Да, преобразование такое делать можно (в данном конкретном случае!). Особенно замечательно было бы, если бы Вы умели строго обосновать такие преобразования. Потому что если бы показатель степени был бы не
![$1/x$ $1/x$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/e/91e016f6698083c4698811f046f0eb2582.png)
, а
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
, то тогда такую замену делать было бы небезопасно.
Спасибо, это видимо связано с тем, что
![$\lim\frac{A}{B}$ $\lim\frac{A}{B}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/9/799e291f7af769a204233e1f4ce718cc82.png)
подразумевает существование
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
и
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
.
А что еще можно с таким пределом сделать?
![$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\cos{(xe^x)}-\cos(xe^{-x})}{x^3}$ $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\cos{(xe^x)}-\cos(xe^{-x})}{x^3}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/f/42f860fc5a601930bcb1b8f8bd20f6a782.png)
Здесь вроде как эквивалентности применять нельзя, тк разность...
А формула разности косинусов -- только все ухудшает...
-- 29.12.2011, 16:12 --Еще проще так. Ваш предел равносилен:
![$\lim \limits_{x \to \infty}\big (\frac{a}{x} \big )^{\frac{b}{x}}=1$ $\lim \limits_{x \to \infty}\big (\frac{a}{x} \big )^{\frac{b}{x}}=1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/6/286bc89a80237fdbfc901ba981e9208d82.png)
Спасибо! Только не очень понял -- как вы так ловко сделали) Особенно то -- почему в степени появилось
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)