Наибольшая вероятность - доказательство

[crmath]

Есть задача:
Имеются две урны, а также 100 черных и 100 белых шариков. Разложить шарики по урнам таким образом, чтобы вероятность вытащить черный была максимальной.

Довольно очевидно, что в одну урну кладем 1 черный шарик, в другую - все остальные, тогда вероятность будет максимальной - почти 0.75. Но вот как это доказать строго математически?

Задача сводится к нахождению максимума функции $F(x,y)$, где $x, y$ - количество шариков в одной из урн (скажем, в первой).
$F(x,y) = \frac{x}{x+y} + \frac{100-x}{200-x-y}$
Как доказать, что $F(x,y)$ максимальна при $x=1, y=0$ ?

[sergey1]

Можно исследовать эту функцию на экстремум с помощью производной. А без производной можно так: докажите неравенство $0,5F(x,y)\le 0,5+99/199$ для всех x, y$.

[crmath]

sergey1 в сообщении #521763 писал(а):

Можно исследовать эту функцию на экстремум с помощью производной. А без производной можно так: докажите неравенство $0,5F(x,y)\le 0,5+99/199$ для всех x, y$.

Как его доказать? В этом и есть мой вопрос, собственно...

[sergey1]

Есть много методов доказательства неравенств, например использование замечательных неравенств и др. Здесь, как мне кажется, может помочь следующее:
Избавьтесь от знаменателя, перенесие все влево и рассмотрите полученное выражение как квадратный трехчлен относительно одной из переменных.

[crmath]

sergey1 в сообщении #521784 писал(а):

Избавьтесь от знаменателя, перенесие все влево и рассмотрите полученное выражение как квадратный трехчлен относительно одной из переменных.

В итоге получаем следующее:
$50\cdot{x^2} - (99\cdot{y}+50)\cdot{x} + 19850\cdot{y} - 149\cdot{y^2}$
Как доказать, что это всегда неотрицательно при $0<x<100, 0<y<100$ ?

[sergey1]

Исследуйте этот трехчлен. Нас бы, например, устроило бы, если бы его дискриминант при любом $y$ от 0 до 100 был бы неположительным. Или если бы при таких $y$ вершина параболы лежала бы не ниже оси абсцисс.

[ewert]

crmath в сообщении #521760 писал(а):

F(x,y) = x/(x+y) + (100-x)/(200-x-y)
Как доказать, что F(x,y) максимальна при x=1, y=0 ?

Очевидно, что каждое из слагаемых (а значит, и вся функция) выпукла вниз по игрекам при фиксированном иксе. Это означает, что для каждого икса максимум достигается на одной из границ: $y=0$ или $y=100$, причём достаточно рассматривать только первый случай (второй сводится к первому перестановкой урн). Функция $F(x,0)=1+\dfrac{100-x}{200-x}=2-\dfrac{100}{200-x}$ монотонна и, очевидно, достигает своего максимального значения $(1+\frac{99}{199})$ при наименьшем из иксов, т.е. при $x=1$ (поскольку комбинация $x=0,\;y=0$ запрещена.

Особый случай $x=0$ надо оговорить отдельно, но там $F(0,y)=\dfrac{100}{200-y}$ уж явно не больше единицы.

[crmath]

В общем вышло вот так:

Пусть $x, y$ - число черных и белых шариков в одной из коробок.
Докажем, что вероятность наибольшая при $x=0, y=1$
$P=0.5 \cdot (\frac{x}{x+y}+\frac{100-x}{200-x-y})$
при $x=1, y=0$ получаем
$P_{m} = 0.5 \cdot (1+\frac{99}{199})= 0.5 \cdot \frac{298}{199}$
То есть нужно доказать, что
$\frac{x}{x+y}+ \frac{100-x}{200-x-y}\leqslant \frac{298}{199}$
при $0\leqslant x\leqslant100, 0\leqslanty\leqslant100$
Заметим также, что $x+y>0$ и $x+y<200$ - иначе в знаменателе нули.
После преобразования получаем следующее неравенство:
$-50\cdot{x^2}+(99\cdot{y}+50)\cdot{x}-19850\cdot{y}+149\cdot{y^2}\leqslant0$
Максимальная вероятность будет, когда левая часть равна 0.
Получаем квадратное уравнение:
$50\cdot{x^2}-(99\cdot{y}+50)\cdot{x}+19850\cdot{y}-149\cdot{y^2}=0$
Решаем его относительно x: находим дискриминант D(y):
$D(y) = (99\cdot{y}+50)^2 - 200\cdot(19850\cdot{y}-149\cdot{y^2}) = 39601\cdot{y^2} - 3960100\cdot{y} + 2500 = {199\cdot{y}\cdot{(y-100)}+2500}$
Найдем экстремумы дискриминанта в интервале $[0,100]$.
Для начала найдем точку минимума $D(y)$, для чего находим производную и приравниваем ее к нулю:
$D'(y)=199\cdot{(y-100)}+199\cdot{y} = 0$
$y=50$ - в этой точке производная меняет знак минуса на плюс, т.е. это точка минимума дискриминанта.
Значит, максимум в интервале $[0,100]$ дискриминант имеет на концах интервала - при $y=0$ и $y=100$
Значения этого максимума такие:
$D(0)=199\cdot0\cdot(0-100)+2500=2500$
$D(100)=199\cdot100\cdot(100-100)+2500=2500$
То есть максимальное значение дискриминанта равно 2500
При других значениях $y$ $D(y)<0$. Покажем это:
$D(1)=199\cdot1\cdot(1-100)+2500<0$
Поскольку $D(y)$ убывает в интервале $[0,50]$, то все значения $D(y)$ в этом интервале также отрицательны.
$D(99)=199\cdot99\cdot(99-100)+2500<0$
Поскольку $D(y)$ возрастает в интервале $(50,100)$, то все другие значения $D(y)$ в этом интервале будут еще меньше, чем $D(99)$.
Таким образом, ЕДИНСТВЕННОЕ неотрицательное значение $D(y)=2500$, и это достигается при $y=0$ и $y=100$
А значит, наше квадратное уравнение имеет такие решения:
1) $y=0$
$x_1=(99\cdoty+50+\sqrt {2500} )/100 = 1$
$x_2=(99\cdoty+50-\sqrt {2500} )/100 = 0$ - этот вариант не подходит, т.к. $x+y>0$
2)$y=100$
$x_1=(99\cdoty+50+\sqrt {2500})/100=100$ - этот вариант не подходит, т.к. $x+y<200$
$x_2=(99\cdoty+50-\sqrt {2500})/100=99$

Итак, максимальная вероятность будет при:
1) $x=1, y=0.$ Это значит, что мы кладем 1 черный шарик в первую коробку, а во второй будут 99 черных и 100 белых
2) $x=99, y=100.$ Это значит, что мы кладем 99 черных и 100 белых шариков в первую коробку, а во второй будет только 1 черный.

Таким образом, оба случая указывают на единственный вариант распределения шариков, дающий максимальную вероятность вытащить черный шарик:
1 черный шарик в одной коробке, и все остальные (99 черных и 100 белых) - в другой.
Значение этой вероятности $P_{m}=\frac{149}{199} = 0.7487$

Все ли верно/логично?

[ewert]

crmath в сообщении #521803 писал(а):

Все ли верно/логично?

Неизвестно. Во-первых, безумно занудно. Во-вторых, то, что формулы следует обязательно набирать в ТеХ -- это не просто форумная прихоть: Ваше нагромождение значков читать совершенно невозможно.

[crmath]

ewert в сообщении #521804 писал(а):

crmath в сообщении #521803 писал(а):

Все ли верно/логично?

Неизвестно. Во-первых, безумно занудно. Во-вторых, то, что формулы следует обязательно набирать в ТеХ -- это не просто форумная прихоть: Ваше нагромождение значков читать совершенно невозможно.

А математика вообще занудна, не находите? :)

[ewert]

crmath в сообщении #521805 писал(а):

А математика вообще занудна, не находите? :)

Кому как. Вот Вы считаете её занудной -- естественно, и решение занудное придумываете.

[PAV]

Тема перемещена из "Помогите решить/разобраться" в карантин. Почему это произошло, можно понять, прочитав тему
Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться
Там же описано, как исправлять ситуацию.

Все формулы должны быть набраны по правилам форума

[GAA]

Вернул из Карантина

[crmath]

ewert в сообщении #521804 писал(а):

crmath в сообщении #521803 писал(а):

Все ли верно/логично?

Неизвестно. Во-первых, безумно занудно. Во-вторых, то, что формулы следует обязательно набирать в ТеХ -- это не просто форумная прихоть: Ваше нагромождение значков читать совершенно невозможно.

А теперь возможно прочитать?

[ewert]

(Оффтоп)

crmath в сообщении #522337 писал(а):

А теперь возможно прочитать?

Теперь возможно. Но мне всё равно лень -- из-за занудства (Вашего). Ну зачем возиться с дискриминантами, ради бога, когда из соображений выпуклости (или, что то же, из соображений монотонностей производных) всё получается практически на автомате?...

Вы бы всё же попытались прочитать мой тогдашний пост -- он совсем несложен. Там, правда, есть один формальный дефект, но он легко восполняется.