гдейто мы при варьировании задаем направление?
Нет, Вы правы, здесь я протупил, мы задаем не направление, а фактически задаем значение энергии.
Расмотрим действие свободной на плоскости частицы в виде (

, где

). Предположим, что энергия частицы постоянна (

). Из последнего равенства выразим

и подставим в интеграл для действия, получим

Далее варьируя, получаем уравнение траектории. Что тут существенно, так это то, что для получения траектории, нужно фиксировать значение энергии (говорят что частица движется по поверхности

в фазовом пространстве), а отсюда, собственно и Ваша связь! Без этого условия, очевидно, ее не будет.