2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Предел. Можно ли так сделать?
Сообщение29.12.2011, 15:46 


22/11/11
380
Можно ли так сделать?

$$\lim\limits_{x\to\infty}\Big(\dfrac{x^2+2x-1}{2x^3-3x-2}\Big)^{1/x}=\lim\limits_{x\to\infty}\Big(\dfrac{x^2+2x}{2x^3-3x}\Big)^{1/x}=\lim\limits_{x\to\infty}\Big(\dfrac{x+2}{2x^2-3}\Big)^{1/x}$$

Ведь $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{A}{B}=1$

$A=\dfrac{x^2+2x-1}{2x^3-3x-2}$

$B=\dfrac{x+2}{2x^2-3}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел. Можно ли так сделать?
Сообщение29.12.2011, 15:59 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Да, преобразование такое делать можно (в данном конкретном случае!). Особенно замечательно было бы, если бы Вы умели строго обосновать такие преобразования. Потому что если бы показатель степени был бы не $1/x$, а $x$, то тогда такую замену делать было бы небезопасно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел. Можно ли так сделать?
Сообщение29.12.2011, 16:00 
Заблокирован
Аватара пользователя


11/09/11

650
Еще проще так. Ваш предел равносилен:

$\lim \limits_{x \to \infty}\big (\frac{a}{x} \big )^{\frac{b}{x}}=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел. Можно ли так сделать?
Сообщение29.12.2011, 16:10 


22/11/11
380
PAV в сообщении #521314 писал(а):
Да, преобразование такое делать можно (в данном конкретном случае!). Особенно замечательно было бы, если бы Вы умели строго обосновать такие преобразования. Потому что если бы показатель степени был бы не $1/x$, а $x$, то тогда такую замену делать было бы небезопасно.


Спасибо, это видимо связано с тем, что $\lim\frac{A}{B}$ подразумевает существование $A$ и $B$.

А что еще можно с таким пределом сделать?

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\cos{(xe^x)}-\cos(xe^{-x})}{x^3}$

Здесь вроде как эквивалентности применять нельзя, тк разность...

А формула разности косинусов -- только все ухудшает...

-- 29.12.2011, 16:12 --

Klad33 в сообщении #521315 писал(а):
Еще проще так. Ваш предел равносилен:

$\lim \limits_{x \to \infty}\big (\frac{a}{x} \big )^{\frac{b}{x}}=1$


Спасибо! Только не очень понял -- как вы так ловко сделали) Особенно то -- почему в степени появилось $b$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел. Можно ли так сделать?
Сообщение29.12.2011, 16:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
b - это так обозначили 1.
А в том примере с косинусами - да, разность косинусов. "Всё должно стать гораздо хуже, прежде чем стать чуточку лучше."

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел. Можно ли так сделать?
Сообщение29.12.2011, 16:21 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Andrei94 в сообщении #521317 писал(а):
Спасибо, это видимо связано с тем, что $\lim\frac{A}{B}$ подразумевает существование $A$ и $B$.


Нет, не то. Просто Вы заменяете величину на эквивалентную, то есть по сути заменяете внутри скобок $(f(x))^{1/x}$ на произведение $(g(x)h(x))^{1/x}$, где $h(x)\to 1$. Поскольку показатель степени $\frac1x\to0$, то сомножитель $(h(x))^{1/x}\to1$, никакой неопределенности в данном случае не возникает и этот сомножитель можно отбросить. Однако если бы показатель степени был бы $x$ и стремился бы к бесконечности, то этот сомножитель представлял бы собой неопределенность вида $1^\infty$, которую нужно было бы исследовать. А просто отбрасывать ее было бы нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел. Можно ли так сделать?
Сообщение29.12.2011, 16:22 


22/11/11
380
ИСН в сообщении #521319 писал(а):
b - это так обозначили 1.
А в том примере с косинусами - да, разность косинусов. "Всё должно стать гораздо хуже, прежде чем стать чуточку лучше."


Спасибо!

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\cos{(xe^x)}-\cos(xe^{-x})}{x^3}=-2\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin{(x(e^x-e^{-x}))}\cdot \sin{(x(e^x-e^{-x}))}}{x^3}=$

Тут только эквивалентности в голову лезут...

$$=-2\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(e^x-e^{-x})(e^x+e^{-x})}{x}=-2\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(e^{2x}-e^{-2x})}{x}=-2\lim\limits_{x\to 0}(2e^{2x}+2e^{-2x})=-8$$

С ответом не совпало(

-- 29.12.2011, 16:25 --

PAV в сообщении #521323 писал(а):
Нет, не то. Просто Вы заменяете величину на эквивалентную, то есть по сути заменяете внутри скобок $(f(x))^{1/x}$ на произведение $(g(x)h(x))^{1/x}$, где $h(x)\to 1$. Поскольку показатель степени $\frac1x\to0$, то сомножитель $(h(x))^{1/x}\to1$, никакой неопределенности в данном случае не возникает и этот сомножитель можно отбросить. Однако если бы показатель степени был бы $x$ и стремился бы к бесконечности, то этот сомножитель представлял бы собой неопределенность вида $1^\infty$, которую нужно было бы исследовать. А просто отбрасывать ее было бы нельзя.


Понятно, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел. Можно ли так сделать?
Сообщение29.12.2011, 18:59 
Заблокирован
Аватара пользователя


11/09/11

650
Если три раза числитель пролопиталить, то при x=0 он будет равен -12. Следовательно, предел равен -2.

Да и в ряд Тейлора можно числитель

$-2\,{x}^{3}-{x}^{5}+{\frac {109}{180}}\,{x}^{7}+{\frac {211}{360}}\,{x}^{9}+...$

Опять предел равен -2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел. Можно ли так сделать?
Сообщение29.12.2011, 20:42 


22/11/11
380
Klad33 в сообщении #521382 писал(а):
Если три раза числитель пролопиталить, то при x=0 он будет равен -12. Следовательно, предел равен -2.

Да и в ряд Тейлора можно числитель

$-2\,{x}^{3}-{x}^{5}+{\frac {109}{180}}\,{x}^{7}+{\frac {211}{360}}\,{x}^{9}+...$

Опять предел равен -2.


Ок, спасибо, понял)

Но у себя ошибки не нашел, вроде как -- все логично)

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел. Можно ли так сделать?
Сообщение29.12.2011, 20:56 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Andrei94 в сообщении #521324 писал(а):
С ответом не совпало(

Естественно. Там ведь синусы полусуммы/полуразности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел. Можно ли так сделать?
Сообщение29.12.2011, 21:27 


22/11/11
380
ewert в сообщении #521417 писал(а):
Andrei94 в сообщении #521324 писал(а):
С ответом не совпало(

Естественно. Там ведь синусы полусуммы/полуразности.


Ох, точно, тогда понятно, спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group