Дифференциальные уравнения и преобразование Фурье

[Хорхе]

Oleg Zubelevich в сообщении #518959 писал(а):

Ну я это несколько иначе понимаю
легко сообразить, что $\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}=\{(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$

Действительно, это легко сообразить. Дальше уже, в принципе, ничего писать и не надо.

-- Пт дек 23, 2011 23:22:11 --

Oleg Zubelevich в сообщении #518959 писал(а):

Хорхе в сообщении #518912 писал(а):

евые, то производные дельта-функции не подойдут: $\langle \delta'_{\omega_0}p, f\rangle = \langle \delta'_{\omega_0}, pf\rangle = -\langle \delta_{\omega_0}, (pf)'\rangle = -p'(\omega_0)f(0)$.
То есть ответ $\hat x = a_+ \delta_{\omega_0} + a_-\delta_{-\omega_0}$.

тогда наверное надо и вторые производные проверять и еще непойми что

Да там точно так же так же для любых производных доказывается:
$\langle \delta(k)_{\omega_0}p, f\rangle = (-1)^k\langle \delta_{\omega_0}, (pf)^{(k)}\rangle = (-1)^kk p'(\omega_0)f^{(k-1)}(\omega_0)$

Но Ваш способ проще, конечно.

[profrotter]

Итак, великие математики посовещались и сошлись на том, что тут легко сообразить и всё очевидно. В связи с чем у меня вопрос к автору темы: скажите, вы что - нибудь поняли из изложенного? Интересна ли вам литература по обобщённым функциям или, быть может, требуется более подробное объяснение того, что "легко сообразить" и "очевидно"?

[Quantenmechaniker]

Спасибо всем за ответы.

Я, если честно, не понял даже шаг с пересечением ядер. В самом деле, слева от знака равенства стоит $\operatorname{ker}\delta_{\omega_0}\cap\operatorname{ker}\delta_{-\omega_0}\subset\mathbb R$, а справа некое множество $V\subseteq\mathcal{S}(\mathbb{R})$. Так как же они равны? Или я ошибаюсь и имеется в виду ядро линейного функционала над $\mathcal{S}(\mathbb{R})$?

За литературу, разумеется, буду благодарен.

[Хорхе]

Quantenmechaniker в сообщении #519691 писал(а):

имеется в виду ядро линейного функционала над $\mathcal{S}(\mathbb{R})$?

Да.

[profrotter]

Oleg Zubelevich в сообщении #518959 писал(а):

легко сообразить, что $\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}=\{(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$
соответственно $((\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega),\hat x)=(\psi,(\omega^2-\omega_0^2)\hat x)=0$ последнее равенство -- в силу уравнения, откуда следует $\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}\subseteq\ker \hat x$ и соответственно $\hat x=c_1\delta_{\omega_0}+c_2\delta_{-\omega_0}$

Мне тоже не совсем понятно, о чём идёт речь и я пробую разобраться, слегка изменив неудачные на мой взгляд обозначения. Рассматриваются две обобщённые функции (линейные функционалы) на пространстве основных функций $K$ над $\mathbb{R}$:

$$\Delta_{-\omega_0}(\psi)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(\omega - \omega_0)\psi(\omega)d\omega=\psi(\omega_0)$$

$$\Delta_{+\omega_0}(\psi)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(\omega + \omega_0)\psi(\omega)d\omega = \psi(-\omega_0),$$

где $\psi \in K$.
Ядро линейного функционала представляет собою множество всех функций из $K$, которые обращают функционал в нуль, то есть:

$$\operatorname{ker}\Delta_{-\omega_0}=\{ \psi|\psi(\omega_0)=0; \psi \in K \}$$

$$\operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0}=\{ \psi|\psi(-\omega_0)=0; \psi \in K \}.$$

Легко догадаться, что

$$\operatorname{ker}\Delta_{-\omega_0}\cap \operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0}=\{ \psi|\psi(\pm\omega_0)=0; \psi \in K \}$$

откуда легко сообразить, что

$$\{ (\omega^2-\omega_0^2)\psi_1(\omega)| \psi_1 \in K \} \subset \operatorname{ker}\Delta_{-\omega_0}\cap \operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0},$$

но

$$\operatorname{ker}\Delta_{-\omega_0}\cap \operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0}\neq \{ (\omega^2-\omega_0^2)\psi_1(\omega)| \psi_1 \in K \}.$$

Иными словами $\operatorname{ker}\Delta_{-\omega_0}\cap \operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0}$ - это все основные функции, которые обращаются в нуль в точках $\pm \omega_0$, некоторые из них имеют вид $(\omega^2-\omega_0^2)\psi_1(\omega)$, но не все - например $(\omega^2-\omega_0^2)^a\psi_1(\omega)$ (где $a>0$) тоже входит в $\operatorname{ker}\Delta_{-\omega_0}\cap \operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0}$. Поэтому мне непонятно с какого потолка взялось вот это вот легкосоображение:

Oleg Zubelevich в сообщении #518959 писал(а):

легко сообразить, что $\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}=\{(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$

Очень прошу тех, кому легко сообразить и догадаться пояснить подрбнее.
Идём дальше.

Oleg Zubelevich в сообщении #518959 писал(а):

$\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}\subseteq\ker \hat x$ и соответственно $\hat x=c_1\delta_{\omega_0}+c_2\delta_{-\omega_0}$

Смысл этой записи в том, что непосредственной подстановкой можно убедиться в том, что $\hat{x} = C_1\delta(\omega - \omega_0)+C_2\delta(\omega+\omega_0)$ является решением (что я тоже сделал в сообщении #518875). Однако, это ни коим образом не решает проблему, справедливо поставленную Хорхе: записав решение уравнения в указанном виде мы должны ещё доказать, что уравнение не имеет других решений, точнее таких решений, которые не представляются в виде линейной комбинации только функций $\delta(\omega - \omega_0)$ и $\delta(\omega+\omega_0)$. Я думаю с этим доказательством не стоит себя напрасно утруждать. Достаточно взять обратное преобразование Фурье и убедиться, что получена фундаментальная система решений исходного однородного дифференциального уравнения, то есть решение представляет собою суперпозицию двух (по порядку уравнения) линейно-независимых функций. Впрочем, конкретно в нашей задаче, можно даже и не брать обратное преобразование Фурье, а учесть, что в виду его линейности и однозначности достаточно найти Фурье - образ решения в виде суперпозиции двух линейно-независимых функций.

Из литературы, на мой взгляд, на вполне человеческом языке написана книга Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. - М.: Наука, 1965г. Там же посмотрите и список литературы.

[Oleg Zubelevich]

profrotter в сообщении #520036 писал(а):

а пространстве основных функций $K$

что такое $K$? преобразование Фурье стандартно рассматривается на $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ т.е. пространство основных функций это
$\mathcal{S}(\mathbb{R})$ -- учите мат.часть

profrotter в сообщении #520036 писал(а):

пример $(\omega^2-\omega_0^2)^a\psi_1(\omega)$ (где $a>0$)

это вообще чепуха: такая функция, вообще говоря, не определена на $\mathbb{R}$ при $a=1/2$, и очень многих $\psi_1$

profrotter в сообщении #520036 писал(а):

Идём дальше.
Oleg Zubelevich в сообщении #518959 писал(а):
$\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}\subseteq\ker \hat x$ и соответственно $\hat x=c_1\delta_{\omega_0}+c_2\delta_{-\omega_0}$
Смысл этой записи в том, что непосредственной подстановкой можно убедиться в том, что $\hat{x} = C_1\delta(\omega - \omega_0)+C_2\delta(\omega+\omega_0)$

это потому, что Вы не знаете стандартных фвктов:

Если $\cap_{i=1}^n\ker f_i\subseteq \ker f$ то $f=\sum_{i=1}^nc_if_i$



-- Пн дек 26, 2011 15:38:32 --

profrotter в сообщении #520036 писал(а):

Достаточно взять обратное преобразование Фурье и убедиться, что получена фундаментальная система решений исходного однородного дифференциального уравнения,

ага, а потом еще доказать, что эта система действительна фундаментальна в $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ т.е. что в $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ нет других решений .

[profrotter]

Oleg Zubelevich в сообщении #520083 писал(а):

profrotter в сообщении #520036 писал(а):

а пространстве основных функций $K$

что такое $K$? преобразование Фурье стандартно рассматривается на $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ т.е. пространство основных функций это
$\mathcal{S}(\mathbb{R})$ -- учите мат.часть

Думаете что-нибудь изменится, если вместо $K$ написать $S$? Что конкретно изменится? Разве я не ясно написал, что $K$ обозначил пространство основных функций? Обозначение взято из Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004, глава IV, параграф 4, п.2, стр.219. Такое же обозначение для пространства основных функций использовано в книге Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. - М.: Наука, 1965, глава 1, параграф 2, стр.12.

Oleg Zubelevich в сообщении #520083 писал(а):

profrotter в сообщении #520036 писал(а):

пример $(\omega^2-\omega_0^2)^a\psi_1(\omega)$ (где $a>0$)

это вообще чепуха: такая функция, вообще говоря, не определена на $\mathbb{R}$ при $a=1/2$, и очень многих $\psi_1$

Хорошо, при $a=1,2,3,4...$ и очень многих бесконечно гладких $\psi_1$. Подходит? В любом случае неудачность моего примера никак не делает ваше утверждение очевидным. Да и верно ли оно вообще? Кстати, я Вас просил не критиковать то, что написал я, а подробнее написать про то как Вы "легко соображили" когда писали то, что мне было и осталось непонятным. Мне показалось или вы предпочли уклониться от ответа? Напишите пожалуйста какие функционалы Вы рассматриваете и каким образом пришли к легкосоображаемому выводу.

Oleg Zubelevich в сообщении #520083 писал(а):

это потому, что Вы не знаете стандартных фвктов:

Если $\cap_{i=1}^n\ker f_i\subseteq \ker f$ то $f=\sum_{i=1}^nc_if_i$

Не могли бы пояснить, что такое $f_i$ и $n$ в этом стандартном факте? В каком пространстве рассматривается этот факт?

Oleg Zubelevich в сообщении #520083 писал(а):

profrotter в сообщении #520036 писал(а):

Достаточно взять обратное преобразование Фурье и убедиться, что получена фундаментальная система решений исходного однородного дифференциального уравнения,

ага, а потом еще доказать, что эта система действительна фундаментальна в $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ т.е. что в $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ нет других решений .

Чего ж там доказывать, когда решение однородного дифференциального уравнения второго порядка будет записано в виде линейной комбинации из двух линейно-независимых функций? Мне думалось, что в теории дифференциальных уравнений это доказано.

[Oleg Zubelevich]

profrotter в сообщении #520101 писал(а):

Думаете что-нибудь изменится, если вместо $K$ написать $S$? Что конкретно изменится?

Ну не понимаете Вы, а я не собираюсь тут Вам страницы из учебников переписывать. Преобразование Фурье не определено на $K'$ в обозначениях Колмогорова-Фомина.

profrotter в сообщении #520101 писал(а):

Кстати, я Вас просил не критиковать то, что написал я, а подробнее написать про то как Вы "легко соображили" когда писали то, что мне было и осталось непонятным. Мне показалось или вы предпочли уклониться от ответа?

Не смешите.
Если $\psi(\pm\omega_0)=0$ и $\psi\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$ то $\frac{\psi(\omega)}{\omega^2-\omega_0^2}\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ И теперь непонятно? Про формулу Тейлора слыхали?

profrotter в сообщении #520101 писал(а):

Если $\cap_{i=1}^n\ker f_i\subseteq \ker f$ то $f=\sum_{i=1}^nc_if_i$
Не могли бы пояснить, что такое $f_i$ и $n$ в этом стандартном факте? В каком пространстве рассматривается этот факт?

$f_1,\ldots f_n,f:L\to \mathbb{R}$ -- любые линейные функционалы на любом линейном пространстве $L$ над $\mathbb{R}$.

-- Пн дек 26, 2011 17:14:16 --

profrotter в сообщении #520101 писал(а):

Чего ж там доказывать, когда решение однородного дифференциального уравнения второго порядка будет записано в виде линейной комбинации из двух линейно-независимых функций? Мне думалось, что в теории дифференциальных уравнений это доказано.

мы решаем диф. уравнение в пространстве обобщенных функций. Из стандартных курсов ОДУ здесь ничего не следует.

[profrotter]

Oleg Zubelevich в сообщении #520116 писал(а):

Ну не понимаете Вы, а я не собираюсь тут Вам страницы из учебников переписывать. Преобразование Фурье не определено на $K'$ в обозначениях Колмогорова-Фомина.

Я писал про пространство $K$ основных функций. И Колмогров Фомин (у меня сейчас издание от 1976 года) на стр. 454 пишут: "Мы определили преобразование Фурье для обобщённых функций над $S_{\infty}$. Но можно было взять и любое другое основное пространство, например пространство $K$ бесконечно дифференцируемых финитных функций." Далее на стр. 455 даётся собственно определение.

Oleg Zubelevich в сообщении #520116 писал(а):

profrotter в сообщении #520101 писал(а):

Кстати, я Вас просил не критиковать то, что написал я, а подробнее написать про то как Вы "легко соображили" когда писали то, что мне было и осталось непонятным. Мне показалось или вы предпочли уклониться от ответа?

Не смешите.
Если $\psi(\pm\omega_0)=0$ и $\psi\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$ то $\frac{\psi(\omega)}{\omega^2-\omega_0^2}\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ И теперь непонятно? Про формулу Тейлора слыхали?

Позвольте, но я нисколько не сомневался в том, что $\psi(\pm\omega_0)=0$ и $\psi\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$ то $\frac{\psi(\omega)}{\omega^2-\omega_0^2}\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$. Я сомневался в том, что

Oleg Zubelevich в сообщении #518959 писал(а):

легко сообразить, что $\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}=\{(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$

и просил Вас пояснить как вы пришли к такому выводу? Я привёл аккуратные выкладки и получил иное:

profrotter в сообщении #520036 писал(а):

Легко догадаться, что

$$\operatorname{ker}\Delta_{-\omega_0}\cap \operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0}=\{ \psi|\psi(\pm\omega_0)=0; \psi \in K \}$$

откуда легко сообразить, что

$$\{ (\omega^2-\omega_0^2)\psi_1(\omega)| \psi_1 \in K \} \subset \operatorname{ker}\Delta_{-\omega_0}\cap \operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0},$$

но

$$\operatorname{ker}\Delta_{-\omega_0}\cap \operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0}\neq \{ (\omega^2-\omega_0^2)\psi_1(\omega)| \psi_1 \in K \}.$$

Oleg Zubelevich в сообщении #520116 писал(а):

$f_1,\ldots f_n,f:L\to \mathbb{R}$ -- любые линейные функционалы на любом линейном пространстве $L$ над $\mathbb{R}$.

Не могли бы указать на источник известного факта? Вы так и не указали, что такое $n$. Если "факт" работает при любом $n$, то:

$$\operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0} \subseteq \operatorname{ker}\hat{X} \Rightarrow \hat{x}=C_1 \delta(\omega - \omega_0)$$

$$\operatorname{ker}\Delta_{-\omega_0} \subseteq \operatorname{ker}\hat{X} \Rightarrow \hat{x}=C_2 \delta(\omega + \omega_0)$$

$$\operatorname{ker}\Delta_{-\omega_0} \cap \operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0} \subseteq \operatorname{ker}\hat{X} \Rightarrow \hat{x}=C_1 \delta(\omega - \omega_0)+C_2 \delta(\omega + \omega_0),$$

где

$$\hat{X}(\psi)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\hat{x}(\omega)(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)d\omega$$

$$\Delta_{+\omega_0}(\psi)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-\omega_0)(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)d\omega$$

$$\Delta_{-\omega_0}(\psi)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(\omega+\omega_0)(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)d\omega$$

Чему же тогда равен $\hat{x}$?

[Oleg Zubelevich]

profrotter в сообщении #520303 писал(а):

Я писал про пространство $K$ основных функций. И Колмогров Фомин (у меня сейчас издание от 1976 года) на стр. 454 пишут: "Мы определили преобразование Фурье для обобщённых функций над $S_{\infty}$. Но можно было взять и любое другое основное пространство, например пространство $K$ бесконечно дифференцируемых финитных функций." Далее на стр. 455 даётся собственно определение.

Правильно, Вы действуете преобразованием Фурье на элемент из $K'$ и получаете элемент из $Z'$ , вообще говоря, а не из $K'$. А потом надо будет еще в обратную сторону преобразовывать -- куда попадем a priori непонятно, нужны дополнительные рассуждения. А на $S'$ все и так ясно, Фурье это изоморфизм $S'$.

profrotter в сообщении #520303 писал(а):

Позвольте, но я нисколько не сомневался в том, что $\psi(\pm\omega_0)=0$ и $\psi\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$ то $\frac{\psi(\omega)}{\omega^2-\omega_0^2}\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$. Я сомневался в том, что
Oleg Zubelevich в сообщении #518959 писал(а):
легко сообразить, что $\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}=\{(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$
и просил Вас пояснить как вы пришли к такому выводу?

Пусть $f\in \ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}$ т.е. $f(\pm\omega_0)=0$ следовательно
$\frac{f(\omega)}{\omega^2-\omega_0^2}\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ т.е. $\frac{f(\omega)}{\omega^2-\omega_0^2}=\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$
и $f(\omega)=(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)$ т.е. $f\in\{(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$ . Таким образом доказано включение
$\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}\subseteq\{(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$ до обратного включения Вы там вроде сами догадались

profrotter в сообщении #520303 писал(а):

Не могли бы указать на источник известного факта? Вы так и не указали, что такое $n$. Если "факт"

Колмогоров Фомин стр 128 (1976):

а то, что у Вас там ниже написано сами проверяйте, если видите противоречия

[espe]

Quantenmechaniker в сообщении #518802 писал(а):

Берём простой пример: $\ddot x + ax = 0$
Преобразуем. Получаем: $-\omega^2\hat x+\omega_0^2\hat x = 0\Rightarrow \hat x = \frac{0}{\omega_0^2-\omega^2}$
Видно, что для $\omega = \pm\omega_0$ мы делим ноль на ноль. Что делать дальше, я не знаю. Применить теорему о вычетах и попытаться показать, что $\hat x$ что-то вроде линейной комбинации двух дельта-функций? Не получилось.

Собственно, вопрос: что я делаю не так?

Не претендуя на математическую строгость скажу, что в физике используется следующий "стандартный приём".
Если у вас есть уравнение на какую-то функцию $f(x)$ и уравнение на неё имеет вид $xf(x)=0$, то (общее) решение имеет вид $f(x)=\operatorname{const} \delta(x)$.

Применительно к Вашему случаю имеем $(\omega^2-\omega_0^2)\hat{x}(\omega)=0\quad\Rightarrow\quad\hat{x}(\omega)=\operatorname{const} \delta(\omega^2-\omega_0^2)$. И дальше раскладываете дельта-функцию в сумму.

[espe]

Извиняюсь, немного не то написал. Пусть искомая функция $F(x)$ и уравнение на неё имеет вид $g(x)F(x)=0$. Тогда общее решение будет $F(x)=f(x)\delta(g(x))$, $f(x)$ --- произвольная функция.
В рассматриваемом примере общее решение соответственно будет $\hat{x}(\omega)=f(\omega)\delta(\omega^2-\omega_0^2)$, $f(\omega)$ --- произвольная функция.

[profrotter]

Oleg Zubelevich в сообщении #520428 писал(а):

Правильно, Вы действуете преобразованием Фурье на элемент из $K'$ и получаете элемент из $Z'$ , вообще говоря, а не из $K'$. А потом надо будет еще в обратную сторону преобразовывать -- куда попадем a priori непонятно, нужны дополнительные рассуждения. А на $S'$ все и так ясно, Фурье это изоморфизм $S'$.

Собственно для тех рассуждений, которые проводил я, всё это было не существенно. Я пытался отвлечься от ситуации, когда у нас преобразование Фурье. Уговорили - будем писать $S$. На суть это никак не влияет, ибо в рассуждениях с керами-херами мы никак не использовали особенности и свойства пространства основных функций.

Oleg Zubelevich в сообщении #520428 писал(а):

Пусть $f\in \ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}$ т.е. $f(\pm\omega_0)=0$ следовательно$\frac{f(\omega)}{\omega^2-\omega_0^2}\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ т.е. $\frac{f(\omega)}{\omega^2-\omega_0^2}=\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$
и $f(\omega)=(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)$ т.е. $f\in\{(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$ . Таким образом доказано включение
$\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}\subseteq\{(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$ до обратного включения Вы там вроде сами догадались

Почему из $f(\pm\omega_0)=0$ следует, что $\frac{f(\omega)}{\omega^2-\omega_0^2}\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$?

Вот я повторяю Ваше доказательство:

Пусть $f\in \ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}$ т.е. $f(\pm\omega_0)=0$ следовательно$\frac{f(\omega)}{\omega^4-\omega_0^4}\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ т.е. $\frac{f(\omega)}{\omega^4-\omega_0^4}=\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$
и $f(\omega)=(\omega^4-\omega_0^4)\psi(\omega)$ т.е. $f\in\{(\omega^4-\omega_0^4)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$ . Таким образом доказано включение
$\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}\subseteq\{(\omega^4-\omega_0^4)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$

Скажите, что я делаю неправильно?

Oleg Zubelevich в сообщении #520428 писал(а):

Колмогоров Фомин стр 128 (1976):

а то, что у Вас там ниже написано сами проверяйте, если видите противоречия

Вижу противоречие. Рассмотрим случай $n=1$, тогда факт означает, что если из $f_1(x)=0$ вытекает, что $f(x)=0$, то существует такая постоянная $a_1$, что $f(x)=a_1f_1(x)$. Однако, условие $f_1(x)=0 \Rightarrow f(x)=0$ вовсе не исключает, что $\exists x_1|f(x_1)=0 \wedge f_1(x_1)\neq 0$. Тогда получаем, что с одной стороны $f(x_1)=0$, а с другой $f(x_1)=a_1f_1(x_1) \neq 0$. Поэтому имею предположение, что "известный факт" следует формулировать следующим образом:

$$\bigcap\limits_{i=1}^{n}\operatorname{ker}f_i=\operatorname{ker}f \Rightarrow \exists C_i,i=1,...,n|f(x)=\sum\limits_{i=1}^{n}C_if_i(x).$$

Только предположение, ибо доказывать его времени и желания сейчас не имею, а источник с доказательством не видел. По крайней мере в такой формулировке для $n=1$ получается, как и должно, пропорциональность функционалов с одинаковыми ядрами.

[Oleg Zubelevich]

profrotter в сообщении #520478 писал(а):

Почему из $f(\pm\omega_0)=0$ следует, что $\frac{f(\omega)}{\omega^2-\omega_0^2}\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$?

А Вы вроде с этим соглашались
Из того, что $f(\omega_0)=0,\quad f \in\mathcal{S}(\mathbb{R})$ следует, что $f(\omega)=(\omega-\omega_0)\psi_1(\omega)$, где $\psi_1\in\mathcal{S}(\mathbb{R}).$ Это Вам остается в качестве упражнения, на формулу Тейлора, например.
Далее, поскольку еще имеем $f(-\omega_0)=0$ то можно написать еще формулу такую: $f(\omega)=(\omega+\omega_0)\psi_2(\omega)$, где $\psi_2\in\mathcal{S}(\mathbb{R}).$
Пусть $\omega_0>0$ для определенности.
Выберем числа $a,b$ так, что $-\omega_0<a<b<\omega_0$ и рассмотрим покрытие $\mathbb{R}$ интервалами
$(-\infty,b),\quad (a,\infty)$. Пусть соответственно $\tau_1(\omega) $ и $\tau_2(\omega)$ -- гладкое разложение единицы подчиненное этому покрытию (открываем учебник анализа).
Тогда

$$f(\omega)=(\omega+\omega_0)(\omega-\omega_0)\Big(\frac{1}{\omega-\omega_0}\tau_1(\omega)\psi_2(\omega)+\frac{1}{\omega+\omega_0}\tau_2(\omega)\psi_1(\omega)\Big)$$

profrotter в сообщении #520478 писал(а):

Пусть $f\in \ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}$ т.е. $f(\pm\omega_0)=0$ следовательно$\frac{f(\omega)}{\omega^4-\omega_0^4}\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ т.е. $\frac{f(\omega)}{\omega^4-\omega_0^4}=\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$
и $f(\omega)=(\omega^4-\omega_0^4)\psi(\omega)$ т.е. $f\in\{(\omega^4-\omega_0^4)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$ . Таким образом доказано включение
$\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}\subseteq\{(\omega^4-\omega_0^4)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$

Скажите, что я делаю неправильно?

все правильно, просто множество$\{(\omega^4-\omega_0^4)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$ и множество $\{(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$ это одно и тоже множество

profrotter в сообщении #520478 писал(а):

Рассмотрим случай $n=1$, тогда факт означает, что если из $f_1(x)=0$ вытекает, что $f(x)=0$

Все правильно, если $f_1$ равен нулю, то его ядро -- это все пространство, и если это ядро принадлежит ядру $f$ то значит $f$ обращается в 0 на всем пространстве. Читайте внимательно, разбирайтесь.

[Oleg Zubelevich]

profrotter в сообщении #520478 писал(а):

Рассмотрим случай $n=1$, тогда факт означает, что если из $f_1(x)=0$ вытекает, что $f(x)=0$, то существует такая постоянная $a_1$, что $f(x)=a_1f_1(x)$. Однако, условие $f_1(x)=0 \Rightarrow f(x)=0$ вовсе не исключает, что $\exists x_1|f(x_1)=0 \wedge f_1(x_1)\neq 0$

а, я просто сначала не понял вопрос. Ну здесь тоже нет противоречия. Если $f_1(x)=0 \Rightarrow f(x)=0$ и $\exists x_1|f(x_1)=0 \wedge f_1(x_1)\neq 0$ то это просто означает, что $f=c_1f_1$ где $c_1=0$