экстремум функции

[bot]

втораяые производнаяые.

sebay в сообщении #526207 писал(а):

и по нему определяется все

Так уж и всё?

[sebay]

$g_{xx}=4x+4x\ln x$
$g_{xy}=3y^2$
$g_{yy}=6y\ln x$

Возьмем $(e^{-1/2},0)$
$g_{xx}=2e^{-1/2}$
$g_{xy}=0$
$g_{yy}=0$
$AC-B^2=0$

Возьмем $(1,-1)$
$g_{xx}=4$
$g_{xy}=0$
$g_{yy}=0$
$AC-B^2=0$

[bot]

Ну и что это означает - конец задаче или не конец?

[sebay]

Насколько я понимаю равенство нулю этого определителя означает сомнительный случай, то есть нужно доп.исследование.
А вопрос что надо было считать$g{xy}$ или $g{yx}$ просто в данном случае они не совпадают.

[bot]

Как это не совпадают? Несовпадающие смешаные частные производные чтобы построить - потрудиться надо. Они совпадают всюду, где непрерывны.

Расхожий термин - сомнительный случай. От кого бы услышать, что это означает? А случай трёх переменных из-за ентих A,B,C для многих так и остаётся покрытым полным туманом.

Вот разложим функцию $f(x)$ в точке $x_0\in \mathbb R^n$, в которой первый дифференциал обратился в 0:

$f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=\frac12 d^2f(x_0)+o(|\Delta x|^2)$

При определении знака приращения в достаточно малой окрестности остаточным членом $o(|\Delta x|^2)$ можно пренебречь в случаях строгой определённости (положительной или отрицательной) или знакопеременности второго дифференциала - это ведь квадратичная форма относительно $dx_1, \ldots, dx_n$.
Эти A,B,C возникают по критерию Сильвестра только в случае двух переменных, когда и без них всё прозрачно - выделил полные квадраты и всё.

В Вашем случае $d^2g=g_{xx}\Delta x^2+2g_{xy}\Delta x\Delta y+g_{yy}\Delta y^2$
В обеих точках Ваша квадратичная форма состоит из одного квадрата с положительным коэффициентом и следовательно положительно полуопределена (отрицательных значений не имеет, но обращается в 0 при любых ненулевых смещениях по оси ординат). Можно уже сказать, что в этой точке нет максимума, однако остались возможными направления в сторону падения значений функции. Их следует попытаться нащупать вручную или доказать их отсутствие. Никакие A,B,C уже не помогут.

Попробуем? С какой точки начнём?

[sebay]

То есть в моем случае $d^2g=(4x+4x)dx^2+3y^2dxdy+(6y\ln x)dy^2$
Давайте возьмем (1,-1) вроде попроще быть должно.

[bot]

Как Вы умудряетесь так дифференцировать? Впрочем это и не важно - как мы уже выяснили, второй дифференциал нам уже не помощник. Единственное, что он подсказал - в этих точках нет максимума. А вот минимум либо есть либо его тоже нет. Это предстоит выяснить врукопашную. Вычислите значение функции в точке $(1;-1)$ и попробуйте сравнить его со значениями в близких точках. Может или не может значение в близких точках оказаться меньше вычисленного - that is the question!

[sebay]

bot
но я же просто переписал вашу формулу и подставил свои значения....
$f(1,-1)=1$
$f(0,5;-0,5)<1$
$f(1,5;-1,5)>1$

[bot]

Вы считаете, что (0,5;-0,5) и (1,5; -1,5) близки к (1;-1)?
Да они просто на галактическом расстоянии от неё находятся!

Впрочем, это опять неважно - не проверил Ваш второй дифференциал, а он у Вас неверно сосчитан и в случае (1;-1) даже A,B,C срабатывают.

[sebay]

не вижу ошибок в своем втором дифференциале..

[bot]

Верна только $g_{xx}$, остальные ошибочны.

[sebay]

насколько я понимаю $g_{yy}=(g_y)_y=3(y^2)_y'\ln x = 6y\ln x $
$g_{xy}=(g_x)_y=(2x+\ln x+y^3)'_y=3y^2$

[bot]

Неверна уже первая производная $g_x$.

[sebay]

$g_x=2x\ln x + \frac {y^3}{x}+x$
$g_{xx}=2\ ln x+2 - \frac {y^3}{x^2}$
$g_y=3y^2\ ln x$
$g_{yy}=6y \ln x$
$g_{xy}=\frac {3y^2}{x}$

[bot]

$g_{xx}=2\ln x+3 - \frac {y^3}{x^2}$
Напишите второй дифференциал в точке $(1;-1)$