Как нарисовать гиперкуб?

[hurtsy]

INGELRII в сообщении #531852 писал(а):

Есть еще всякие любители делать рисунки на асфальте, которые создают весьма убедительную иллюзию трехмерия. Например, будто под ногами бездонная пропасть, и тому подобное.

Для этого не надо гуглить или искать среди знакомых профессионала. Сколько проблемм в жизни порождено игрой светотеней типа "марсианские каналы". Все что мы воспринимаем есть результат обработки информации мозгом. Все ходим по асфальту и я ходил по асфальту вдоль забора некого учебного заведения. Свет из аудиторий, проходящий сквозь забор из металических прутьев диаметром 30мм нарисовал "потемкинскую лестницу". Длина забора примерно 600м. Получается, при уклоне 30 градусов, перепад высот метров 300. Глаза боятся, а идти необходимо. Пришлось применить метод "глаза боятся, а ноги сами идут".
В связи с многомерностью, вопрос к ЗУ Munin что общее, и что разное между понятиями многомерности и много степеней свободы. В координатном (математическом) представлении одно и тоже. От физиков чаще слышится о степенях свободы, а математики скажем ТС говорят о гиперкубе. С уважением.

[Munin]

temp03 в сообщении #531841 писал(а):

Но ведь тень же свойство асфальта.

Это с чего вы взяли?

temp03 в сообщении #531841 писал(а):

Иксом, игриком и зет на практике никто не пользуется: ни GPS-навигаторы

Вы просто не в курсе. Как раз GPS-навигаторы пользуются тремя, и даже большим числом координат. Просто пользователю показывают две, в проекции на карту. Но если GPS-навигатор используется не в бытовом приборе, а в более серьёзном, например, в самолёте, он может все три координаты отображать.

INGELRII в сообщении #531852 писал(а):

С бинокулярным зрением все просто - мы видим не одно плоское изображение, а два плоских изображения. Тот факт, что мозг потом внутри себя их обрабатывает и может по-всякому повертеть, говорит лишь о крутизне мозга, но ведь не отменяет же двумерности входящего сигнала!

Не всё просто. Эти два плоских изображения, будь они вообще никак не связанными, давали бы нам вообще четырёхмерное пространство. Но они связаны друг с другом, и позволяют восстановить трёхмерную сцену.

INGELRII в сообщении #531852 писал(а):

3D-театры как раз прекрасно это иллюстрируют. Экраны-то плоские.

3D-театры иллюстрируют обратное: они отличаются от 2D-театров.

temp03 в сообщении #531841 писал(а):

И вообще, математики уходят от практики непонятно куда: понапридумывают каких-то "гиперкубов", а потом ломают голову: "Ага, если есть гиперкуб, значит должен быть и бесконечно-мерный куб". И пытаются его нарисовать. Зачем? Только от нечего делать?

Если бы математики этого "только от нечего делать" не делали, вы бы за компьютером не сидели. На "бесконечно-мерном кубе" вся квантовая механика основана.

Как меня достало хамское презрение к достижениям науки, обеспечивающим банально комфортную жизнь презирающим...

hurtsy в сообщении #531899 писал(а):

В связи с многомерностью, вопрос к ЗУ Munin что общее, и что разное между понятиями многомерности и много степеней свободы. В координатном (математическом) представлении одно и тоже. От физиков чаще слышится о степенях свободы, а математики скажем ТС говорят о гиперкубе.

Когда говорят о степенях свободы, подразумевают не просто "многомерность". Подразумевают какое-то движение в этом многомерном пространстве (или хотя бы возможность движения), и обычно - некоторой реальной механической точки. Точнее, реальная физическая система, в трёхмерном пространстве, но состоящая не из одной точки, а из многих составляющих, абстрактно движется в некотором многомерном пространстве как точка. Положение точки задаёт все числа, описывающие состояние этой системы. Вот набор таких чисел, которые могут независимо произвольно меняться, - это и есть степени свободы.

Не всегда число координат совпадает с числом степеней свободы. Например, рассмотрим гантель из двух тяжёлых точек и жёсткого стержня. Задать её положение в пространстве мы можем шестью координатами: координатами одной и другой точки. Но расстояние между точками фиксировано, система не может двигаться так, чтобы это расстояние изменялось. Поэтому степеней свободы реально меньше, пять. В шестимерном пространстве координат существует подпространство ("поверхность"), и система всегда находится на этой "поверхности". "Поверхность" имеет внутреннюю размерность пять - это и есть число степеней свободы.

Если мы не имеем дело с моделью типа "точка где-то движется" (или с родственными ей), то мы не говорим о степенях свободы, и физики в том числе. Например, физик скажет, что электрическое и магнитное поля - это векторные поля в трёхмерном пространстве (если не считать времени), но не употребит здесь слово "степень свободы" (степеней свободы у электромагнитного поля другое количество, так что оба термина заняты разными смыслами).

[serval]

(Оффтоп)

Цитата:

я ходил по асфальту вдоль забора некого учебного заведения. Свет из аудиторий

Это был свет знаний Куда полезнее было бы не ходить вдоль забора, а сидеть в этих самых аудиториях

[temp03]

Munin в сообщении #531911 писал(а):

Это с чего вы взяли?

Если угодно, считайте это в некотором роде оттенком цвета асфальта: на свету серый, в тени тёмно-серый. А цвет - свойство непременно асфальта.

Munin в сообщении #531911 писал(а):

Вы просто не в курсе. Как раз GPS-навигаторы пользуются тремя, и даже большим числом координат. Просто пользователю показывают две, в проекции на карту.

Может быть, не стану спорить, я речь вёл именно о пользователях, о том что им 3-мерное представление бессмысленно.

Munin в сообщении #531911 писал(а):

На "бесконечно-мерном кубе" вся квантовая механика основана.

Опять же не стану спорить. К сожалению я ни разу не знаток ни квантовой механики, ни теории относительности. Но мне почему-то кажется, что и без n-мерного куба при создании компьютеров можно прекрасно обойтись. Просто другой математический аппарат взять, хотя я опять же не знаток.

[arseniiv]

Цвет не свойство асфальта. Если уж ударяться в философию, то цвет в данном случае — свойство асфальта, света и глаза. Осветите асфальт жёлтым и синим светом, загородите оранжевым полупрозрачным забором и поставьте рядом дальтоника. То, что он увидит, только от одного асфальта не зависит.

-- Сб янв 28, 2012 02:24:39 --

temp03 в сообщении #531841 писал(а):

Только в силу того, что асфальт непрозрачен, мы можем видеть на нём тень.

Нет. Только в силу того, что он отражает. А что делается с неотражённым светом — не важно (он ведь до нас не доходит, если мы только не рассматриваем много разных отражений и прочего (это усложнит дело и не нужно здесь)). Пусть поглощает, пусть пропускает — какая разница!

[Circiter]

2INGELRII

Цитата:

Сделать графическую программу, которая позволяла бы оперировать с многомерными телами.

Да полно такого софта (любой достаточно мощный математический пакет с возможностью строить графики и куча узкоспециализированных развлекательных программулек и даже игрушек). Если у вас есть задача/объект, требующие многомерной визуализации, то нет проблем.

Другое дело, что создавать, манипулировать и наблюдать за многомерными объектами не так-то просто -- степеней свободы мышки/клавиатуры/монитора явно недостаточно (более того, можно и такой пример привести: трехмерный объект иногда удобно вращать в редакторе вокруг произвольно выбранной оси, но в пространствах другой размерности эта операция не имеет прямых аналогов). Ну и смысла обычно в таких затеях мало...

2temp03

Цитата:

А с чего взяли, что количество измерений пространства 3? И вообще разве можно называть длину, ширину и высоту "измерениями"?

Можно считать это эмпирическим фактом -- любой предмет из окружающего пространства не более чем трехмерен. Возьмем яблоко и 1) разрежем его пополам, между его половин можно положить плоский лист бумаги. 2) Разрежем этот лист бумаги пополам, теперь между этими бумажными фрагментами можно положить нить. Наконец, 3) разрежем нить пополам и положим между обрезками точку, не поддающуюся дальнейшему делению. Всего понадобилось ровно три разреза. Количество таких разрезов можно принять за определение размерности любого пространства (заметьте, обошлись без линеек, длины, ширины, высоты и пр.).

Кстати, сравнивая яблоко с его образом в памяти, можно заметить изменения, что фактически приводит к необходимости сначала произвести разрезание всей истории существования некоторого конкретно взятого яблоко на яблоко в прошлом (до разрезания) и на яблоко в будущем (после разрезания), положить между этими кусками истории яблоко из настоящего, а потом уже провести вышеописанный процесс трехкратной дихотомии. Итого, на самом деле получается четыре разреза, что говорит о четырехмерности реального мира.

(И это ещё не всё, некоторые физические теории предсказывают, что вооружившись достаточно точными инструментами, разрезание яблока можно продолжать вплоть до дюжины раз. :) Да и других определений размерности полным-полно.)

2serval

Цитата:

Мы можем лишь интерпретировать плоские сцены как объемные.

Тут можно вообще дойти до того, что свет фиксируется отдельными рецепторами в сетчатке, то есть на самом деле мы видим только одномерные картинки. Но потом из них как-то собираются двумерные и даже трехмерные (а у некоторых может и четырехмерные, но их увозят санитары).

Цитата:

Ставим между объектом и наблюдателем прозрачный экран (к примеру, оконное стекло) - чем отличается проекция на сетчатку от проекции на стекло? То и другое - двумерно

Матовое стекло само по себе вообще никакую проекцию показывать не будет, сначала нужно направить лучи на него с помощью оптики или хотя-бы маленького отверстия. Такое устройство будет действовать на наблюдаемую сцену как проектор (если хотите, математический). Прозрачное стекло без оптики действует на сцену как гребенка проекторов -- каждый срабатывает в зависимости от угла под которым на него смотрят.

Глаза устроены также как и та конструкция с объективом и матовым экраном, то есть они действуют как два направленных проектора.

Короче говоря, есть куча одномерных детекторов, сгруппированных в две матрицы и снабженные объективами. Весь поток информации (в том числе информация об ориентации глаз, положении наблюдателя, информация из памяти и т.д.) позволяет частично реконструировать трехмерную картинку в сознании. Но элементарный канал одномерен (палочки/колбочки) и даже дискретен (вкл/выкл) так как большая часть информации передающейся от сетчатки кодируется частотой дискретных пульсаций; ну это конечно жутко упрощенно, но суть более-менее передаёт...

Ну и зачем тогда говорить о двумерности воспринимаемых картинок? Лучше признать, что картинки (да и вообще сенсорные образы) эти обладают достаточной размерностью, чтобы с адекватной точностью моделировать окружающий мир (и эффективно прятаться в кустах, как это утверждают исследователи эволюционного значения бинокулярного видения :) ).

2Munin

Цитата:

Эти два плоских изображения, будь они вообще никак не связанными, давали бы нам вообще четырёхмерное пространство

Не совсем понятно. Если в оба глаза подать две никак не связанные (противоречивые) картинки, то сознание увидит только одну из них (можно переключаться между ними перефокусировкой внимания).

[Munin]

temp03 в сообщении #532144 писал(а):

Если угодно, считайте это в некотором роде оттенком цвета асфальта

А если не угодно? Меня интересует не асфальт, а тень.

temp03 в сообщении #532144 писал(а):

я речь вёл именно о пользователях, о том что им 3-мерное представление бессмысленно.

В таком случае, посмотрите на градусник за окном: в этом случае пользователям и 2-мерное представление бессмысленно, достаточно 1-мерного. И что это доказывает?

temp03 в сообщении #532144 писал(а):

Но мне почему-то кажется, что и без n-мерного куба при создании компьютеров можно прекрасно обойтись.

Зря вам так кажется, нельзя было.

Circiter в сообщении #532159 писал(а):

а у некоторых может и четырехмерные, но их увозят санитары

...или они идут в преподаватели...

Circiter в сообщении #532159 писал(а):

Не совсем понятно, если в оба глаза подать две никак не связанные картинки, то сознание увидит только одну из них (можно переключаться между ними перефокусировкой внимания).

Угу, потому что сознание привыкло, что картинки всё-таки связаны. Поясню математически, пусть в левом глазу мы видим заданную точку в положении $(x_l,y_l),$ а в правом - в положении $(x_r,y_r),$ тогда, вообще говоря, для этой точки произвольно заданным является положение в четырёхмерном пространстве $(x_l,y_l,x_r,y_r).$ Мы просто привыкли, что $y_l=y_r,$ но это частный случай.

[serval]

Цитата:

Если у вас есть задача/объект, требующие многомерной визуализации, то нет проблем.

У меня есть. Нужно визуализировать 4-мерное множество точек. Подскажите подходящую программу.

Цитата:

Тут можно вообще дойти до того, что свет фиксируется отдельными рецепторами в сетчатке

Нельзя. Трехмерное тело не проецируется в каждую клетку сетчатки, но проецируется на всю ее поверхность, а она двумерна. Хотя, у стрекозы, действительно, глаза фасеточные. Бог знает, что она там интерпретирует, может и многомерие.

Цитата:

Матовое стекло само по себе вообще никакую проекцию показывать не будет

Я не говорил про показывать. Я говорил про проекцию на стекло. А она не зависит от того, потерли вы его нулевой наждачкой или нет.

Цитата:

и эффективно прятаться в кустах, как это утверждают исследователи эволюционного значения бинокулярного видения

Кстати, бинокулярное зрение - атрибут хищника.

[Circiter]

2serval

Цитата:

Кстати, бинокулярное зрение - атрибут хищника.

Это вы про прятаться в кустах? Ну ведь именно хищникам и нужно прятаться в кустах. Травоядные, кстати тоже имеющие бинокулярное зрение, предпочитают не прятаться, а наоборот пастись подальше от подозрительных кустов и чуть что, сразу давать деру со всех ног.

Цитата:

У меня есть. Нужно визуализировать 4-мерное множество точек. Подскажите подходящую программу.

Отбросьте две лишние координаты. :) Или давайте напишем что-нибудь простенькое (можете даже тему в разделе "программирование" создать, а то там совсем скучно стало)... А за ссылками на готовый софт по визуализации данных это в разделе "околонаучный софт" спрашивайте, а я конкретных наименований сечас навскидку, боюсь, что не приведу, извините...

Хотя, раз уж тут говорят про всякие гиперкубы, пока можете обратить внимание на забавный проектик jenn3d для визуализации политопов (посмотрите на примеры визуализации). (Технически, там приеняется стереографическая проекция трехмерной сферы, так что геометрия сильно искажена; зато красиво. :) )

Цитата:

Нельзя. Трехмерное тело не проецируется в каждую клетку сетчатки, но проецируется на всю ее поверхность, а она двумерна.

Я имел ввиду, что в основе все-равно лежат точечные детекторы (я почему-то их по-ошибке обозвал одномерными, хотя они, получается, на самом деле 0-мерны :) ). Да и фасеточное зрение принципиально-то от обычных глаз не отличается, тоже объектив (телескоп) + детектор...

Ok, интерфейс человека с окружающей средой действительно двумерен -- соответсвующая топология порождается отношением соседства, а сами элементы-сенсоры воспринимают информацию точечно. (Исключение составляет разве что вестибулярный аппарат -- он замеряет ориентацию и ускорения сразу в трех плоскостях.)

Почему этот интерфейс двумерен в-принципе понятно, но и более примитивными средствами можно было бы обходится; кажется у какого-то вида раков глаза работают именно как канцелярский сканер, т.е. срисовывают картинку построчно. :)

Цитата:

А она не зависит от того, потерли вы его нулевой наждачкой или нет.

Тогда я окончательно запутался. К чему вы вообще заговорили про стекло?

Что я имел ввиду? Стекло по мере огрубления поверхности при "полировке" наждачкой будет все меньше и меньше пропускать информации, все сильнее рассеивая свет. Такое стекло уже не будет проектором, так как проектор должен быть однозначным (даже биекцией). Чтобы сделать матовое стекло "неотличимым" от глаза, нужно добавить оптику (объектив). Конкретно с чем вы не согласны? Извините, я что-то потерял нить разговора, пойду перечитывать предыдущие страницы. :)

Впрочем, на всякий случай замечу, что матовое стекло вы можете считать моделью сетчатки (и поэтому считать сенсорный образ двумерным), но нельзя забывать, что сетчатки две, и, соответственно информации через них поступает больше, чего вполне достаточно для частичного восстановления трехмерной сцены методами томографии.

[Munin]

serval в сообщении #532168 писал(а):

Нужно визуализировать 4-мерное множество точек.

С практической задачи и надо было начинать, а то философзтвования всякие...

Есть два подхода. Вы либо говорите, что "четвёртая координата - это время", и визуализация становится видеороликом. Либо даёте пользователю возможность "покрутить пространство в руках", то есть, на экране, предоставив ему органы управления для вращений в 4-мерном пространстве. Чтобы не дезориентировать, надо снабжать изображение вспомогательной информацией (например, где какие координаты как сейчас проецируются, какое реальное 4-мерное положение занимают изображаемые точки, насколько далеко вращение отошло от начальной точки). За пример можно брать самые лучшие и удобные интерфейсы 3-мерной визуализации.

[serval]

Цитата:

"четвёртая координата - это время", и визуализация становится видеороликом.

Интересная мысль, я не додумался. Спасибо за подсказку. Додумался только до набора трехмерных сечений.

Цитата:

Или давайте напишем что-нибудь простенькое

Давайте. Поможете? Выкладывать алгоритм?

[Хорхе]

Вот над чем предлагаю подумать: для любого ли $n$ можно красиво изобразить граф гиперкуба с вершинами в вершинах правильного $2^n$-угольника? Под красотой я подразумеваю, что для любых двух вершин найдется переводящий одну вершину в другую автоморфизм графа, являющийся движением $2^n$-угольника. Это возможно, например, для $n=1,2,3$. Вот пример трехмерного:

$$\shorthandoff{

[Circiter]

2Хорхе
По-моему можно вообще всегда распределить вершины на окружности так, чтобы конструкция была симметричной в каком угодно смысле. :) Те же петри-многоугольники кажется более практичны.

2serval

Цитата:

Поможете?

Попробую конечно. Создавайте тему в программировании.

Цитата:

Выкладывать алгоритм?

О, так у вас и алгоритм есть? А какая же тогда вам нужна помощь? :)

[temp03]

Circiter, неубедительно (для меня лично). Всё что вы привели, не более чем представления, а не физическая реальность. В реальности и лист и нить и точка - трёхмерны.

Munin, слишком длинная у нас с Вами выдалась дискуссия по поводу толщины тени, значит, что-то неправильно. Затягивать не вижу смысла, т.к. более информативного уже вряд ли что-то можно предложить, да и не вижу для себя ни смысла, ни желания. Не столь это важный вопрос, только если ради забавы, но меня это не забавляет.

[Хорхе]

Circiter в сообщении #532414 писал(а):

2Хорхе
По-моему можно вообще всегда распределить вершины на окружности так, чтобы конструкция была симметричной в каком угодно смысле. :)

Можно-то, может, и можно, но звучит неубедительно. Вот Вы хорошо в xypic'е рисуете, может, нарисуете мне 4-хмерный куб?