при этом получается выражение для знергии, которое тождественно зануляется, как известно, и не дает никакого тождества.
2.Из последнего вашего выражения я не смог ничего получить. Если можно покажите вычисления.

[ИгорЪ]

$\frac {\dot{x^\mu}}{\sqrt{\dot{x}^\mu\dot{x}_\mu}}\frac{d(\varepsilon\dot{x})}{dt}=0$
или используя УД
$\frac{d(\frac {\dot{x^\mu}}{\sqrt{\dot{x}^\mu\dot{x}_\mu}}\varepsilon\dot{x^\mu})}{dt}=0$

[espe]

Имеем одномерное (пространство-)время. Поля $x^\mu(t)$ (которые координаты в другом пространстве). Преобразование координат $t\mapsto t'=t+\varepsilon$ генерирует преобразование полей $x^{\prime\mu}(t')=x^\mu(t)$ (поля скалярные). Вариация (формы) поля по определению $\delta x^\mu(t)=x^{\prime\mu}(t)-x^{\mu}(t)$. Найдём её из

$$x^{\prime\mu}(t')-x^{\mu}(t')+x^{\mu}(t')-x^\mu(t)=\delta x^\mu(t)+\dot{x}^\mu\varepsilon=0\quad\Longrightarrow\quad\delta x^\mu(t)=-\dot{x}^\mu\varepsilon$$

Так как рассматриваемое преобразование есть преобразование симметрии, то

$$0=S[x'(t')]-S[x(t)]=\Bigl(S[x'(t')]-S[x(t')]\Bigr)+\Bigl(S[x(t')]-S[x(t)]\Bigr)$$

Первая скобка (вариация действия) равна

$$\int\Bigl(\frac{\partial L}{\partial x^\mu}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{x}^\mu}\Bigr)\delta x^\mu(t)dt+\int\frac{d}{dt}\Bigr(\frac{\partial L}{\partial\dot{x}^\mu}\delta x^\mu(t)\Bigr)dt$$

Вторая скобка

$$\int(L(t)+\dot{L}(t)\varepsilon)(1+\dot{\varepsilon})dt-\int L(t)dt=\int\frac{d}{dt}\Bigl(L\varepsilon\Bigr)dt$$

Объединяем всё и получаем

$$\int\Bigl(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{x}^\mu}-\frac{\partial L}{\partial x^\mu}\Bigr)\dot{x}^\mu\varepsilon \,dt+\int\frac{d}{dt}\varepsilon\Bigr(L-\frac{\partial L}{\partial\dot{x}^\mu}\dot{x}^\mu\Bigr)dt=0.$$

Из этого выражения можно получить обе теоремы Нётер приговаривая разные слова. Чтобы получить вторую выбираем $\varepsilon(t)$ так, чтобы на границе области интегрирования (которая произвольна) $\varepsilon(t)=0$. Тогда второй интеграл равен нулю. Далее, так как $\varepsilon(t)$ произвольная функция, то из первого интеграла заключаем, что

$$\Bigl(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{x}^\mu}-\frac{\partial L}{\partial x^\mu}\Bigr)\dot{x}^\mu=0.$$

Подставляем явный вид лагранжиана для релятивистской частицы и получаем

$$\dot{x}^\mu\frac{d}{dt}\frac{\dot{x}_\mu}{\sqrt{\dot{x}^\mu\dot{x}_\mu}}=0$$

ИгорЪ в сообщении #536852 писал(а):

2.Из последнего вашего выражения я не смог ничего получить. Если можно покажите вычисления.

Индексы конденсированные, если стоит по ним сумма, то по дискретным индексам суммировани, по непрерывным интегрирование. Соответственно там было $i\to(\mu,t)$, $A\to t$ , $R^i_A\to R^\mu(t,t')=-\dot{x}^\mu\delta(t-t')$ и

$$\frac{\delta S}{\delta\varphi^i}R^i_A\to\int\frac{\delta S}{\delta x^\mu(t')}R^\mu(t',t) dt'=-\frac{\delta S}{\delta x^\mu(t)}\dot{x}^\mu(t)$$

[ИгорЪ]

espe
Т. е для второй теоремы находится на экстремали не обязательно. Очень квантовый факт. А на самой экстремали, первый член зануляется и связь пропадает. Т.е. классически связь и УД в некотором смысле эквивалентны. Ну это так, мысли вслух.
Условие $\varepsilon(t)=0$ немного смущает. Получается, что связь, которую мы вычислили по 2-ой Нетер не будет выполняться при самых общих преобразованиях, когда края тоже меняются и оживает поверхностный член. Между тем связь выполняется всегда. Ещё не могли бы вы разъяснить жаргон где $R$ есть дельта функция. Остальное вполне ясно.