Предел. Можно ли так сделать?

[Andrei94]

Можно ли так сделать?

$$\lim\limits_{x\to\infty}\Big(\dfrac{x^2+2x-1}{2x^3-3x-2}\Big)^{1/x}=\lim\limits_{x\to\infty}\Big(\dfrac{x^2+2x}{2x^3-3x}\Big)^{1/x}=\lim\limits_{x\to\infty}\Big(\dfrac{x+2}{2x^2-3}\Big)^{1/x}$$

Ведь $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{A}{B}=1$

$A=\dfrac{x^2+2x-1}{2x^3-3x-2}$

$B=\dfrac{x+2}{2x^2-3}$

[PAV]

Да, преобразование такое делать можно (в данном конкретном случае!). Особенно замечательно было бы, если бы Вы умели строго обосновать такие преобразования. Потому что если бы показатель степени был бы не $1/x$, а $x$, то тогда такую замену делать было бы небезопасно.

[Klad33]

Еще проще так. Ваш предел равносилен:

$\lim \limits_{x \to \infty}\big (\frac{a}{x} \big )^{\frac{b}{x}}=1$

[Andrei94]

PAV в сообщении #521314 писал(а):

Да, преобразование такое делать можно (в данном конкретном случае!). Особенно замечательно было бы, если бы Вы умели строго обосновать такие преобразования. Потому что если бы показатель степени был бы не $1/x$, а $x$, то тогда такую замену делать было бы небезопасно.

Спасибо, это видимо связано с тем, что $\lim\frac{A}{B}$ подразумевает существование $A$ и $B$.

А что еще можно с таким пределом сделать?

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\cos{(xe^x)}-\cos(xe^{-x})}{x^3}$

Здесь вроде как эквивалентности применять нельзя, тк разность...

А формула разности косинусов -- только все ухудшает...

-- 29.12.2011, 16:12 --

Klad33 в сообщении #521315 писал(а):

Еще проще так. Ваш предел равносилен:

$\lim \limits_{x \to \infty}\big (\frac{a}{x} \big )^{\frac{b}{x}}=1$

Спасибо! Только не очень понял -- как вы так ловко сделали) Особенно то -- почему в степени появилось $b$

[ИСН]

b - это так обозначили 1.
А в том примере с косинусами - да, разность косинусов. "Всё должно стать гораздо хуже, прежде чем стать чуточку лучше."

[PAV]

Andrei94 в сообщении #521317 писал(а):

Спасибо, это видимо связано с тем, что $\lim\frac{A}{B}$ подразумевает существование $A$ и $B$.

Нет, не то. Просто Вы заменяете величину на эквивалентную, то есть по сути заменяете внутри скобок $(f(x))^{1/x}$ на произведение $(g(x)h(x))^{1/x}$, где $h(x)\to 1$. Поскольку показатель степени $\frac1x\to0$, то сомножитель $(h(x))^{1/x}\to1$, никакой неопределенности в данном случае не возникает и этот сомножитель можно отбросить. Однако если бы показатель степени был бы $x$ и стремился бы к бесконечности, то этот сомножитель представлял бы собой неопределенность вида $1^\infty$, которую нужно было бы исследовать. А просто отбрасывать ее было бы нельзя.

[Andrei94]

ИСН в сообщении #521319 писал(а):

b - это так обозначили 1.
А в том примере с косинусами - да, разность косинусов. "Всё должно стать гораздо хуже, прежде чем стать чуточку лучше."

Спасибо!

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\cos{(xe^x)}-\cos(xe^{-x})}{x^3}=-2\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin{(x(e^x-e^{-x}))}\cdot \sin{(x(e^x-e^{-x}))}}{x^3}=$

Тут только эквивалентности в голову лезут...

$$=-2\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(e^x-e^{-x})(e^x+e^{-x})}{x}=-2\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(e^{2x}-e^{-2x})}{x}=-2\lim\limits_{x\to 0}(2e^{2x}+2e^{-2x})=-8$$

С ответом не совпало(

-- 29.12.2011, 16:25 --

PAV в сообщении #521323 писал(а):

Нет, не то. Просто Вы заменяете величину на эквивалентную, то есть по сути заменяете внутри скобок $(f(x))^{1/x}$ на произведение $(g(x)h(x))^{1/x}$, где $h(x)\to 1$. Поскольку показатель степени $\frac1x\to0$, то сомножитель $(h(x))^{1/x}\to1$, никакой неопределенности в данном случае не возникает и этот сомножитель можно отбросить. Однако если бы показатель степени был бы $x$ и стремился бы к бесконечности, то этот сомножитель представлял бы собой неопределенность вида $1^\infty$, которую нужно было бы исследовать. А просто отбрасывать ее было бы нельзя.

Понятно, спасибо!

[Klad33]

Если три раза числитель пролопиталить, то при x=0 он будет равен -12. Следовательно, предел равен -2.

Да и в ряд Тейлора можно числитель

$-2\,{x}^{3}-{x}^{5}+{\frac {109}{180}}\,{x}^{7}+{\frac {211}{360}}\,{x}^{9}+...$

Опять предел равен -2.

[Andrei94]

Klad33 в сообщении #521382 писал(а):

Если три раза числитель пролопиталить, то при x=0 он будет равен -12. Следовательно, предел равен -2.

Да и в ряд Тейлора можно числитель

$-2\,{x}^{3}-{x}^{5}+{\frac {109}{180}}\,{x}^{7}+{\frac {211}{360}}\,{x}^{9}+...$

Опять предел равен -2.

Ок, спасибо, понял)

Но у себя ошибки не нашел, вроде как -- все логично)

[ewert]

Andrei94 в сообщении #521324 писал(а):

С ответом не совпало(

Естественно. Там ведь синусы полусуммы/полуразности.

[Andrei94]

ewert в сообщении #521417 писал(а):

Andrei94 в сообщении #521324 писал(а):

С ответом не совпало(

Естественно. Там ведь синусы полусуммы/полуразности.

Ох, точно, тогда понятно, спасибо!