Попытка доказательства Теоремы Ферма

[nnosipov]

natalya_1 в сообщении #531111 писал(а):

Может, как-то проще все это можно сделать?

Вот здесь я склонен к оптимизму. Задачу можно поставить так. Пусть $a$, $b$, $c$ --- числа (не обязательно целые!), удовлетворяющие условию $a^3+b^3=c^3$ (и, если необходимо, ещё каким-то естественным ограничениям типа неравенств). Выяснить, сколько корней может иметь кубическое уравнение $f(x)+f(a)=0$. Один корень есть всегда (это $b$), а вот всегда ли будут ещё два других --- это и предстоит определить.

Аккуратное решение этой задачи вполне можно было считать достижением в этой теме.

[dmd]

nnosipov в сообщении #531110 писал(а):

dmd в сообщении #531109 писал(а):

Если один из корней уравнения $(cd-p)x^3-c^2dx^2+c^2px+ab(c-a)(c-b)(b-a)=0$ равен $b$, то второй корень также равен $b$

С чего бы это? Бездоказательно.

Можно проверить обратной подстановкой. Подставляем $x=b$, затем $d = a + b - c, p = a^2 + b^2 - c^2$, получаем $a^3 + b^3 - c^3=0$. Аналогично с корнем $x=\frac{c^2 d}{c d-p}-b$.

[natalya_1]

nnosipov в сообщении #531123 писал(а):

Вот здесь я склонен к оптимизму. Задачу можно поставить так. Пусть $a$, $b$, $c$ --- числа (не обязательно целые!), удовлетворяющие условию $a^3+b^3=c^3$ (и, если необходимо, ещё каким-то естественным ограничениям типа неравенств). Выяснить, сколько корней может иметь кубическое уравнение $f(x)+f(a)=0$. Один корень есть всегда (это $b$), а вот всегда ли будут ещё два других --- это и предстоит определить.

Аккуратное решение этой задачи вполне можно было считать достижением в этой теме.

Боюсь, моих знаний не хватает для решения этой задачи.
Я наивно полагала, что, если между $a$ и $b$ существует точка $\frac{cp}{cd-p}$ и $f(0)=f(\frac{cp}{cd-p})=f(c)=0$, $f(a)=-f(b)$ - этого достаточно для того, чтобы говорить о том, что у уравнения $f(b)+f(a)=0$ три вещественных корня .

[nnosipov]

dmd в сообщении #531124 писал(а):

Аналогично с корнем $x=\frac{c^2 d}{c d-p}-b$.

Ерунда. Ничего подобного не получится.

[natalya_1]

dmd в сообщении #531124 писал(а):

с корнем $x=\frac{c^2 d}{c d-p}-b$.

Я подставила, у меня не получилось.

[nnosipov]

natalya_1 в сообщении #531129 писал(а):

Боюсь, моих знаний не хватает для решения этой задачи.

Но это вполне реальная задача, в отличие от той, которую Вы пытаетесь решать на протяжении вот уже нескольких десятков страниц этой темы (вот здесь я склонен к самому мрачному пессимизму).

[dmd]

Да, действительно. Снова запутался. Извиняюсь.

[natalya_1]

nnosipov в сообщении #531136 писал(а):

(вот здесь я склонен к самому мрачному пессимизму).

Спасибо, обнадежили.

-- Ср янв 25, 2012 17:20:21 --


Пока для меня реально доказать вещественность корней через дискриминант по формуле Кардано. Это я распишу.

[Алексей К.]

Зачем Кардано? Вам же известен один корень уравнения! Вы не можете свести его к квадратному?
И что-то похожее (или ровно это) уже проходили здесь месяц назад. Только надо заменить рациональность на вещественность.

[natalya_1]

AKM в сообщении #520247 писал(а):

Итак, мы приходим к квадратному уравнению

$$\hspace*{-3cm}(a^2+b^2-ac-bc)x^2+(bc^2+ac^2-ca^2+ab^2-abc-b^3)x+b(b-c)(a-c)(b-a)=0. \eqno(100)$$

И намерены доказать рациональность его корней $x_{1,2}$ (помня условие $a^3+b^3=c^3$).

Ну, так тогда вообще просто: дискриминант здесь положителен.

-- Ср янв 25, 2012 17:48:50 --

Алексей К., спасибо Вам и AKM

[nnosipov]

natalya_1 в сообщении #531171 писал(а):

Ну, так тогда вообще просто: дискриминант здесь положителен.

Так давайте его выпишем здесь, чтобы эта положительность была всем очевидна. (Раньше его не выписывали случаем?)

[Алексей К.]

natalya_1 в сообщении #521418 писал(а):

И уравнение несколько другое получается,

Вы непоследовательны. Тогда оно было "несколько другое", теперь сразу стало подходящим. Вы так быстро проверили, сосчитали дискриминант, убедились в положительности?

Но главное, почему Вы этого не сделали сами? У Вас нет учебника алгебры за 9-й класс (примерно 9-й, тот где рассматриваются простейшие кубические уравнения), чтобы повторить предмет? Вам некогда этой ерундой заниматься?

(Это были вопросы, не требующие ответа. Кажется, их называют риторическими. Сам проверю по словарям, можно не подсказывать)

(nnosipov)

nnosipov,
вот Вы всё придираетесь, и ни одной персональной спасибы не заработали. А у меня уже штук 3! Да, именно факториал!

[nnosipov]

(Оффтоп)

Здесь (на почти 40 страницах этой темы) почти все заработали хотя бы по одной (1!) спасибе. И у меня где-то была, но найти будет трудно ... Да, нужны положительные эмоции, но где ж их взять при таком-то дискриминанте.

[AKM]

Полагаю, из-за однородного вхождения $x,a,b,c$ вовсюду, дискриминант можно сделать функцией одной переменной, типа $k=b/a$. И может она будет монотонной. А прежде, чем садиться доказывать монотонность, полезно будет посмотреть десяточек графиков при разных $k$. Вдруг сразу увидится, что положительность не от монотонности происходит? Ну, это я чисто опять хочу сэкономить очередные 7 страниц хождений вокруг да около очередной сосны.

[nnosipov]

Присоединяюсь к предложению AKM. Действительно, надо как-то пользоваться однородностью, да и численные эксперименты не повредят. Вполне себе полезное упражнение.