экстремум функции

[sebay]

$4dx^2+3dxdy$

[bot]

Почти - должно быть $2dx^2+6dxdy$.

Можно ли что-нибудь сказать о знаке этой квадратичной формы при $dx^2+dy^2\ne 0$?
1) Он положителен при любых $dx, dy$
2) Он отрицателен при любых $dx, dy$
3) Найдутся $dx, dy$ при которых он положителен и найдутся $dx, dy$ при которых он отрицателен.

[sebay]

bot
каким образом Вы так посчитали? или я снова не так производные взял?
Эта квадратичная форма всегда положительна

[Joker_vD]

sebay в сообщении #526788 писал(а):

Эта квадратичная форма всегда положительна

Даже когда $dy=-dx$?

[sebay]

Joker_vD
как я понимаю, да. ведь 4 больше 3. и будет $4dx^2-3dx^2>0$

[bot]

Ну, во-первых, не $4dx^2-3dx^2$, а $2dx^2-6dx^2$, во-вторых, Вы настаиваете на своей квадратичной форме?
И в третьих, каков будет знак Вашей квадратичной формы $4dx^2+3dxdy=dx(4dx+3dy)$ при $dy=-2dx$?

[sebay]

bot
Да, настаиваю на своей. И считаю, что знак будет положительный..

[bot]

Ну мне надоело. Прощайте.

[sebay]

Почему нельзя просто объяснить? С $6dxdy$ я согласен. Неправильно посмотрел на формулу. Извиняюсь.
Но, если в $g_{xx}$ подставить (1,-1) то получим 4, а не 2. Так как $\ln 1=0$
А y в 3 степени, и перед дробью стоит минус.

[bot]

Да, $4dx^2+6dxdy$ Ну и что есть сказать про эту форму?

[sebay]

Знакопеременная она.
P.S. А как вообще определяется знак квадратичной формы? Подкиньте кто-нибудь подробную ссылку.

[Yu_K]

Собственные числа матрицы, однако, надо смотреть.

[bot]

Однако в случае двух переменных просто взглядом $4dx^2+6dxdy=2dx(2dx+3dy)$ что ли трудно теперь увидеть знакопеременность? Ну или стандартным выделением квадратов

$4dx^2+6dxdy=(2dx+\frac{3}2dy)^2-\frac{9}4dy^2$

[sebay]

а какой в итоге ответ-то?(

[bot]

А Вы ещё не поняли? Знак приращения зависит от смещения, стало быть экстремума в этой точке нет.
Те $A,B,C$, про которые говорили дают тот же результат. Есть ещё одна точка - там исследование квадратичной формы (и $A,B,C$ тоже) обломятся. Будем разбирать?

-- Чт янв 19, 2012 12:30:40 --

У Вас есть сутки. Завтра отбываю в места, слабо охваченные интернетом, поэтому либо останется ждать моего возвращения либо кто-нибудь заместит.