Количество целых точек в области.

[Руст]

Доказал такую теорему:

Пусть область (двумернаая в плоскости) площадью $S$ ограничена дважды непрерывно дифференцируемой кривой и $N$ - количество целых точек в нем. Тогда $|N-S|<1+5000\sqrt{R}$, где $R$ максимальный радиус кривизны границы.

Это применимо и к случаю когда область ограничена несколькими (можно и вогнутыми) кривыми соединенными непрерывно (можно без гладкости соединения), тогда последний член заменится на $5000\sum_i \sqrt{R_i}$, $R_i$ - максимальный радиус кривизны соответствующего участка.

Однако, меня смутило то, что в книге Виноградова "Особые методы тригонометрических сумм" написано, что Харди и Литвульд доказали, что для круга не может быть оценка лучше чем $|N-S|=O(\sqrt{R}\ln^2R).$ Когда я эту теорему доказал первый раз весной 2011 г. у меня так же получалась такая оценка. Потом летом я потерял все эти файлы и доказал заново с лучшей оценкой. Из-за сомнений вследствии книги Виноградова в начале декабря дал другу найти у меня ошибку. Он из- за занятости в конце года говорил, что читал но досконально не разобрался. Вот в каникулах я запрограммировал и посчитал количество целых точек для круга $x^2+y^2\le A$ и под гиперболой $xy\le A,x>0,y>0$ для А от 1 до $2^{32}$. Для гиперболы действительно у меня получается оценка $|N-A(\ln A+2\gamma -1)|<1+C\sqrt[4]{A}\ln^2 A.$

Посчитал следующие функции

$$\phi_c(A)=\frac{N_c-1-\pi A}{4*\sqrt[4]{A}}, N_c-1=4\sum_{n=1}^A d_1(n),$$

$4d_1(n)$ - количество Гауссовых целых чисел с нормой $x^2+y^2=n$ (4 - количество целых с нормой 1),

$$\phi_g(A)=\frac{N_g-A(\ln A+2\gamma -1)}{\sqrt[4]{A}}, N=\sum_{n=1}^A d(n),$$

$d(n)$ - количество целых с нормой $xy=n,x>0,y>0$ - т.е. просто делителей n.

Все $2^{32}$ результатов невозможно даже нанести в график, поэтому искал максимальные отклонения в ту и в другую сторону, когда $2^{k-1}\le A<2^k$ по целым $k$, соответственно всего 64 данных для одной кривой. Вычисленные данные действительно согласуется с моими теоритическими выводами. Для круга $min \phi_c(A)=-2.333330, 2^{26}<A<2^{27}, max \phi_c(A)=1.567587, 2^{25}<A<2^{26}$ (максимальные отклонения достигаются при не максимальном $[\log_2 A]$. Для гиперболы максимальные отклонения монотонно растут при $k=[\log_2(A)]\ge 5$ похоже по квадратичному закону от k. Для примера $C_1(k)=min\{ \phi_g (A), 2^{k-1}\le A<2^A\}, C_2(k)=max \{\phi_g(A), 2^{k-1}\le A<2^A\}$ дают значения:
$C_1(30)=-10.28, C_2(30)=16.13, C_1(31)=-13.27, C_2(31)=24.47, C_1(32)=-20.86, C_2(32)=36.53$.

У меня теория согласуется с расчетами. По всей видимости или Виноградов неправильно интерпретировал Харди Литвульда или последние ошиблись. Хотелось бы разобраться в этом.

[maxal]

Вот здесь про целые точки в круге есть кое-какая информация:
http://mathworld.wolfram.com/GausssCircleProblem.html

А самый верный способ разобраться - написать статью и послать в профильный реферируемый журнал.

[Руст]

Да, только там слишком слабые результаты. В книге Усольцева Л.П. (2001 г.) есть посильнее почти как у меня, только с более высоким степенем от $\ln A$. Правда есть сомнения в его доказательствах и они по сути не признанные (за рубежом никто не знает о его результатах в том числе о доказательстве гипотезы Линделефа). Недавно смотрел его сайт, там в основных работах нет ссылки на его книгу с этими результатами.

Вообще это отголоски теории равномерности, откуда получаются как следствие большинство не решенных проблем теории чисел.

[Sonic86]

Руст в сообщении #524938 писал(а):

Вообще это отголоски теории равномерности, откуда получаются как следствие большинство не решенных проблем теории чисел.

Вы говорите про теорию из этой книжки:
Кейперс Нидеррайтер Равномерное распределение последовательностей
(ну примерно)?

[Руст]

Sonic86 в сообщении #524954 писал(а):

Руст в сообщении #524938 писал(а):

Вообще это отголоски теории равномерности, откуда получаются как следствие большинство не решенных проблем теории чисел.

Вы говорите про теорию из этой книжки:
Кейперс Нидеррайтер Равномерное распределение последовательностей
(ну примерно)?

Я не помню эту книгу, думаю вообще не видел. Так или иначе многие проблемы теории чисел сводятся к равномерности распределения соответствующих последовательностей.

[Руст]

Еще раз посмотрел книгу Виноградова. Об этом говорится на стр 13. в перемежку о результатах о гиперболе и круга. Точной ссылки (на какую именно работу) Харди Литтльвуда нет. В списке литературы имеются только две работы Харди Литтльвуда:
G.H. Hardy and J.E. Littlewood,
1)The trigonometrical series associated with the elliptic v function, Acta Math,37, 193-239, 1914.
2) The approximate functional equation in the theory of zeta- function with applications to the divisor problems of Dirichlet and Piltz, Proc.London.Soc (2) 21, 39-74, 1922.

По названию в первой работе вряд ли это есть, а вторая точно касается целым точкам под гиперболой (где у меня оценка такая неулучшаемая), если так то все согласуется. Для пущей убедительности хотелось бы взглянуть на эти работы.

[maxal]

На MathWorld утверждается, $|N-S| = O(R^{\theta})$, причем $\theta > \frac{1}{2}$:
The lower limit 1/2 was obtained independently by Hardy and Landau in 1915.

Соответствующие ссылки:

Hardy, G. H. "On the Expression of a Number as the Sum of Two Squares." Quart. J. Math. 46, 263-283, 1915.

Landau, E. "Über die Gitterpunkte in einem Kreise. II." Nachr. v. d. Gesellschaft d. Wiss. zu Göttingen, math.-phys. Klasse, 161-171, 1915.

-- Mon Jan 09, 2012 13:21:00 --

А вот тут, похоже, более сильная нижняя оценка чем у Харди доказывается:
http://science4you.lib.mipt.ru/articles_c/82ac5a0b.pdf

-- Mon Jan 09, 2012 13:25:46 --

А вот здесь история вопроса с оценками подробно описывается:
http://oai.cwi.nl/oai/asset/1518/1518A.pdf

[Руст]

Спасибо за ссылки, разберусь. Оценка $\theta>\frac 14$ не совсем точно, имеется ввиду $\theta =\frac 14$ с логарифмическим множителем.
Действительно оценки отклонения в разные стороны по разному. Для выпуклой (круг) отклонение в верхнюю сторону меньше и точно не превосходит 1/4 степени (с коэффициентом), для вогнутой (гиперболы) наооборот больше отклоняется в верхнюю сторону.

В любом случае Виноградов неправ, Харди Литтлвуд доказали не то, что он пишет.

[g______d]

Можно пояснить? Правильно ли я понимаю, что в Виноградове возможно неправильная степень логарифма? Все остальное, вроде бы, получается из формулы (0.8) по последней ссылке, если учесть, что $t=R^2$.

[Руст]

Да, там он говорит, что Харди,Литтлвуд доказали что оценка для круга не лучше $\sqrt R \ln^2R$. На самом деле они доказали, что нижняя оценка (отклонение в отрицательную сторону) бесконечно много раз (при целых $R^2$) $<-C\sqrt R (\ln R)^{1/4}$. В принципе степени логарифмов (тем более степени двойных и болших логарифмов) в приложениях не играют роль, главное точная оценка степени $R^{\theta}$. Тем не менее для больших радиусов представляют некоторый интерес.

[ex-math]

Руст
В любом случае Ваш результат противоречит омега-теореме Харди и, следовательно, ошибочен. Советую не увлекаться общей постановкой, а расписать все аккуратно для круга, например.

По поводу Усольцева я как-то слышал, что некоторые из его результатов также противоречат омега-теоремам. Поэтому никто не ищет ошибку, достаточно того, что она точно где-то есть. Потом он стал осторожнее - добавляет логарифмические множители, чтобы удовлетворить омега-теоремам.

И, разумеется, численные расчеты не могут ничего здесь решить. Логарифмы меняются довольно медленно, и в доступном для вычислений интервале их сложно отличить от константы в знаке $O$.