2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Ядро линейного функционала
Сообщение03.01.2012, 22:49 


10/02/11
6786
profrotter в сообщении #522704 писал(а):
Доказательство этого факта есть в Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа

всетаки надо отметить, что теорема о факторизации это не теорема "из Кутателадзе", а очень общий теоретико-множественный факт. Она просто прорастает из теории множеств в различные алгебраические структуры: группы, лин. пространства и т.д.
profrotter в сообщении #522704 писал(а):
Да и качественная сторона вопроса никак не поддаётся простой интуитивно-понятной трактовке.

Еще как поддается, геометрически это факт вполне прозрачный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро линейного функционала
Сообщение03.01.2012, 23:33 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
Oleg Zubelevich в сообщении #522729 писал(а):
что теорема о факторизации это не теорема "из Кутателадзе"
От чего же вы не делитесь книжками? Со знаниями так нельзя. Знание оно тем и удивительно, что чем больше вы его отдаёте, тем больше вы его обретаете. Я пересмотрел наверное учебников 10 если не больше, пока не нашёл эту теорему в Кутателадзе. Может быть она и в других есть, просто не так заметна, конечно.
Oleg Zubelevich в сообщении #522729 писал(а):
Еще как поддается, геометрически это факт вполне прозрачный.
Ну я пока в себе не нашёл качественного понимания.

Oleg Zubelevich, Вы лучше ближе к этому скажите (нам с Вами эта проблема известна по другой задаче :mrgreen: ):
profrotter в сообщении #522704 писал(а):
:?: У меня теперь такой глупый, но важный вопрос. Вот есть некоторый линейный функционал $F$ и мы нашли два других $F_1,F_2$, так что пересечение ядер оказалось вложено в ядро первого, и записали $F=C_1F_1+C_2F_2$. Даёт ли рассматриваемое утверждение какую-нибудь гарантию, что не найдётся третий функционал, такой что $F_1,F_2,F_3$ -линейно-независимы и пересечение трёх ядер оказывается вложенным в ядро $F$, тогда $F=C_1F_1+C_2F_2+C_3F_3$, а предыдущая запись была просто частным случаем последней при $C_3=0$?
Правильно я понимаю, что пространство линейных функционалов имеет такую же размерность, как и линейное пространство, на котором рассматриваются функционалы? И в самом общем случае количество составляющих определяется размерностью пространства?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро линейного функционала
Сообщение04.01.2012, 11:14 


14/07/10
206
profrotter в сообщении #522751 писал(а):
Я пересмотрел наверное учебников 10 если не больше, пока не нашёл эту теорему в Кутателадзе. Может быть она и в других есть, просто не так заметна, конечно.

Это утверждение есть, например, в книге А. Я. Хелемский, "Лекции по функциональном анализу", предложение 4.2.2. Доказательство там, по существу, совпадает с тем, что предложил Oleg Zubelevich.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро линейного функционала
Сообщение05.01.2012, 21:38 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
ewert в сообщении #522494 писал(а):
Вообще-то по хорошему здесь нужно некоторое утверждение типа: "функционалы линейно независимы тогда и только тогда, когда их количество равно коразмерности пересечения их ядер", но с ним тоже некоторое занудство, а в КФ такого утверждения то ли нет, то ли я его не заметил.
Именно! Именно же! А то я сижу и пишу тут, откровенно говоря, бред, ничего не понимаю и никто меня не поправит. Я пойду нечестным путём и рассмотрю $N$ - мерное линейное пространство $L$. В точечной (геометрической) интерпретации в нём ядро функционала (конечно тут о функционале говорить некорректно) представляет собою $N-1$ - плоскость (или просто плоскость). Пересечение $n$ ядер тогда - это пересечение $n$ штук $N-1$ - плоскостей, проходящих через нулевую точку. Это означает, что следующая система уравнений совместна: $$\begin{cases}
a_{1,1}x_1+...+a_{1,N}x_{N}=0\\
a_{2,1}x_1+...+a_{2,N}x_{N}=0\\
...\\
a_{n,1}x_1+...+a_{n,N}x_{N}=0\\
\end{cases}
$$ Результатом пересечения является $N-r$ - плоскость, где $r$ - ранг основной матрицы системы. Поскольку мы предположили функционалы линейно-независимыми, все плоскости различны и ранг матрицы равен $r=n$. Таким образом пересечение $n$ штук $N-1$ - плоскостей имеет размерность $N-n$ или коразмерность $n$. Затрудняюсь оценить насколько честно я поступаю, обобщая это и на случай бесконечно-мерного пространства.

Сразу, как только это установлено, я делаю вывод, что запись $\operatorname{ker}F=\bigcap\limits_{k=1}^{n}\operatorname{ker}F_k$ означает, что все рассматриваемые функционалы являются линейно-зависимыми и из этой записи вытекает лишь $\operatorname{ker}F=\operatorname{ker}F_1=...=\operatorname{ker}F_n$. (Иначе просто невозможно обеспечить коразмерность 1 для $\operatorname{ker}F$) Линейную зависимость, собственно я и получил, когда рассматривал своё второе частное утверждение.

Сразу становится понятным, что запись $\operatorname{ker}F_1\subseteq \operatorname{ker}F_1$ означает именно $\operatorname{ker}F_1= \operatorname{ker}F$, так как вложение плоскостей эквивалентно их равенству.

Теперь, поскольку $\bigcap\limits_{k=1}^{n}\operatorname{ker}F_k$ имеет коразмерность $n$, то возможно единственное представление любого элемента из $L$ в виде: $$x=a_1x_1+...+a_nx_n+y,$$ где $x_1,...,x_n\in L/\bigcap\limits_{k=1}^{n}\operatorname{ker}F_k$, а $y\in \bigcap\limits_{k=1}^{n}\operatorname{ker}F_k$. Геометрический смысл этой записи понятен: к имеющимся в подпространстве $\bigcap\limits_{k=1}^{n}\operatorname{ker}F_k$ измерениям требуются ещё $n$ для того, чтобы охватить всё пространство $L$.

Ну, а дальше, как Вы справедливо заметили, выбирая в качестве системы линейно-независимых элементов опорные элементы функционалов $F_1,...,F_n$, получим линейную зависимость для опорных элементов функционалов $F,F_1,...,F_n$ $x_0=a_1x_1+...+a_nx_n+y$ (в этой системе количество элементов превосходит размерность пространства), откуда следует и линейная зависимость самих функционалов $F,F_1,...,F_n$.

Но я пока так нигде и не увидел, что может определить достаточность значения $n$?
MaximVD в сообщении #522815 писал(а):
Это утверждение есть, например, в книге А. Я. Хелемский, "Лекции по функциональном анализу", предложение 4.2.2. Доказательство там, по существу, совпадает с тем, что предложил Oleg Zubelevich.
MaximVD, благодраю за книжку. Но хочу обратить Ваше внимание, что Oleg Zubelevich не предложил доказательство, а привёл его без ссылки на источник, а источник скрывает и до сих пор. :mrgreen: В приличных местах "такое не есть хорошо". Например, если на защите диссертиции обнаруживается, что некий факт защищающийся приписывает себе, то диссертацию могут снять с защиты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро линейного функционала
Сообщение05.01.2012, 21:54 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Мне лень вникать в детали, но обращу внимание на то, что есть достаточно известный факт: коразмерность пересечения подпространств не превосходит суммы их коразмерностей (который, в свою очередь, является частным случаем некоторого более конкретного утверждения). Откуда, в частности, следует, что коразмерность пересечения ядер нескольких функционалов не превышает их количества. Откуда, в частности, доказываемое утверждение следует достаточно автоматически.

К сожалению, в Колмогорове-Фомине ничего подобного на момент предложения сего упражнения мне обнаружить не удалось (ну, может, слабо старался). Так что так до сих пор и не понимаю, что они имели в виду. Доказывать-то можно, разумеется, как угодно; но правила приличия требуют всё же использования лишь тех средств, которые имеются на сей момент.

Вот тут ув. Oleg Zubelevich утверждал, что всё вообще тривиально, но потом зачем-то слинял в туман. Ну, может, вернётся и прояснит, что он имел в виду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро линейного функционала
Сообщение05.01.2012, 22:11 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
ewert в сообщении #523584 писал(а):
К сожалению, в Колмогорове-Фомине ничего подобного на момент предложения сего упражнения мне обнаружить не удалось (ну, может, слабо старался). Так что так до сих пор и не понимаю, что они имели в виду. Доказывать-то можно, разумеется, как угодно; но правила приличия требуют всё же использования лишь тех средств, которые имеются на сей момент.
Думаю они предполагали твёрдое знание студентами многомерной геометрии, которая была изучена либо отдельным курсом, либо вместе с линейной алгеброй. А я многомерную геометрию не изучал и мне пришлось немного потрудиться. Может я где-то и напутал чего, но думаю понимание ко мне пришло. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро линейного функционала
Сообщение05.01.2012, 23:23 


10/02/11
6786
profrotter в сообщении #523570 писал(а):
Oleg Zubelevich не предложил доказательство, а привёл его без ссылки на источник, а источник скрывает и до сих пор. :mrgreen: В приличных местах "такое не есть хорошо".

В приличные места не пускают тех , кто не знает таких вещей. Хорошо, когда я учился на 4 курсе, я прочитал в справочнике по общей алгебре (2-х томник такой есть СМБ под редакцией Скорнякова) про теорему о факторизации для множеств, сообразил в течение часа, что ее можно применить ,точнее говоря, по ней по ней понятно как формулировать, с оответствующие утверждения для к линейных пространств и соответственно к этой задаче из Колмогорова-Фомина, а еще к группам и еще другим некоторым вещам. Ну и что? Наверное Хелемский и Кутателадзе и еще очень многие люди проделали такой же путь. Я же не виноват, что Вы не прочитали это своевременно у Хелемского, а сами не смогли догадаться до этого самостоятельно :mrgreen:

ewert в сообщении #523584 писал(а):
Вот тут ув. Oleg Zubelevich утверждал, что всё вообще тривиально, но потом зачем-то слинял в туман. Ну, может, вернётся и прояснит, что он имел в виду

А что Вы желаете прояснить? Я писал, что геометрически теорема вполне прозрачна. Это действительно так. Линейный функционал это, попросту говоря вектор перпендикулярный к плоскости. Если три плоскости пересекаются по прямой (все в $\mathbb{R}^3$ для интуиции этого достаточно), то соответствующие три вектора линейно зависимы. Ну я конечно понимаю, что это методически непрвавильно, а как правильно Вы нам сейчас поведуете... Но мне эта тема неинтересна, не вижу что здесь обсуждать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро линейного функционала
Сообщение06.01.2012, 06:46 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Oleg Zubelevich в сообщении #523628 писал(а):
А что Вы желаете прояснить? Я писал, что геометрически теорема вполне прозрачна. Это действительно так. Линейный функционал это, попросту говоря вектор перпендикулярный к плоскости.

Это лирика. Мало ли что кажется прозрачным. Нет никаких перпендикуляров. Вообще ничего нет, кроме линейной структуры, притом неопределённой размерности. Даже нормы -- и той ещё нет.

(Оффтоп)

Советы же освоить Хелемского и Кутателадзе перед тем, как браться за Колмогорова-Фомина (поскольку последние, безусловно, в своём упражнении именно этого от читателя и ожидали) -- и вовсе неожиданны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро линейного функционала
Сообщение01.12.2022, 11:56 


18/05/15
704
ewert в сообщении #522494 писал(а):
Пусть $K_i$ -- ядра функционалов $f_i$ и $K$ -- пересечение всех этих ядер; пусть $e_i$ -- "опорные" элементы для этих функционалов, т.е. такие, что $f_i(e_i)=1$. Легко видеть, что любой элемент пространства может быть представлен в виде $x=\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\ldots+\alpha_ne_n+z$, где $z\in K$

Тема старая, но вышел я на неё только вчера по ссылке с этого сайта. Решил поделиться тем, что мне лично не "легко видеть", что для так определенных "опорных элементов" любой элемент линейного пространства может быть представлен в таком виде. Скорее всего, может, но не факт, что единственным образом. А это как-то не айс. Вот, если опорные элементы определить так $$f_i(x_j)=\delta_{ij},$$ то представление $$x=\alpha_1 x_1+...+\alpha_n x_n +z, z\in K$$ единственное. Такие опорные элементы всегда существуют и они не входят в пересечение ядер функционалов. Хотя, здесь нужно сделать оговорку, что $\ker f_i \ne \ker f_j$. Но это, как бы, само собой, потому что функционалы с одним и тем же ядром совпадают с точностью до постоянного множителя. Отсюда сразу получается, что $f_k(x)=\alpha_k$ и следовательно $$f(x)=f_1(x) f(x_1)+...+f_n(x) f(x_n)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро линейного функционала
Сообщение01.12.2022, 14:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8814
Цюрих
ihq.pl в сообщении #1572120 писал(а):
Хотя, здесь нужно сделать оговорку, что $\ker f_i \ne \ker f_j$.
Нужно сильнее: что функционалы все вместе линейно независимы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро линейного функционала
Сообщение01.12.2022, 15:15 


18/05/15
704
mihaild в сообщении #1572153 писал(а):
ihq.pl в сообщении #1572120 писал(а):
Хотя, здесь нужно сделать оговорку, что $\ker f_i \ne \ker f_j$.
Нужно сильнее: что функционалы все вместе линейно независимы.

Думаю, можно обойтись и без этого. Да и упражнение не предполагает каких-либо знаний о зависимости/независимости линейных функционалов. Можно так рассуждать: предположим, что функционалы $f_k, f_m$ имеют одно и то же ядро, тогда $a_kf_k(x)+a_mf_m(x)=bf_k(x)$, где $b=a_k+ca_m$. Таким образом, линейная комбинация $$a_1f_1(x)+...+a_nf_n(x)$$ автоматически превращается в комбинацию $$b_1f_1(x)+...+b_lf_l(x), l\le n$$ функционалов, ядра которых не совпадают. Потом, когда коэффициенты $b_j$ найдены, эту комбинацию можно обратно представить в виде комбинации из $n$ исходных ф-лов, и это представление единственное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро линейного функционала
Сообщение01.12.2022, 15:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8814
Цюрих
Проблема в том, что несовпадения ядер для существования системы $x_j$ такой что $f_i(x_j) = \delta_{ij}$ недостаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро линейного функционала
Сообщение01.12.2022, 15:35 


18/05/15
704
mihaild, спасибо).. надо будет подумать об этом..

-- 01.12.2022, 17:29 --

mihaild в сообщении #1572163 писал(а):
Проблема в том, что несовпадения ядер для существования системы $x_j$ такой что $f_i(x_j) = \delta_{ij}$ недостаточно.

А что здесь не так:
Допустим, $\ker f_i \ne \ker f_j, i\ne j$. Cуществует такой вектор $x_i$, что $$x_i \notin \ker f_i, x_i \in \bigcap_{m\ne i} \ker f_m.$$ И тогда для $e_i = x_i/f_i(x_i)$ выполняется условие $$f_k(e_i) = \delta_{ki}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро линейного функционала
Сообщение01.12.2022, 22:01 


18/05/15
704
Не получается без манипуляций линейной зависимостью/независимостью функционалов. А в пункте "Линейные функционалы", в котором это упражнение, про это ни слова. Как же так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ядро линейного функционала
Сообщение01.12.2022, 22:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8814
Цюрих
ihq.pl в сообщении #1572164 писал(а):
Cуществует такой вектор $x_i$, что $$x_i \notin \ker f_i, x_i \in \bigcap_{m\ne i} \ker f_m.$$
Из непустоты $\overline{\ker f_i} \cap \ker f_j$ для любого $j$ не следует непустота $\overline{\ker f_i} \cap \bigcap_{m \neq i} \ker f_m$.
ihq.pl в сообщении #1572207 писал(а):
Не получается без манипуляций линейной зависимостью/независимостью функционалов. А в пункте "Линейные функционалы", в котором это упражнение, про это ни слова. Как же так?
Я бы предположил, что курс "Основы функционального анализа" предполагает знакомство с линейной алгеброй на уровне выделения линейно независимой подсистемы из системы функционалов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group