Доказал такую теорему:
Пусть область (двумернаая в плоскости) площадью
![$S$ $S$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/5/e257acd1ccbe7fcb654708f1a866bfe982.png)
ограничена дважды непрерывно дифференцируемой кривой и
![$N$ $N$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/c/f9c4988898e7f532b9f826a75014ed3c82.png)
- количество целых точек в нем. Тогда
![$|N-S|<1+5000\sqrt{R}$ $|N-S|<1+5000\sqrt{R}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/1/6b1c78ba5aa18cdaf25391bfac3e4ee582.png)
, где
![$R$ $R$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/4/1e438235ef9ec72fc51ac5025516017c82.png)
максимальный радиус кривизны границы.
Это применимо и к случаю когда область ограничена несколькими (можно и вогнутыми) кривыми соединенными непрерывно (можно без гладкости соединения), тогда последний член заменится на
![$5000\sum_i \sqrt{R_i}$ $5000\sum_i \sqrt{R_i}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/8/c58b823c537276438807dab92b68f28082.png)
,
![$R_i$ $R_i$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/6/6660896e4379722ff79bba94961b201c82.png)
- максимальный радиус кривизны соответствующего участка.
Однако, меня смутило то, что в книге Виноградова "Особые методы тригонометрических сумм" написано, что Харди и Литвульд доказали, что для круга не может быть оценка лучше чем
![$|N-S|=O(\sqrt{R}\ln^2R).$ $|N-S|=O(\sqrt{R}\ln^2R).$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/e/eee8ce783c464e7e23658da34f6cb98082.png)
Когда я эту теорему доказал первый раз весной 2011 г. у меня так же получалась такая оценка. Потом летом я потерял все эти файлы и доказал заново с лучшей оценкой. Из-за сомнений вследствии книги Виноградова в начале декабря дал другу найти у меня ошибку. Он из- за занятости в конце года говорил, что читал но досконально не разобрался. Вот в каникулах я запрограммировал и посчитал количество целых точек для круга
![$x^2+y^2\le A$ $x^2+y^2\le A$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/b/b/abb47f78959380de0f7e4b0bce87c64982.png)
и под гиперболой
![$xy\le A,x>0,y>0$ $xy\le A,x>0,y>0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/4/934a381ab4260d46d4ea3ab6bc46472c82.png)
для А от 1 до
![$2^{32}$ $2^{32}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/1/fc1ad1e8be2d915908e89ee69245646d82.png)
. Для гиперболы действительно у меня получается оценка
Посчитал следующие функции
![$$\phi_c(A)=\frac{N_c-1-\pi A}{4*\sqrt[4]{A}}, N_c-1=4\sum_{n=1}^A d_1(n),$$ $$\phi_c(A)=\frac{N_c-1-\pi A}{4*\sqrt[4]{A}}, N_c-1=4\sum_{n=1}^A d_1(n),$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/4/c/54c50d3cfe496bd0a01565d283a6767b82.png)
![$4d_1(n)$ $4d_1(n)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/9/cc92f75931aed526c67bd966315d5cf682.png)
- количество Гауссовых целых чисел с нормой
![$x^2+y^2=n$ $x^2+y^2=n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/1/2b1e70693fec569a99f9acd2d9b9841682.png)
(4 - количество целых с нормой 1),
![$$\phi_g(A)=\frac{N_g-A(\ln A+2\gamma -1)}{\sqrt[4]{A}}, N=\sum_{n=1}^A d(n),$$ $$\phi_g(A)=\frac{N_g-A(\ln A+2\gamma -1)}{\sqrt[4]{A}}, N=\sum_{n=1}^A d(n),$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/2/a1206a1afc345e62605426483226cad882.png)
![$d(n)$ $d(n)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/d/34d65b7dcd5697c21251cec6f7ff41b082.png)
- количество целых с нормой
![$xy=n,x>0,y>0$ $xy=n,x>0,y>0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/4/e84388288975f46fee74201954ce222882.png)
- т.е. просто делителей n.
Все
![$2^{32}$ $2^{32}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/1/fc1ad1e8be2d915908e89ee69245646d82.png)
результатов невозможно даже нанести в график, поэтому искал максимальные отклонения в ту и в другую сторону, когда
![$2^{k-1}\le A<2^k$ $2^{k-1}\le A<2^k$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/9/7b9daa961720d41c65aa1440af1994d382.png)
по целым
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
, соответственно всего 64 данных для одной кривой. Вычисленные данные действительно согласуется с моими теоритическими выводами. Для круга
![$min \phi_c(A)=-2.333330, 2^{26}<A<2^{27}, max \phi_c(A)=1.567587, 2^{25}<A<2^{26}$ $min \phi_c(A)=-2.333330, 2^{26}<A<2^{27}, max \phi_c(A)=1.567587, 2^{25}<A<2^{26}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/e/ffec1179a539559983bdf06c5e92b0df82.png)
(максимальные отклонения достигаются при не максимальном
![$[\log_2 A]$ $[\log_2 A]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/f/cbfb20354803b54559cda79cb1c85cc382.png)
. Для гиперболы максимальные отклонения монотонно растут при
![$k=[\log_2(A)]\ge 5$ $k=[\log_2(A)]\ge 5$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/3/0b3a5f7b0559e9540714c2744bacd05c82.png)
похоже по квадратичному закону от k. Для примера
![$C_1(k)=min\{ \phi_g (A), 2^{k-1}\le A<2^A\}, C_2(k)=max \{\phi_g(A), 2^{k-1}\le A<2^A\}$ $C_1(k)=min\{ \phi_g (A), 2^{k-1}\le A<2^A\}, C_2(k)=max \{\phi_g(A), 2^{k-1}\le A<2^A\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/d/2dd90d219491c580d3ae335627642bf882.png)
дают значения:
![$C_1(30)=-10.28, C_2(30)=16.13, C_1(31)=-13.27, C_2(31)=24.47, C_1(32)=-20.86, C_2(32)=36.53$ $C_1(30)=-10.28, C_2(30)=16.13, C_1(31)=-13.27, C_2(31)=24.47, C_1(32)=-20.86, C_2(32)=36.53$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/3/6a3319c8e1724014abd2f74c33b2afb282.png)
.
У меня теория согласуется с расчетами. По всей видимости или Виноградов неправильно интерпретировал Харди Литвульда или последние ошиблись. Хотелось бы разобраться в этом.