экстремум функции

[sebay]

Исследовать на экстремум функцию $f(x,y)=x^{x^2+y^3}$ в области ${(x,y)|x,y>0}$
Тут похоже нельзя использовать метод Лагранжа...
я нашел производные $f_x=x^{x^2+y^3-1}(x^2+2x^2\ln x+y^3)$
$f_y=x^{x^2+y^3}3y^2\ln x$

я просто, если честно не понимаю как решить такую систему...подскажите...
$\begin{cases}(x^2+2x^2\ln x+y^3)=0 \\3y^2 \ln x=0 \end{cases}$
я правильно понимаю, что из нижнего следует 1)$y=0$ и тогда $x=0$ или $x=-1/2$ 2) $x=1$ и $y^3=-1$

[PAV]

Вы неправильно набираете формулы. Из-за этого неправильные шрифты. Каждую формулу нужно окружить знаками долларов, а тег math можно самому и не добавлять, он будет добавлен автоматически. Подробнее об этом можно прочитать во втором сообщении темы Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться, раздел "Чем окружать формулы". Отредактируйте, пожалуйста, свое сообщение.

Кроме того, логарифм должен быть набран так: $\ln x$, а не так, как у Вас $ln x$. Приведите все формулы в читабельный вид.


Возвращено (АКМ)

[sebay]

Подскажите, кто-нибудь

[srm]

sebay, я думаю, можно найти экстремум функции $g(x,y) = \ln f(x,y)$. Точки экстремума функции $g$ будут совпадать с точками экстремума $f$ (поправьте, если я не прав).
Тогда
$g_x = 2 x \ln x + x$
$g_y = 3 y^2 \ln x$

[sebay]

Так что скажите кто-нибудь можно ли такую замену делать. И надо ли это обосновывать?

[bot]

$f$ положительна, а $\ln$ монотонна. Вот и всё обоснование.

[sebay]

а как эту систему решить?
$g_x = 2 x \ln x + x=0$
$g_y = 3 y^2 \ln x=0$
Из верхнего уравнения $x=0$ или $x=-1/2$
Из нижнего $y=0$ или $x=1$
Но в верхнем уравнении $y$ вообще не учавствует, а если $x=1$ подставим, то $\ln x$ будет неопределен.
Я имею ввиду - какие пары точек проверять на экстремум?

[bot]

sebay в сообщении #525652 писал(а):

Из верхнего уравнения $x=0 $ или

Будем считать логарифм нуля или сразу перейдём к или?

sebay в сообщении #525652 писал(а):

Я имею ввиду - какие пары точек проверять на экстремум?

А с чего Вы решили, что точки только парами ходят? А если даже так и случится, никогда не видел, чтобы их парами проверяли.

[sebay]

bot
Логарифм нуля, согласен не определен и переходим к или.
Просто у нас функция от двух переменных и, я так понимаю, чтобы найти ее экстремум в нее нужно подставить 2 точки (x,y).

[bot]

sebay в сообщении #525673 писал(а):

в нее нужно подставить 2 точки

Их называют координатами.

[sebay]

Хорошо, 2 координаты. Я так понимаю в моем случае это $(\frac {-1}{2},0)$ и $(1,0)$ ?

[bot]

А проверить подстановкой в систему уравнений не пробовали?

[sebay]

Да, согласен не вышло...но какие тогда координаты брать? я запутался...

[bot]

Не представляю как тут с экстремумами разобраться можно. Вы никогда систем не решали что ли? Вот из первого уравнения безальтернативно получилось $x=...$ , а сколько получилось то? Впрочем, сколько бы ни получилось, откуда у Вас взялись точки с двумя разными абсциссами?

[sebay]

Собственно, из первого уравнение безальтернативно имеем $x=e^{-1/2}$
подставляем во второе и получаем $\frac {-1}{2}y^2$ то есть $y=0$.
получилась всего одна координата..$(e^{-1/2},0)$