Попытка доказательства Теоремы Ферма

[AKM]

natalya_1 в сообщении #520024 писал(а):

Мне необходимо было доказать рациональность корней уравнения.

Рациональность корней какого уравнения вы хотите доказать? Почему Вы с этого не начинаете? Почему Вы думаете, что все столь же увлечены, что понимают Вас с полуслова?

Если этого --- $(cd-p)x^3-c^2dx^2+c^2px+Q=0$ --- то так и напишите, приведя сразу все известные сведения о коэффициентах.

Например: "Имеется уравнение

$$(ac+bc-a^2-b^2)x^3-c^2(a+b-c)x^2+c^2(a^2+b^2-c^2)x+Q=0, \eqno(99)$$

где $a,b,c$ --- целые числа, а $Q$ --- пока не знаю, что.
Утверждается, что если $a^3+b^3=c^3$, то корни уравнения (99) рациональны."

(я подставил предполагаемые значения $p,d$, дабы меньше путаться).
Ответьте сначала на простой вопрос: это (+ Ваше уточнение про Q) правильная формулировка?

[natalya_1]

AKM в сообщении #520084 писал(а):

.

Ответьте сначала на простой вопрос: это (+ Ваше уточнение про Q) правильная формулировка?

Да. Это правильная формулировка. $Q$- целое положительное число.

[nnosipov]

natalya_1 в сообщении #520117 писал(а):

$Q$- целое положительное число.

Какое угодно? Никак не связанное с $a$, $b$, $c$?

[natalya_1]

nnosipov в сообщении #520122 писал(а):

natalya_1 в сообщении #520117 писал(а):

$Q$- целое положительное число.

Какое угодно? Никак не связанное с $a$, $b$, $c$?

$Q$- это значение функции $y=(cd-p)x^3-c^2dx^2+c^2px$ в точке $b$ и значение этой функции в точке $a$, взятое с противоположным знаком.

[AKM]

Не надо нам пока впаривать лишние не определённые переменные p,d. Не надо вносить путаницу. То, что Вы к ним привыкли за долгие годы --- не повод. Читатели всё равно пока вынуждены подставлять их значения, чтобы увидеть явный вид, проверить разложимость на множители, упрощаемость, и проч.
Введём их, когда для того появятся более серьёзные основания, нежели Ваши привычки.
Если Вы знаете, что такое Q, почему просто не выпишете в явном виде?
Ибо последняя Ваша фраза даёт две версии Q.

-- 26 дек 2011, 18:52 --

Выразите $Q$ в терминах $a,b,c$, и проблема с формулировкой утверждения будет решена.

[nnosipov]

AKM в сообщении #520141 писал(а):

Не надо нам пока впаривать лишние не определённые переменные p,d. Не надо вносить путаницу.

Совершенно согласен. Хотелось бы, чтобы и загадочное $Q$ было явно выражено через $a$, $b$ и $c$.

[AKM]

Я исправил опечатку, а именно поменял знак коэффициента при $x^2$ в уравнении (99), хотя Вы и подтвердили его правильность. Думаю, теперь оно действительно правильное.

-- 26 дек 2011, 19:12 --

$$Q=b(c-b)(a^2b+a^2c+\underbrace{b^3-c^3}_{-a^3}-abc)=-ab(a-b)(b-c)(c-a)\;?$$

[natalya_1]

Да, именно так.

[AKM]

Уравнение (99) с вышеназванным значением $Q$ имеет корни $x_1,x_2,x_3=a$ (последнее легко проверяется, опустим это дело; я также считаю, что обозначения $x_{1,2}$ вместо Ваших $a_{1,2}$ более адекватны). Разделив (99) на $x-a$, получаем квадратное уравнение

(сообщение не закончено, гости набежали, допишу)

[natalya_1]

AKM в сообщении #520231 писал(а):

Разделив (99) на $x-a$, получаем квадратное уравнение

Возможность сокращения помогает прийти к квадратному уравнению и при более высоких значениях $n$, что позволяет использовать этот принцип доказательства для всех нечетных $n>2$. Только я сокращала по-другому.

[AKM]

1) Другие $n$ мы пока не рассматриваем. С этим бы, наконец, разобраться!
2) Не важно, что Вы сокращали как-то "по-другому" --- результат должен быть одинаков.

Итак, мы приходим к квадратному уравнению

$$\hspace*{-3cm}(a^2+b^2-ac-bc)x^2+(bc^2+ac^2-ca^2+ab^2-abc-b^3)x+b(b-c)(a-c)(a-b)=0. \eqno(100)$$

И намерены доказать рациональность его корней $x_{1,2}$ (помня условие $a^3+b^3=c^3$).

Да?

[natalya_1]

Да.

[AKM]

Далее я констатирую, что та самая "лемма" сформулирована кратко и понятно. Но пока, по упомянутым причинам, откладываю своё активное участие в обсуждении. Возможно, даже до послезавтра. Т.е. я сейчас не пойду смотреть, вспоминать, разбираться, что Вы там писали про $q,q_1$. Да и вообще, я не математик (хуже того, бывший ферматик, дважды доказавший теорему). Потому, в частности, я сильно ценю замечания профессионала nnosipov'а, подтвердившие мои потуги с выяснением того, о чём идёт речь.

Предлагаю Вам сделать Ваш ход, а именно, записать (переписать) первый пункт Вашего доказательства этой леммы, которая теперь вроде как стала самостоятельной леммой. Не всё доказательство, одну цельную фразу. Дождаться её критики, принятия либо неприятия. Если Вам так уж нужно писать в терминах своих $p,d$, то переприведите людям их определения.

-- 26 дек 2011, 22:52 --

Лемма писал(а):

При целых $a,b,c$ pассматривается квадратное уравнение

$$\hspace*{-3cm}(a^2+b^2-ac-bc)x^2+(bc^2+ac^2-ca^2+ab^2-abc-b^3)x+b(b-c)(a-c)(a-b)=0. \eqno(100)$$

Я намерена доказать рациональность его корней $x_{1,2}$ при условии $a^3+b^3=c^3$.

[nnosipov]

Формулировка леммы теперь ясна (AKM, спасибо), но как само утверждение можно доказать? Дискриминант этого квадратного уравнения ужасен даже по модулю соотношения $a^3+b^3=c^3$. Будем ждать доказательства.

[natalya_1]

nnosipov
мне сейчас надо переписать все с учетом ваших требований избавления от обозначений $p$ и $d$.
Свое сокращение я делала позже, и квадратное уравнение тоже получала после другого сокращения.
(см. пост от 3 декабря).
Мне казалось, что введя дополнительные обозначения, я делаю картинку более красивой и простой для понимания, но, увы....
И конечно я привыкла к своим обозначениям...