Доказал такую теорему:
Пусть область (двумернаая в плоскости) площадью

ограничена дважды непрерывно дифференцируемой кривой и

- количество целых точек в нем. Тогда

, где

максимальный радиус кривизны границы.
Это применимо и к случаю когда область ограничена несколькими (можно и вогнутыми) кривыми соединенными непрерывно (можно без гладкости соединения), тогда последний член заменится на

,

- максимальный радиус кривизны соответствующего участка.
Однако, меня смутило то, что в книге Виноградова "Особые методы тригонометрических сумм" написано, что Харди и Литвульд доказали, что для круга не может быть оценка лучше чем

Когда я эту теорему доказал первый раз весной 2011 г. у меня так же получалась такая оценка. Потом летом я потерял все эти файлы и доказал заново с лучшей оценкой. Из-за сомнений вследствии книги Виноградова в начале декабря дал другу найти у меня ошибку. Он из- за занятости в конце года говорил, что читал но досконально не разобрался. Вот в каникулах я запрограммировал и посчитал количество целых точек для круга

и под гиперболой

для А от 1 до

. Для гиперболы действительно у меня получается оценка
Посчитал следующие функции
![$$\phi_c(A)=\frac{N_c-1-\pi A}{4*\sqrt[4]{A}}, N_c-1=4\sum_{n=1}^A d_1(n),$$ $$\phi_c(A)=\frac{N_c-1-\pi A}{4*\sqrt[4]{A}}, N_c-1=4\sum_{n=1}^A d_1(n),$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/4/c/54c50d3cfe496bd0a01565d283a6767b82.png)

- количество Гауссовых целых чисел с нормой

(4 - количество целых с нормой 1),
![$$\phi_g(A)=\frac{N_g-A(\ln A+2\gamma -1)}{\sqrt[4]{A}}, N=\sum_{n=1}^A d(n),$$ $$\phi_g(A)=\frac{N_g-A(\ln A+2\gamma -1)}{\sqrt[4]{A}}, N=\sum_{n=1}^A d(n),$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/2/a1206a1afc345e62605426483226cad882.png)

- количество целых с нормой

- т.е. просто делителей n.
Все

результатов невозможно даже нанести в график, поэтому искал максимальные отклонения в ту и в другую сторону, когда

по целым

, соответственно всего 64 данных для одной кривой. Вычисленные данные действительно согласуется с моими теоритическими выводами. Для круга

(максимальные отклонения достигаются при не максимальном
![$[\log_2 A]$ $[\log_2 A]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/f/cbfb20354803b54559cda79cb1c85cc382.png)
. Для гиперболы максимальные отклонения монотонно растут при
![$k=[\log_2(A)]\ge 5$ $k=[\log_2(A)]\ge 5$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/3/0b3a5f7b0559e9540714c2744bacd05c82.png)
похоже по квадратичному закону от k. Для примера

дают значения:

.
У меня теория согласуется с расчетами. По всей видимости или Виноградов неправильно интерпретировал Харди Литвульда или последние ошиблись. Хотелось бы разобраться в этом.