С чего начать изучение математики?

[SokolovArt]

Лучше не буду ничего писать, а то чего-то не получается.
Ладно, решил скачать фихтенгольца и начать его читать.

[PAV]

Тема перемещена из "Помогите решить/разобраться" в карантин. Почему это произошло, можно понять, прочитав тему
Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться
Там же описано, как исправлять ситуацию.

Освойте запись формул и сделайте удобочитаемыми все свои посты в этом топике.

[PAV]

Тема возвращена.

-- Пт янв 13, 2012 22:55:43 --

SokolovArt в сообщении #526439 писал(а):

Ладно, решил скачать фихтенгольца и начать его читать.

Правильное решение. Лучше задавайте вопросы по тексту и задачам, когда возникнут. Потому что то, что здесь было написано - это и близко не подходит к правильному обоснованию, и вообще было отличным примером как раз того "ложного понимания", о котором я рассказывал. Вы пытались угадать правильный ответ и угадать "правдоподобные" (как Вам казалось) его обоснования. Последние и близко не лежали к тому, что нужно. В частности, пример с пределом, в котором присутствует логарифм, является так называемой неопределенностью (точнее даже "неопределенностью типа $0\cdot\infty$" - и это мое "типа" не вольность речи, а вполне официальная терминология), которую нужно раскрывать, потому что она априори может давать любой результат, от нуля до бесконечности, и в данном случае это не очень сложная, но все-таки теорема, которую нужно доказать, и это требует определенных формул и определенных рассуждений.

И все-таки я настоятельно рекомендую помимо Фихтенгольца еще все-таки скачать или купить в любом книжном любой учебник по математическому анализу попроще. Фихтенгольц для Вас - это достаточно сложная книга, там не все будет просто и понятно.

[Padawan]

Тут правильно посоветовали физику параллельно изучать, чтобы иметь представление, как математика может применяться. На мой взгляд, это обязательно, особенно в таком возрасте. Абстракции должны постепенно накапливаться и быть мотивированными. По физике пусть физики посоветуют книжки.

[Munin]

(Оффтоп)

Сильно зависит от того, какие абстракции хочется освоить. В физике вообще находят применение не все абстракции, или некоторые оказываются приложенными в продвинутых разделах физики (матрицы, группы). И наоборот, "физически простые" вещи могут быть продвинутыми математически, например, преобразование Фурье.

[loldop]

(Оффтоп)

Тот самый Максвелл тоже не так уж и прост с точки зрения математики, хотя и для физиков он не очень прост, а выглядит красиво.

[PAV]

Padawan в сообщении #526599 писал(а):

На мой взгляд, это обязательно, особенно в таком возрасте.

Я бы не стал так категорично утверждать. Меня лично, например, физика особо никогда не привлекала, и я ее и не знаю толком. И ничуть мне это не мешает жить
Если есть склонность - тогда конечно да, но если нет, то насильно впихивать в себя совсем не обязательно. Существует множество приложений математики совсем их других областей, с физикой никак не связанных.

[SokolovArt]

Насчёт Фихтенгольца, то вроде бы всё понятно (введение прочитал нормально, понял всё)).
Про определённость эту я узнал только после написания решения.
Кстати, Pav, с вами полностью согласен насчёт физики (физику понимаю хорошо, но на школьном уровне, дальше знать как-то не тянет).

-- 14.01.2012, 11:47 --

Но чувствую, что лучше начать делать всё попорядку (с начала первого тома).

[Nemiroff]

Цитата:

Насчёт Фихтенгольца, то вроде бы всё понятно (введение прочитал нормально, понял всё)).

Тогда вам такое упражнение. Можете доказать, что из существования у всякого ограниченного множества верхней грани следуют принцип Архимеда и теорему Кантора (для системы вложенных отрезков существует точка, принадлежащая все отрезкам)?

[SokolovArt]

Произведём сечение $A|A_1$, где к первому множеству отнесём все вещ.числа $a$, а ко второму $a_1$. Сечение будет производить рац. число $a_0$, которое будет принадлежать к нижнему классу и являться (так, как производит сечение и рациональное) верхней гранью этого класса.Следовательно мы можем взять любое вещ.число $a_2$, принадлежащее к верхнему классу и это число будет больше любого вещ.числа из нижнего множества (по определению сечения), ч.т.д.
А про теорему Кантора я, честно говоря ещё не читал, но понял, что Вы имеете в виду.
Буду доказывать от противного: пусть $a>b$ и существуют сечения $A|A_1$ и $B|B_1$. Также (потому, что мы доказываем от противного) эти сечения не имеют общих точек,т.е. не пересекаются. Но из условия, что $a>b$ следует, что множество $B$ является частью (подмножеством) множества $A$.Но это значит, что множество $B$ пересекается с множеством $A$, т.е. они имеют общие точки.Т.к. мы пришли к противоречию, то наше предположение неверно и теорема доказана (здесь я доказал теорему только для 2 множеств(отрезков), но она доказывается аналогично и для большего числа множеств).

-- 14.01.2012, 20:23 --

Nemiroff
Я-то конечно доказал принцип Архимеда, но только он в учебнике Фихтенгольца принимается как аксиома (без доказательств).Но это так, к слову.

[Nemiroff]

Цитата:

Произведём сечение $A|A_1$, где к первому множеству отнесём все вещ.числа $a$, а ко второму $a_1$. Сечение будет производить рац. число $a_0$, которое будет принадлежать к нижнему классу и являться (так, как производит сечение и рациональное) верхней гранью этого класса.Следовательно мы можем взять любое вещ.число $a_2$, принадлежащее к верхнему классу и это число будет больше любого вещ.числа из нижнего множества (по определению сечения), ч.т.д.

Не понял. Аксиома Архимеда утверждает:

Цитата:

Пусть $a > 0$ и $b > 0$. Тогда $\exists n:\,na > b$

Или так $\forall a \in \mathbb{R}\, \exists n \in \mathbb{N}: n>a$

Вы проводите сечение на числе $a$?

Цитата:

А про теорему Кантора я, честно говоря ещё не читал, но понял, что Вы имеете в виду.

Конкретно вот это:

Цитата:

Всякая система вложенных отрезков
$[a_1, b_1] \supset [a_2, b_2] \supset \ldots \supset [a_n, b_n] \supset \ldots$
имеет непустое пересечение, то есть существует по крайней мере одно число, принадлежащее всем отрезкам данной системы.

Цитата:

Буду доказывать от противного: пусть $a>b$ и существуют сечения $A|A_1$ и $B|B_1$. Также (потому, что мы доказываем от противного) эти сечения не имеют общих точек,т.е. не пересекаются. Но из условия, что $a>b$ следует, что множество $B$ является частью (подмножеством) множества $A$.Но это значит, что множество $B$ пересекается с множеством $A$, т.е. они имеют общие точки.Т.к. мы пришли к противоречию, то наше предположение неверно и теорема доказана (здесь я доказал теорему только для 2 множеств(отрезков), но она доказывается аналогично и для большего числа множеств).

Как вы используете существование верхней и нижней граней у множества?

Цитата:

Также (потому, что мы доказываем от противного) эти сечения не имеют общих точек,т.е. не пересекаются.

Почему? Для двух каких-то концов каких-то отрезков вполне могут быть общие точки.

Цитата:

Т.к. мы пришли к противоречию, то наше предположение неверно и теорема доказана (здесь я доказал теорему только для 2 множеств(отрезков), но она доказывается аналогично и для большего числа множеств).

Даже если бы у меня не было вопросов по предыдущему. Если что-то доказано для двух, распространить на конечное число вы, поверю, сможете. А на счетное?

[SokolovArt]

Да, я провожу сечение $A|A_1$ на числе $a_0$.А что Вас собственно не устраивает?В моём случае вместо числа $a$ взято число $a_0$,а вместо $n$, любое число из множества $A_1$, т.е. числа $a_1$.
А вот видимо насчёт теоремы Кантора я Вас понял не совсем (я-то подумал, что Вы просили просто доказать теорему Кантора, не используя грани).

-- 15.01.2012, 12:58 --

Я веду док-во от противного, а следовательно система вложенных отрезков не имеет общих точек (иначе что нам надо было доказывать бы?)

-- 15.01.2012, 13:02 --

И на счётное ($a>b>b_1>b_2>...>b_n$).А так, как мы можем доказать теорему для 2 отрезков, то спокойно докажем и для счётного число ($n$ мы можем придать любое значение, которое будет относится к счётному, а не к конечному (извиняюсь за не совсем математическое высказывание)).

[Nemiroff]

Давайте по порядку. Я вам даю число $a$, вы делите вещественные числа на два множества: большие $a$ и не большие $a$. Я правильно понял?

Цитата:

А вот видимо насчёт теоремы Кантора я Вас понял не совсем (я-то подумал, что Вы просили просто доказать теорему Кантора, не используя грани).

Что значит "просто доказать"? Можно принять теорему Кантора за аксиому и вместе с принципом Архимеда получить ту же аксиоматику, что и с непрерывностью по Дедекинду.

-- Вс янв 15, 2012 14:11:55 --

Цитата:

А так, как мы можем доказать теорему для 2 отрезков, то спокойно докажем и для счётного число ($n$ мы можем придать любое значение, которое будет относится к счётному, а не к конечному (извиняюсь за не совсем математическое высказывание)).

Хм. Вы знакомы с понятием открытого множества? Например, интервал на действительной прямой.
Конкретно, открытым множеством зовется такое, у которого каждый элемент принадлежит множеству вместе с некоторой окрестностью. Так вот, пересечение двух открытых множеств открыто. Поэтому пересечение любого конечного числа открытых множеств открыто. Следует ли из этого, что пересечение счетного числа открытых множеств открыто?

[SokolovArt]

Не совсем.Я отношу число $a$ к нижнему классу $A$,т.е. провожу им сечение, причём число $a$ будет являться верхней гранью нижнего класса (т.к. это число проволит сечение и относится к нижнему классу).Следовательно мы можем взять любое число из верхнего класса и оно, по определению сечения будет больше нашего числа $a$ ($n>a$ $n \in A_1$ $a \in A$ $a \sup A$).

-- 15.01.2012, 13:19 --

Nemiroff в сообщении #527102 писал(а):

Давайте по порядку. Я вам даю число $a$, вы делите вещественные числа на два множества: большие $a$ и не большие $a$. Я правильно понял?

Цитата:

А вот видимо насчёт теоремы Кантора я Вас понял не совсем (я-то подумал, что Вы просили просто доказать теорему Кантора, не используя грани).

Что значит "просто доказать"? Можно принять теорему Кантора за аксиому и вместе с принципом Архимеда получить ту же аксиоматику, что и с непрерывностью по Дедекинду.

-- Вс янв 15, 2012 14:11:55 --

Цитата:

А так, как мы можем доказать теорему для 2 отрезков, то спокойно докажем и для счётного число ($n$ мы можем придать любое значение, которое будет относится к счётному, а не к конечному (извиняюсь за не совсем математическое высказывание)).

Так вот, пересечение двух открытых множеств открыто. Поэтому пересечение любого конечного числа открытых множеств открыто. Следует ли из этого, что пересечение счетного числа открытых множеств открыто?

Да, следует.

[Nemiroff]

Цитата:

Я отношу число $a$ к нижнему классу $A$,т.е. провожу им сечение, причём число $a$ будет являться верхней гранью нижнего класса (т.к. это число проволит сечение и относится к нижнему классу).Следовательно мы можем взять любое число из верхнего класса и оно, по определению сечения будет больше нашего числа $a$

А вдруг все натуральные числа ограничены $a$, т.е. лежат в нижнем классе?

-- Вс янв 15, 2012 14:20:40 --

Цитата:

Да, следует.

Вам упражнение: привести контрпример и этим доказать, что не следует.