2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 связи в СТО и Галилеевой механике
Сообщение31.01.2012, 22:37 
Аватара пользователя


22/10/08
1286
Известно, что взяв лагранжиан свободной частицы в СТО в виде корня из квадрата длины 4-скорости, можно, вычислив 4-импульс , обнаружить что его длина есть константа типа массы. Это называется связь или условие массовой поверхности и значит не все 4 компоненты импульса независимы. $E^2-p^2=m^2$. Факт этот особо не напрягает, поскольку одна из компонент, энергия, а три других импульсы. Ну и все знают, что в системе где 3-импульс равен нулю эта связь превратится в любимый е равно эмцеквадрат.
Возьмем теперь лагранжиан Галилеевой частицы в виде корня из квадрата длины обычной 3-скорости. Опять вычислим теперь уже 3-импульс и обнаружим, что его длина тоже константа. Итак, три абсолютно равноправные компоненты импульса не независимы, а завязаны в связь. И что то это меня сильно смущает, поскольку непонятно каков смысл этой связи и зависимости компонент импульса. Я имею одно подозрение, но очень хочется услышать независимые суждения по поводу смысла связи и в СТО и особо в Галилеевом случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: связи в СТО и Галилеевой механике
Сообщение01.02.2012, 05:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ИгорЪ в сообщении #533588 писал(а):
Возьмем теперь лагранжиан Галилеевой частицы в виде корня из квадрата длины обычной 3-скорости. Опять вычислим теперь уже 3-импульс и обнаружим, что его длина тоже константа.

Нельзя ли вот это расписать?

 Профиль  
                  
 
 Re: связи в СТО и Галилеевой механике
Сообщение01.02.2012, 08:23 
Аватара пользователя


22/10/08
1286
$L=\sqrt{\dot{x}_i^{2}}$
$p_i=\frac{\dot{x}_i}{\sqrt{\dot{x}_i^{2}}}$
где $x_i(t)$-траектория частицы в трехмерии. Видно, что $p^2=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: связи в СТО и Галилеевой механике
Сообщение01.02.2012, 11:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
А разве этот лагранжиан правильное движение даёт?

 Профиль  
                  
 
 Re: связи в СТО и Галилеевой механике
Сообщение01.02.2012, 11:48 
Аватара пользователя


22/10/08
1286
Прямую то даёт, а всякие константы я пока не пишу.

 Профиль  
                  
 
 Re: связи в СТО и Галилеевой механике
Сообщение01.02.2012, 13:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ну хотя бы параболу в поле тяжести...

 Профиль  
                  
 
 Re: связи в СТО и Галилеевой механике
Сообщение01.02.2012, 15:02 
Аватара пользователя


22/10/08
1286
Возможно это и интересно, добавлять внешние поля, но к теме не относится, т.к. рассматриваются свободные частицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: связи в СТО и Галилеевой механике
Сообщение01.02.2012, 15:27 


04/12/10
363
Вообще, вид лагранжиана выбирается так (с точностью до...), чтобы он согласовался с опытом. Я так понимаю, Ваш вопрос представляет лишь академический интерес.

 Профиль  
                  
 
 Re: связи в СТО и Галилеевой механике
Сообщение01.02.2012, 15:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Если вы ограничиваетесь случаем свободных частиц, то вы от геометрии ничего не оставляете, прямые линии в псевдоеклидовом пространстве такие же, как в галилеевом и в любом аффинном. А как только вы начнёте добавлять реалистичности, у вас сразу исчезнет и ваш надуманный лагранжиан, и связи.

Не хотите поле тяжести - напишите действие для упругого столкновения двух частиц.

 Профиль  
                  
 
 Re: связи в СТО и Галилеевой механике
Сообщение01.02.2012, 15:50 
Аватара пользователя


22/10/08
1286
apv в сообщении #533761 писал(а):
Вообще, вид лагранжиана выбирается так (с точностью до...), чтобы он согласовался с опытом. Я так понимаю, Ваш вопрос представляет лишь академический интерес.
Лагранжиан СТО - длина мировой линии в метрике Минковского. Лагранжиан "Галилея" -длина мировой линии в трехмерной евклидовой метрике. В обоих случаях с опытом всё хорошо - свободные частицы имеют экстремалями прямые траектории.

 Профиль  
                  
 
 Re: связи в СТО и Галилеевой механике
Сообщение01.02.2012, 16:06 


04/12/10
363
ИгорЪ в сообщении #533767 писал(а):
Лагранжиан СТО - длина мировой линии в метрике Минковского.

Скорее не лагранжиан, а само действие.

ИгорЪ в сообщении #533767 писал(а):
Лагранжиан "Галилея" -длина мировой линии в трехмерной евклидовой метрике.


Опять же, не лагранжиан, а действие, и не просто действие, а укороченное действие. Уравнение $\delta \int dl =0$ (фактически принцип Мопертюи для свободной частицы) дает лишь уравнение траектории, а не уравнения движения.

 Профиль  
                  
 
 Re: связи в СТО и Галилеевой механике
Сообщение01.02.2012, 16:07 
Аватара пользователя


22/10/08
1286
Munin в сообщении #533763 писал(а):
Если вы ограничиваетесь случаем свободных частиц, то вы от геометрии ничего не оставляете, прямые линии в псевдоеклидовом пространстве такие же, как в галилеевом и в любом аффинном.
Я и не хотел заниматься геометрией.Если бы я сворачивал скорости под корнем по произвольной римановой метрике, то получил бы уравнения геодезических, которые в плоском случае прямые - это ведь совпадает с опытом? Я спрашиваю про связи в самом простом случае свободных часиц.
Munin в сообщении #533763 писал(а):
А как только вы начнёте добавлять реалистичности, у вас сразу исчезнет и ваш надуманный лагранжиан, и связи.
Лагранжиан абсолютно естественен, длина мировой линии см. постом выше.
А вы видели надуманный лагранжиан Намбу-Гото свободной струны? Ничего что при квантовании, его связи дают все известные полевые уравнения?

-- Ср фев 01, 2012 16:09:51 --

apv
Да, правильно, действие. Отождествите параметр со временем и траектория превратится в уравнения движения.

 Профиль  
                  
 
 Re: связи в СТО и Галилеевой механике
Сообщение01.02.2012, 16:22 


04/12/10
363
ИгорЪ в сообщении #533770 писал(а):
Отождествите параметр со временем и траектория превратится в уравнения движения.


Не пойму, как может получиться $\delta \int v^2 dt=0$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: связи в СТО и Галилеевой механике
Сообщение01.02.2012, 17:20 
Аватара пользователя


22/10/08
1286
apv
Вы хотите понять как из лагранжиана с корнем получить $\dot{v}=0$?
Разные лагранжианы могут иметь одни уравнения движения. Лагранжиан с корнем эквивалентен квадратичному с точностью до связи $v^2=0$, которой в квадратичном случае нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: связи в СТО и Галилеевой механике
Сообщение01.02.2012, 17:38 


04/12/10
363
Вернемся к этому утверждению.

ИгорЪ в сообщении #533588 писал(а):
Итак, три абсолютно равноправные компоненты импульса не независимы, а завязаны в связь.


Уменя есть мысль по этому поводу, хотя еще не до конца оформившаяся в моей голове. Смысл приблизительно такой. Мне кажется, что проблема тут в том, что когда мы в случае свободной частицы варьируем интеграл вида $\int dl$, то предполагаем, что направление движения уже задано (вот вам и связь). Когда же мы варьируем интеграл $\int v(t)^2 dt$, то предполагаем, что направление движения не задано (оно определяется начальными условиями).

-- Ср фев 01, 2012 16:54:28 --

К тому же, в первом случае мы варьируем в конфигурационном пространстве, когда заданна начальная и конечная точка (а значит и направление движения), во втором случае - в фазовом пространстве, где направление движение считается произвольным. Поэтому оба интеграла не равносильны.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 44 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Hector


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group