касательная плоскость через прямую

[patriarch]

Я так понимаю, что 3 задача состоит в следующем. Найти уравнение касательной плоскости к сфере $x^2+y^2+z^2-R^2=0$, проходящей через прямую, заданную двумя точками $(3,4,0)$ и $(0,0,12)$?

Начало уже стандартно. градиент будет $(2x_0,2y_0,2z_0)$
уравнение касательной плоскости $2x_0(x-x_0)+2y_0(y-y_0)+2z_0(z-z_0)=0$
После упрощения получим $x_0x+y_0y+z_0z-R^2=0$
Теперь запишем прямую в более удобной форме $\frac {x-3}{-3} = \frac {y-4}{-4} = \frac {z}{12}$ или $-4x+12=-3y+12=z$
Я так понимаю теперь надо взять 2 произвольные точки на нашей прямой и потребовать принадлежность их касательной плоскости и ещё уравнение, что точка $x_0,y_0,z_0$ принадлежит сфере

Собственно, возьмем 2 точки через которые и задана эта прямая.
$3x_0+4y_0-R^2=0$
$12z_0-R^2=0$
$x_0^2+y_0^2+z_0^2-R^2=0$

[Алексей К.]

В мои планы не входило давать Вам две готовые точки, а сначала, с Вашей помощью составить уравнение такой прямой, и подсунуть именно уравнение в условие новой задачи. Но Вы (наконец) меня опередили. И вроде разобрались и с задачей, и с пространственной прямой.
Собственно, было бы полезно и для этой прямой получить параметрическое уравнение. И оно у Вас там почти написано...

-- 11 янв 2012, 18:50:49 --

patriarch в сообщении #525669 писал(а):

Теперь запишем прямую в более удобной форме $\frac {x-3}{-3} = \frac {y-4}{-4} = \frac {z}{12}$ или $-4x+12=-3y+12=z$

А чем эта форма "более удобна"? И зачем она нам нужна была?

По сути, не нужна. Вы лишь продемонстрировали, что многое поняли из всего этого. Подскажу заодно, пригодится:

$$\frac {x-3}{-3} = \frac {y-4}{-4} = \frac {z}{12}=\text{то самое \Huge$t$}$$

[patriarch]

Я так понимаю, Вы хотите второй вариант реализации.
ну параметрическое уравнение этой прямой $x=-3t+3$ ,$y=-4t+4$, $z=12t$
подставим это в уравнение касательной плоскости для всех $t$
$(-3x_0-4y_0+12z_0)t+3x_0+4y_0-R^2=0$
и ещё добавим уравнение принадлежности точки $(x_0,y_0,z_0)$ нашей сфере
Получим систему для определения $(x_0,y_0,z_0)$
$(-3x_0-4y_0+12z_0)=0$
$3x_0+4y_0-R^2=0$
$x_0^2+y_0^2+z_0^2-R^2=0$

[Алексей К.]

patriarch в сообщении #525774 писал(а):

Я так понимаю, Вы хотите второй вариант реализации.

Я хотел, чтобы Вы поняли задачу, близкие вопросы (что это было за тэ, например) и поняли некоторые свои проблемы и трудности. Надеюсь, это у нас получилось. Надеюсь, Вам будет легче читать учебники на эту тему. Вроде, во всём разобрались.
Данную задачу, если у Вас не осталось по ней вопросов, можем считать закрытой. Если есть --- спрашивайте.

На Вашу просьбу о задачниках никто пока не откликнулся. Если Вы их ещё не наковыряли, попробуйте повторить свой вопрос.

[patriarch]

Алексей К.
Спасибо большое за помощь! Правда все стало намного понятнее.
Да, и насчет учебников и задачников на схожие темы, пожалуй, повторю вопрос.