R-модуль

[Unconnected]

Объясните пожалуйста, что это и зачем? Определение как бы ясно, какая-то абелева группа, которая умеет умножаться на элементы кольца R (коммутативного и с 1), умножение коммутативно (зависит от R), ассоциативно, дистрибутивность.. только зачем оно нужно, можно пример?

Вот в вики написано: Любая абелева группа — модуль над кольцом целых чисел. А что, любая абелева группа не будет модулем над теми же вещественными?

[Joker_vD]

Unconnected в сообщении #519039 писал(а):

только зачем оно нужно, можно пример?

Что такое векторное пространство, знаете? Это модуль над полем. А вот еще пример — кольцо многочленов над кольцом $R$ является модулем.

Unconnected в сообщении #519039 писал(а):

А что, любая абелева группа не будет модулем над теми же вещественными?

А как она будет? Вот у вас абелева группа $\mathbb Z_{10}$, умножьте какой нибудь элемент его на $\pi$ так, чтобы получить элемент из $\mathbb Z_{10}$

[Unconnected]

del

[Sonic86]

Я сам только недавно с модулями познакомился. Тоже сначала показалось, что это какая-то ненужная вещь. Однако нет. Теоремы о них - более общие, чем теоремы о линейных пространствах и устроены они немного сложнее, потому что в кольце нет обратных элементов. В Винберге можете прочесть главу о модулях над кольцами главных идеалов - она простая и дает некоторое представление о модулях. С помощью модулей можно изучать структуру абелевых групп (с помощью них определяется существование базиса $u_je_j$ с $u_j|u_{j+1}$). Доказывается теорема о структуре линейного оператора - в некотором базисе описывается жордановой матрицей. С помощью модулей изучаются и структуры колец вообще (т.е. с нильпотентными элементами, некоммутативными, без единицы и т.п.) - об этом можно прочитать в ван дер Вардене (и после чего сильно обалдеть).

[Leox]

Модуль ето полезное обобщение понятия векторного пространства

[Unconnected]

Пытался читать ван дер Вардена, но не шмог, сильно умно там написано.. приходится юзаю конспекты невнимательного лектора)
Вот ещё: пусть S - подкольцо R, такое, что 1_R \in S. Тогда R является S-модулем. А почему в подкольце обязательно должна быть единица?
И почему обязательно абелева группа будет модулем над кольцом целых? Не-абелева (некоммутативная относительно умножения, я так понимаю) не найдется такая?

И ещё вот такая фраза есть: (End(M),+,*) (End - мн-во эндоморфизмов абелевой группы M) - ассоц. кольцо с 1, можно рассматривать как модуль своих эндоморфизмов. $p(f,x)=f(x)$, $f \in End$, $x \in M$.
Во-первых, единица в кольце эндоморфизмов - это тождественное отображение элементов в себя? Потом, ассоциативное оно почему?
Если можно, как-нибудь без идеалов и т.п.)

[Joker_vD]

Unconnected в сообщении #519422 писал(а):

А почему в подкольце обязательно должна быть единица?

А по определению подкольца.

Unconnected в сообщении #519422 писал(а):

Не-абелева (некоммутативная относительно умножения, я так понимаю) не найдется такая?

Нет, конечно — модуль по определению есть абелева группа, которая...

Насчет эндоморфизмов ничего не понял — как у вас там определены операции?

[Unconnected]

Там определено сложение $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$, и умножение $(f\cdotg)(x)=f(g(x))$. И ещё, в том же контексте - $p(f,x)=f(x)$, $f \in End$, $x \in M$ - что это значит? Я вижу смысл только в том случае, если M и есть множество эндоморфизмов. А если нет?

[Joker_vD]

Unconnected в сообщении #519449 писал(а):

Я вижу смысл только в том случае, если M и есть множество эндоморфизмов. А если нет?

В этом случае смысла бы у записи не было вообще. Но $M$ — это какая-то абелева группа, $End(M)$ — кольцо ее эндоморфизмов (с поточечным сложением и композицией). Нулем в $End(M)$ является отображение "все в нуль", единицей — тождественное, аксиомы кольца проверьте сами (помните: $End(M)$ состоит из эндоморфизмов, а не всего подряд).

Далее, вы привели отображение $p\colon End(M)\times M\to M$, действующее по правилу $p(f,x)=f(x)$... возможно, я сейчас чего-то не соображаю, но толку от него никакого нет — $M$ не кольцо, и $End(M)$ модулем над $M$ никак не является. Единственная возможность (как мне кажется) превратить $End(M)$ в модуль — это рассматривать его как $\mathbb Z$-модуль с обычным умножением на скаляр: Если $a\in\mathbb Z,\;f\in End(M)$, то $a\cdot f\in End(M)$ определяется по правилу

$$(a\cdot f)(x)=a\cdot(f(x))=\underbrace{f(x)+\ldots+f(x)}_{a\text{ раз}}.$$

Для чего нужно это $p$ — убей не соображу. Возможно, с утра будет понятнее, а пока что спокойной ночи вам, я пошел спать.

[bnovikov]

Joker_vD в сообщении #519455 писал(а):

Далее, вы привели отображение $p\colon End(M)\times M\to M$, действующее по правилу $p(f,x)=f(x)$...
Для чего нужно это $p$ — убей не соображу. Возможно, с утра будет понятнее, а пока что спокойной ночи вам, я пошел спать.

$p$ обозначает то, что Вы написали выше, - внешнюю операцию. Если хотите, поставьте вместо $p$, например, $\circ$ и говорите: "Определим действие так: $f\circ x=f(x)$".

[Sonic86]

Unconnected в сообщении #519422 писал(а):

Пытался читать ван дер Вардена, но не шмог, сильно умно там написано..

Вы лучше с Винберга начните, я ж говорил, что от ван дер Вардена обалдеть можно.

Joker_vD в сообщении #519432 писал(а):

А по определению подкольца.

Вообще-то единицы может не быть даже в кольце Хотя всегда ее легко добавить

Unconnected в сообщении #519422 писал(а):

И почему обязательно абелева группа будет модулем над кольцом целых?

Запишите элемент абелевой группы в общем аддитивном виде. И проверяйте по определению, что она - модуль, используя общий вид элемента.

Unconnected в сообщении #519422 писал(а):

Во-первых, единица в кольце эндоморфизмов - это тождественное отображение элементов в себя?

А вот об этом можно как раз узнать в ван дер Вардене (там очень простое объяснение): глава Линейная алгебра, параграф Модули над произвольным кольцом. Кратко: единица группы эндоморфизмов не обязана быть тождественным оператором, но от нее можно перейти к тождественному оператору.

Unconnected в сообщении #519422 писал(а):

Потом, ассоциативное оно почему?

Просто в силу действия эндоморфизмов на кольце - они буду ассоциативны как отображения.

[Joker_vD]

Sonic86
Вот зря вы ему Ван-дер-Вардена посоветовали. Если вы не заметили, у него изначально были коммутативные кольца с единицей.

bnovikov
Какую внешнюю операцию на чем оно задает? Это же банальный $\mathrm{ev}$?

[Sonic86]

Joker_vD в сообщении #519540 писал(а):

Вот зря вы ему Ван-дер-Вардена посоветовали. Если вы не заметили, у него изначально были коммутативные кольца с единицей.

Не, ну я же его предупредил Но ведь действительно в ван дер Вардене написано, почему нейтральный элемент можно считать единичным оператором. А остальное просто пока нельзя читать А в Винберге этого нет.
Так. Или если кольцо коммутативное и с единицей, то единичный элемент кольца эндоморфизмов всегда является нейтральным действием? А то если так, то тогда и ван дер Варден не нужен, но это надо доказать...

[Joker_vD]

Sonic86
Ну-ка погодите, мы с вами вообще про одно и то же кольцо эндоморфизмов говорим? Я говорю об $\mathrm{Hom}(M, M)$, где $M$ — абелева группа; сложение в $\mathrm{Hom}(M, M)$ задано как $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$, умножение как $(fg)(x)=f(g(x))$. Нулем в нем является гомоморфизм $M\xrightarrow{o} M$, заданный как $o(x)=0$, а единицей — тождественный гомоморфизм $\mathrm{id}_M $.

[Sonic86]

Joker_vD в сообщении #519557 писал(а):

Я говорю об $\mathrm{Hom}(M, M)$

Да, а я значит говорил про другое - про произвольное кольцо эндоморфизмов. Извините