Попытка доказательства Теоремы Ферма

[nnosipov]

natalya_1, Вы поняли, что я просил сделать? Ещё раз:

nnosipov в сообщении #530837 писал(а):

Пишите подробное доказательство равенства $b-b_1=a_2-a_1$. Объясняйте, как в этом доказательстве используется то условие, что $a$, $b$, $c$ --- целые числа, удовлетворяющие равенству $a^3+b^3=c^3$.

[natalya_1]

$f(b_3)=f(b_4)=f(b_5)=-f(b)+2f(\frac{c^2d}{3(cd-p)}), b_3<b_5<b_4.$
$f(b_1)=f(b_2)=f(b),$ $b_1<b_2<b.$, следовательно, $b_4-b_3=b-b_1.$
$f(a_1)=f(a)=f(a_2)=-f(b),$ $a_1<a<a_2.$
$f(b_4)-f(a_2)=-(f(a_1)-f(b_3)),$ следовательно, $b_4-a_2=b_3-a_1, b_4-b_3=a_2-a_1.$
Тогда $b-b_1=a_2-a_1.$
$(a_2-a_1)^2=(a_2^2+a_1^2)-2a_2a_1$ - рациональное число, следовательно,



$b^2-2bb_1+b_1^2$ - рациональное число, $b_1(b_1-2b)$ - рациональное число,
$b_1(\frac{c^2d}{3(cd-p)}-3b-b_2)$ - рациональное число,
$-b_1b_2+b_1(\frac{c^2d}{3(cd-p)}-3b)$ -рациональное число. Поскольку $bb_1$ и $(\frac{c^2d}{3(cd-p)}-3b)$ - рациональные числа, $b_1$ - рациональное число.

-- Вт янв 24, 2012 22:44:31 --

nnosipov в сообщении #530846 писал(а):

Вы поняли, что я просил сделать?

Видимо, не совсем.

[nnosipov]

natalya_1 в сообщении #530848 писал(а):

$f(b_3)=f(b_4)=f(b_5)=-f(b)+2f(\frac{c^2d}{3(cd-p)}), b_3<b_5<b_4.$
$f(b_1)=f(b_2)=f(b),$ $b_1<b_2<b.$, следовательно, $b_4-b_3=b-b_1.$
$f(a_1)=f(a)=f(a_2)=-f(b),$ $a_1<a<a_2.$
$f(b_4)-f(a_2)=-(f(b_1)-f(a_3)),$ следовательно, $b_4-a_2=b_3-a_1, b_4-b_3=a_2-a_1.$
Тогда $b-b_1=a_2-a_1.$

Где именно (и как именно) в этом тексте Вы используете целочисленность $a$, $b$, $c$? Апелляция к графикам не может быть доказательством, так как в общем случае равенство $b-b_1=a_2-a_1$ не выполняется.

[natalya_1]

nnosipov в сообщении #530850 писал(а):

так как в общем случае равенство $b-b_1=a_2-a_1$ не выполняется.

Мне очень стыдно, но я не понимаю, о чем Вы говорите.

[nnosipov]

natalya_1 в сообщении #530854 писал(а):

я не понимаю, о чем Вы говорите

Объясняю. Возьмём, к примеру, $a=1$, $b=2$, $c=9^{1/3}$ и вычислим корни $b_1$, $b_2$, $a_1$, $a_2$ соответствующих уравнений. Так вот, окажется, что $b-b_1 \neq a_2-a_1$. Это означает, что всякое правильное рассуждение, доказывающее равенство $b-b_1=a_2-a_1$, должно обязательно использовать целочисленность $a$, $b$ и $c$. И если в Вашем рассуждении эта целочисленность не используется, то Ваше рассуждение неверно.

Вот я и спрашиваю: где именно (и как именно) в тексте Вашего доказательства равенства $b-b_1=a_2-a_1$ используется целочисленность $a$, $b$, $c$?

[natalya_1]

nnosipov в сообщении #530856 писал(а):

Вот я и спрашиваю: где именно (и как именно) в тексте Вашего доказательства равенства $b-b_1=a_2-a_1$ используется целочисленность $a$, $b$, $c$?

Имеется в виду, что $b, b_1, b_2$ - корни уравнения с целыми (рациональными) коэффициентами ? (что возможно только при целых $a, b, c? $)

[nnosipov]

natalya_1 в сообщении #530862 писал(а):

Имеется в виду, что $b, b_1, b_2$ - корни уравнения с целыми (рациональными) коэффициентами ?

Нет, не это. Ещё раз читаем моё предыдущее сообщение. Пока это не будет понято, дальше двигаться смысла не имеет.

[dmd]

natalya_1 в сообщении #530711 писал(а):

$f(a)=ab(c-a)(c-b)(a-b)\not=0$

Мне кажется тут минус потерялся.

Должно быть так

$f(a)=ab(c-a)(c-b){\color{blue}(b-a)}\not=0$

[natalya_1]

dmd в сообщении #531015 писал(а):

Мне кажется тут минус потерялся.

Должно быть так

$f(a)=ab(c-a)(c-b){\color{blue}(b-a)}\not=0$

Спасибо! Ошиблась при правке текста в Карантине.
Исправил ТАМ. АКМ

nnosipov в сообщении #530856 писал(а):

Ваше рассуждение неверно.

Я проверила свое доказательство того, что $b>b_1, b>b_2$ и нашла там ошибку.
Думаю, дело именно в этом.
То есть, надо рассмотреть еще второй вариант, $b_1<b<b_2$. Тогда получается $b_2-b_1=a_2-a_1.$

[dmd]

natalya_1 в сообщении #530711 писал(а):

2.2. Пусть $b,b_1,b_2$ - корни уравнения $f(x)+f(a)=0$ или в развернутом виде

$$(cd-p)x^3-c^2dx^2+c^2px+ab(c-a)(c-b)(a-b)=0, $$

$a, a_1, a_2 $ - корни уравнения $f(x)+f(b)=0.$

2.3. $b_1=\frac{q_1}{cd-p}$ , $b_2=\frac{q_2}{cd-p}. $

Поясните, пожалуйста, почему один из корней уравнения $(cd-p)x^3-c^2dx^2+c^2px+ab(c-a)(c-b){\color{blue}(b-a)}=0$ равен $b$?

Почему два других корня имеют именно такую форму $b_1=\frac{q_1}{cd-p}$ и $b_2=\frac{q_2}{cd-p}$?

Каковы $q_1$ и $q_2$? Они натуральные взаимнопростые с $(cd-p)$?

[natalya_1]

dmd в сообщении #531050 писал(а):

Почему два других корня имеют именно такую форму $b_1=\frac{q_1}{cd-p}$ и $b_2=\frac{q_2}{cd-p}$?

Потому что сумма корней уравнения по Теореме Виета $b+b_1+b_2=\frac{c^2d}{cd-p}$

-- Ср янв 25, 2012 14:51:56 --

dmd в сообщении #531050 писал(а):

Каковы $q_1$ и $q_2$? Они натуральные взаимнопростые с $(cd-p)$?

1. Мы исходим из того, что
$b_1$ и $b_2$ рациональны (это то, что я никак не могу доказать). В этом случае $q_1$ и $q_2$ - целые числа.
2. Нет, они не взаимнопростые с $cd-p$

[nnosipov]

natalya_1 в сообщении #531024 писал(а):

Я проверила свое доказательство того, что $b>b_1, b>b_2$ и нашла там ошибку.
Думаю, дело именно в этом.
То есть, надо рассмотреть еще второй вариант, $b_1<b<b_2$. Тогда получается $b_2-b_1=a_2-a_1.$

Дело не только в этом. Я ещё раз Вам советую предварительно выяснить вопрос о существовании вещественных корней $b_1$, $b_2$. Хотя бы. А уж обсуждать, как там хорошо будет, когда будет доказана рациональность $b_i$ --- это делить шкуру пока не убитого медведя. Очень глупое занятие.

[dmd]

Если один из корней уравнения $(cd-p)x^3-c^2dx^2+c^2px+ab(c-a)(c-b)(b-a)=0$ равен $b$, то второй корень также равен $b$, т.е. это уравнение имеет два кратных натуральных корня. Третий корень равен $\frac{c^2d}{cd-p}-b$. Если это верно, то рациональным может быть лишь один корень из трёх.

[nnosipov]

dmd в сообщении #531109 писал(а):

Если один из корней уравнения $(cd-p)x^3-c^2dx^2+c^2px+ab(c-a)(c-b)(b-a)=0$ равен $b$, то второй корень также равен $b$

С чего бы это? Бездоказательно.

[natalya_1]

nnosipov в сообщении #531080 писал(а):

Я ещё раз Вам советую предварительно выяснить вопрос о существовании вещественных корней $b_1$, $b_2$. Хотя бы.

Да я уже поняла, спасибо.
Через формулу Кардано я это проделала, у меня получилось вроде бы, но очень много преобразований, боюсь, что где-то ошиблась. Буду проверять.
Может, как-то проще все это можно сделать?