связи в СТО и Галилеевой механике

[ИгорЪ]

Известно, что взяв лагранжиан свободной частицы в СТО в виде корня из квадрата длины 4-скорости, можно, вычислив 4-импульс , обнаружить что его длина есть константа типа массы. Это называется связь или условие массовой поверхности и значит не все 4 компоненты импульса независимы. $E^2-p^2=m^2$. Факт этот особо не напрягает, поскольку одна из компонент, энергия, а три других импульсы. Ну и все знают, что в системе где 3-импульс равен нулю эта связь превратится в любимый е равно эмцеквадрат.
Возьмем теперь лагранжиан Галилеевой частицы в виде корня из квадрата длины обычной 3-скорости. Опять вычислим теперь уже 3-импульс и обнаружим, что его длина тоже константа. Итак, три абсолютно равноправные компоненты импульса не независимы, а завязаны в связь. И что то это меня сильно смущает, поскольку непонятно каков смысл этой связи и зависимости компонент импульса. Я имею одно подозрение, но очень хочется услышать независимые суждения по поводу смысла связи и в СТО и особо в Галилеевом случае.

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #533588 писал(а):

Возьмем теперь лагранжиан Галилеевой частицы в виде корня из квадрата длины обычной 3-скорости. Опять вычислим теперь уже 3-импульс и обнаружим, что его длина тоже константа.

Нельзя ли вот это расписать?

[ИгорЪ]

$L=\sqrt{\dot{x}_i^{2}}$
$p_i=\frac{\dot{x}_i}{\sqrt{\dot{x}_i^{2}}}$
где $x_i(t)$-траектория частицы в трехмерии. Видно, что $p^2=1$

[Munin]

А разве этот лагранжиан правильное движение даёт?

[ИгорЪ]

Прямую то даёт, а всякие константы я пока не пишу.

[Munin]

Ну хотя бы параболу в поле тяжести...

[ИгорЪ]

Возможно это и интересно, добавлять внешние поля, но к теме не относится, т.к. рассматриваются свободные частицы.

[apv]

Вообще, вид лагранжиана выбирается так (с точностью до...), чтобы он согласовался с опытом. Я так понимаю, Ваш вопрос представляет лишь академический интерес.

[Munin]

Если вы ограничиваетесь случаем свободных частиц, то вы от геометрии ничего не оставляете, прямые линии в псевдоеклидовом пространстве такие же, как в галилеевом и в любом аффинном. А как только вы начнёте добавлять реалистичности, у вас сразу исчезнет и ваш надуманный лагранжиан, и связи.

Не хотите поле тяжести - напишите действие для упругого столкновения двух частиц.

[ИгорЪ]

apv в сообщении #533761 писал(а):

Вообще, вид лагранжиана выбирается так (с точностью до...), чтобы он согласовался с опытом. Я так понимаю, Ваш вопрос представляет лишь академический интерес.

Лагранжиан СТО - длина мировой линии в метрике Минковского. Лагранжиан "Галилея" -длина мировой линии в трехмерной евклидовой метрике. В обоих случаях с опытом всё хорошо - свободные частицы имеют экстремалями прямые траектории.

[apv]

ИгорЪ в сообщении #533767 писал(а):

Лагранжиан СТО - длина мировой линии в метрике Минковского.

Скорее не лагранжиан, а само действие.

ИгорЪ в сообщении #533767 писал(а):

Лагранжиан "Галилея" -длина мировой линии в трехмерной евклидовой метрике.

Опять же, не лагранжиан, а действие, и не просто действие, а укороченное действие. Уравнение $\delta \int dl =0$ (фактически принцип Мопертюи для свободной частицы) дает лишь уравнение траектории, а не уравнения движения.

[ИгорЪ]

Munin в сообщении #533763 писал(а):

Если вы ограничиваетесь случаем свободных частиц, то вы от геометрии ничего не оставляете, прямые линии в псевдоеклидовом пространстве такие же, как в галилеевом и в любом аффинном.

Я и не хотел заниматься геометрией.Если бы я сворачивал скорости под корнем по произвольной римановой метрике, то получил бы уравнения геодезических, которые в плоском случае прямые - это ведь совпадает с опытом? Я спрашиваю про связи в самом простом случае свободных часиц.

Munin в сообщении #533763 писал(а):

А как только вы начнёте добавлять реалистичности, у вас сразу исчезнет и ваш надуманный лагранжиан, и связи.

Лагранжиан абсолютно естественен, длина мировой линии см. постом выше.
А вы видели надуманный лагранжиан Намбу-Гото свободной струны? Ничего что при квантовании, его связи дают все известные полевые уравнения?

-- Ср фев 01, 2012 16:09:51 --

apv
Да, правильно, действие. Отождествите параметр со временем и траектория превратится в уравнения движения.

[apv]

ИгорЪ в сообщении #533770 писал(а):

Отождествите параметр со временем и траектория превратится в уравнения движения.

Не пойму, как может получиться $\delta \int v^2 dt=0$ ?

[ИгорЪ]

apv
Вы хотите понять как из лагранжиана с корнем получить $\dot{v}=0$?
Разные лагранжианы могут иметь одни уравнения движения. Лагранжиан с корнем эквивалентен квадратичному с точностью до связи $v^2=0$, которой в квадратичном случае нет.

[apv]

Вернемся к этому утверждению.

ИгорЪ в сообщении #533588 писал(а):

Итак, три абсолютно равноправные компоненты импульса не независимы, а завязаны в связь.

Уменя есть мысль по этому поводу, хотя еще не до конца оформившаяся в моей голове. Смысл приблизительно такой. Мне кажется, что проблема тут в том, что когда мы в случае свободной частицы варьируем интеграл вида $\int dl$, то предполагаем, что направление движения уже задано (вот вам и связь). Когда же мы варьируем интеграл $\int v(t)^2 dt$, то предполагаем, что направление движения не задано (оно определяется начальными условиями).

-- Ср фев 01, 2012 16:54:28 --

К тому же, в первом случае мы варьируем в конфигурационном пространстве, когда заданна начальная и конечная точка (а значит и направление движения), во втором случае - в фазовом пространстве, где направление движение считается произвольным. Поэтому оба интеграла не равносильны.