2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Дифференциальные уравнения и преобразование Фурье
Сообщение23.12.2011, 22:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Oleg Zubelevich в сообщении #518959 писал(а):
Ну я это несколько иначе понимаю
легко сообразить, что $\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}=\{(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$

Действительно, это легко сообразить. Дальше уже, в принципе, ничего писать и не надо.

-- Пт дек 23, 2011 23:22:11 --

Oleg Zubelevich в сообщении #518959 писал(а):

Хорхе в сообщении #518912 писал(а):
евые, то производные дельта-функции не подойдут: $\langle \delta'_{\omega_0}p, f\rangle = \langle \delta'_{\omega_0}, pf\rangle = -\langle \delta_{\omega_0}, (pf)'\rangle = -p'(\omega_0)f(0)$.
То есть ответ $\hat x = a_+ \delta_{\omega_0} + a_-\delta_{-\omega_0}$.

тогда наверное надо и вторые производные проверять и еще непойми что

Да там точно так же так же для любых производных доказывается:
$\langle \delta(k)_{\omega_0}p, f\rangle = (-1)^k\langle \delta_{\omega_0}, (pf)^{(k)}\rangle = (-1)^kk p'(\omega_0)f^{(k-1)}(\omega_0)$

Но Ваш способ проще, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные уравнения и преобразование Фурье
Сообщение24.12.2011, 22:11 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
Итак, великие математики посовещались и сошлись на том, что тут легко сообразить и всё очевидно. :mrgreen: В связи с чем у меня вопрос к автору темы: скажите, вы что - нибудь поняли из изложенного? Интересна ли вам литература по обобщённым функциям или, быть может, требуется более подробное объяснение того, что "легко сообразить" и "очевидно"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные уравнения и преобразование Фурье
Сообщение25.12.2011, 16:53 


22/12/11
3
Спасибо всем за ответы.

Я, если честно, не понял даже шаг с пересечением ядер. В самом деле, слева от знака равенства стоит $\operatorname{ker}\delta_{\omega_0}\cap\operatorname{ker}\delta_{-\omega_0}\subset\mathbb R$, а справа некое множество $V\subseteq\mathcal{S}(\mathbb{R})$. Так как же они равны? Или я ошибаюсь и имеется в виду ядро линейного функционала над $\mathcal{S}(\mathbb{R})$?

За литературу, разумеется, буду благодарен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные уравнения и преобразование Фурье
Сообщение25.12.2011, 23:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Quantenmechaniker в сообщении #519691 писал(а):
имеется в виду ядро линейного функционала над $\mathcal{S}(\mathbb{R})$?

Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные уравнения и преобразование Фурье
Сообщение26.12.2011, 13:52 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
Oleg Zubelevich в сообщении #518959 писал(а):
легко сообразить, что $\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}=\{(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$
соответственно $((\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega),\hat x)=(\psi,(\omega^2-\omega_0^2)\hat x)=0$ последнее равенство -- в силу уравнения, откуда следует $\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}\subseteq\ker \hat x$ и соответственно $\hat x=c_1\delta_{\omega_0}+c_2\delta_{-\omega_0}$
Мне тоже не совсем понятно, о чём идёт речь и я пробую разобраться, слегка изменив неудачные на мой взгляд обозначения. Рассматриваются две обобщённые функции (линейные функционалы) на пространстве основных функций $K$ над $\mathbb{R}$: $$\Delta_{-\omega_0}(\psi)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(\omega - \omega_0)\psi(\omega)d\omega=\psi(\omega_0)$$ $$\Delta_{+\omega_0}(\psi)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(\omega + \omega_0)\psi(\omega)d\omega = \psi(-\omega_0),$$ где $\psi \in K$.
Ядро линейного функционала представляет собою множество всех функций из $K$, которые обращают функционал в нуль, то есть: $$\operatorname{ker}\Delta_{-\omega_0}=\{ \psi|\psi(\omega_0)=0; \psi \in K \}$$ $$\operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0}=\{ \psi|\psi(-\omega_0)=0; \psi \in K \}.$$ Легко догадаться, что $$\operatorname{ker}\Delta_{-\omega_0}\cap \operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0}=\{ \psi|\psi(\pm\omega_0)=0; \psi \in K \}$$ откуда легко сообразить, что $$\{ (\omega^2-\omega_0^2)\psi_1(\omega)| \psi_1 \in K \} \subset \operatorname{ker}\Delta_{-\omega_0}\cap \operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0},$$ но $$\operatorname{ker}\Delta_{-\omega_0}\cap \operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0}\neq \{ (\omega^2-\omega_0^2)\psi_1(\omega)| \psi_1 \in K \}.$$ Иными словами $\operatorname{ker}\Delta_{-\omega_0}\cap \operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0}$ - это все основные функции, которые обращаются в нуль в точках $\pm \omega_0$, некоторые из них имеют вид $(\omega^2-\omega_0^2)\psi_1(\omega)$, но не все - например $(\omega^2-\omega_0^2)^a\psi_1(\omega)$ (где $a>0$) тоже входит в $\operatorname{ker}\Delta_{-\omega_0}\cap \operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0}$. Поэтому мне непонятно с какого потолка взялось вот это вот легкосоображение:
Oleg Zubelevich в сообщении #518959 писал(а):
легко сообразить, что $\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}=\{(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$
Очень прошу тех, кому легко сообразить и догадаться пояснить подрбнее.
Идём дальше.
Oleg Zubelevich в сообщении #518959 писал(а):
$\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}\subseteq\ker \hat x$ и соответственно $\hat x=c_1\delta_{\omega_0}+c_2\delta_{-\omega_0}$
Смысл этой записи в том, что непосредственной подстановкой можно убедиться в том, что $\hat{x} = C_1\delta(\omega - \omega_0)+C_2\delta(\omega+\omega_0)$ является решением (что я тоже сделал в сообщении #518875). Однако, это ни коим образом не решает проблему, справедливо поставленную Хорхе: записав решение уравнения в указанном виде мы должны ещё доказать, что уравнение не имеет других решений, точнее таких решений, которые не представляются в виде линейной комбинации только функций $\delta(\omega - \omega_0)$ и $\delta(\omega+\omega_0)$. Я думаю с этим доказательством не стоит себя напрасно утруждать. Достаточно взять обратное преобразование Фурье и убедиться, что получена фундаментальная система решений исходного однородного дифференциального уравнения, то есть решение представляет собою суперпозицию двух (по порядку уравнения) линейно-независимых функций. Впрочем, конкретно в нашей задаче, можно даже и не брать обратное преобразование Фурье, а учесть, что в виду его линейности и однозначности достаточно найти Фурье - образ решения в виде суперпозиции двух линейно-независимых функций.

Из литературы, на мой взгляд, на вполне человеческом языке написана книга Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. - М.: Наука, 1965г. Там же посмотрите и список литературы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные уравнения и преобразование Фурье
Сообщение26.12.2011, 15:52 


10/02/11
6786
profrotter в сообщении #520036 писал(а):
а пространстве основных функций $K$

что такое $K$? преобразование Фурье стандартно рассматривается на $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ т.е. пространство основных функций это
$\mathcal{S}(\mathbb{R})$ -- учите мат.часть
profrotter в сообщении #520036 писал(а):
пример $(\omega^2-\omega_0^2)^a\psi_1(\omega)$ (где $a>0$)

это вообще чепуха: такая функция, вообще говоря, не определена на $\mathbb{R}$ при $a=1/2$, и очень многих $\psi_1$
profrotter в сообщении #520036 писал(а):
Идём дальше.
Oleg Zubelevich в сообщении #518959 писал(а):
$\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}\subseteq\ker \hat x$ и соответственно $\hat x=c_1\delta_{\omega_0}+c_2\delta_{-\omega_0}$
Смысл этой записи в том, что непосредственной подстановкой можно убедиться в том, что $\hat{x} = C_1\delta(\omega - \omega_0)+C_2\delta(\omega+\omega_0)$


это потому, что Вы не знаете стандартных фвктов:

Если $\cap_{i=1}^n\ker f_i\subseteq \ker f$ то $f=\sum_{i=1}^nc_if_i$



-- Пн дек 26, 2011 15:38:32 --

profrotter в сообщении #520036 писал(а):
Достаточно взять обратное преобразование Фурье и убедиться, что получена фундаментальная система решений исходного однородного дифференциального уравнения,

ага, а потом еще доказать, что эта система действительна фундаментальна в $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ т.е. что в $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ нет других решений .

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные уравнения и преобразование Фурье
Сообщение26.12.2011, 16:45 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
Oleg Zubelevich в сообщении #520083 писал(а):
profrotter в сообщении #520036 писал(а):
а пространстве основных функций $K$

что такое $K$? преобразование Фурье стандартно рассматривается на $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ т.е. пространство основных функций это
$\mathcal{S}(\mathbb{R})$ -- учите мат.часть
Думаете что-нибудь изменится, если вместо $K$ написать $S$? Что конкретно изменится? Разве я не ясно написал, что $K$ обозначил пространство основных функций? Обозначение взято из Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004, глава IV, параграф 4, п.2, стр.219. Такое же обозначение для пространства основных функций использовано в книге Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. - М.: Наука, 1965, глава 1, параграф 2, стр.12.
Oleg Zubelevich в сообщении #520083 писал(а):
profrotter в сообщении #520036 писал(а):
пример $(\omega^2-\omega_0^2)^a\psi_1(\omega)$ (где $a>0$)

это вообще чепуха: такая функция, вообще говоря, не определена на $\mathbb{R}$ при $a=1/2$, и очень многих $\psi_1$
Хорошо, при $a=1,2,3,4...$ и очень многих бесконечно гладких $\psi_1$. Подходит? В любом случае неудачность моего примера никак не делает ваше утверждение очевидным. Да и верно ли оно вообще? Кстати, я Вас просил не критиковать то, что написал я, а подробнее написать про то как Вы "легко соображили" когда писали то, что мне было и осталось непонятным. Мне показалось или вы предпочли уклониться от ответа? Напишите пожалуйста какие функционалы Вы рассматриваете и каким образом пришли к легкосоображаемому выводу.
Oleg Zubelevich в сообщении #520083 писал(а):
это потому, что Вы не знаете стандартных фвктов:

Если $\cap_{i=1}^n\ker f_i\subseteq \ker f$ то $f=\sum_{i=1}^nc_if_i$
Не могли бы пояснить, что такое $f_i$ и $n$ в этом стандартном факте? В каком пространстве рассматривается этот факт?
Oleg Zubelevich в сообщении #520083 писал(а):
profrotter в сообщении #520036 писал(а):
Достаточно взять обратное преобразование Фурье и убедиться, что получена фундаментальная система решений исходного однородного дифференциального уравнения,

ага, а потом еще доказать, что эта система действительна фундаментальна в $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ т.е. что в $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ нет других решений .
Чего ж там доказывать, когда решение однородного дифференциального уравнения второго порядка будет записано в виде линейной комбинации из двух линейно-независимых функций? Мне думалось, что в теории дифференциальных уравнений это доказано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные уравнения и преобразование Фурье
Сообщение26.12.2011, 17:08 


10/02/11
6786
profrotter в сообщении #520101 писал(а):
Думаете что-нибудь изменится, если вместо $K$ написать $S$? Что конкретно изменится?

Ну не понимаете Вы, а я не собираюсь тут Вам страницы из учебников переписывать. Преобразование Фурье не определено на $K'$ в обозначениях Колмогорова-Фомина.
profrotter в сообщении #520101 писал(а):
Кстати, я Вас просил не критиковать то, что написал я, а подробнее написать про то как Вы "легко соображили" когда писали то, что мне было и осталось непонятным. Мне показалось или вы предпочли уклониться от ответа?


Не смешите.
Если $\psi(\pm\omega_0)=0$ и $\psi\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$ то $\frac{\psi(\omega)}{\omega^2-\omega_0^2}\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ И теперь непонятно? Про формулу Тейлора слыхали?

profrotter в сообщении #520101 писал(а):

Если $\cap_{i=1}^n\ker f_i\subseteq \ker f$ то $f=\sum_{i=1}^nc_if_i$
Не могли бы пояснить, что такое $f_i$ и $n$ в этом стандартном факте? В каком пространстве рассматривается этот факт?



$f_1,\ldots f_n,f:L\to \mathbb{R}$ -- любые линейные функционалы на любом линейном пространстве $L$ над $\mathbb{R}$.

-- Пн дек 26, 2011 17:14:16 --

profrotter в сообщении #520101 писал(а):
Чего ж там доказывать, когда решение однородного дифференциального уравнения второго порядка будет записано в виде линейной комбинации из двух линейно-независимых функций? Мне думалось, что в теории дифференциальных уравнений это доказано.

мы решаем диф. уравнение в пространстве обобщенных функций. Из стандартных курсов ОДУ здесь ничего не следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные уравнения и преобразование Фурье
Сообщение26.12.2011, 22:14 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
Oleg Zubelevich в сообщении #520116 писал(а):
Ну не понимаете Вы, а я не собираюсь тут Вам страницы из учебников переписывать. Преобразование Фурье не определено на $K'$ в обозначениях Колмогорова-Фомина.
Я писал про пространство $K$ основных функций. И Колмогров Фомин (у меня сейчас издание от 1976 года) на стр. 454 пишут: "Мы определили преобразование Фурье для обобщённых функций над $S_{\infty}$. Но можно было взять и любое другое основное пространство, например пространство $K$ бесконечно дифференцируемых финитных функций." Далее на стр. 455 даётся собственно определение.
Oleg Zubelevich в сообщении #520116 писал(а):
profrotter в сообщении #520101 писал(а):
Кстати, я Вас просил не критиковать то, что написал я, а подробнее написать про то как Вы "легко соображили" когда писали то, что мне было и осталось непонятным. Мне показалось или вы предпочли уклониться от ответа?

Не смешите.
Если $\psi(\pm\omega_0)=0$ и $\psi\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$ то $\frac{\psi(\omega)}{\omega^2-\omega_0^2}\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ И теперь непонятно? Про формулу Тейлора слыхали?
Позвольте, но я нисколько не сомневался в том, что $\psi(\pm\omega_0)=0$ и $\psi\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$ то $\frac{\psi(\omega)}{\omega^2-\omega_0^2}\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$. Я сомневался в том, что
Oleg Zubelevich в сообщении #518959 писал(а):
легко сообразить, что $\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}=\{(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$
и просил Вас пояснить как вы пришли к такому выводу? Я привёл аккуратные выкладки и получил иное:
profrotter в сообщении #520036 писал(а):
Легко догадаться, что $$\operatorname{ker}\Delta_{-\omega_0}\cap \operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0}=\{ \psi|\psi(\pm\omega_0)=0; \psi \in K \}$$ откуда легко сообразить, что $$\{ (\omega^2-\omega_0^2)\psi_1(\omega)| \psi_1 \in K \} \subset \operatorname{ker}\Delta_{-\omega_0}\cap \operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0},$$ но $$\operatorname{ker}\Delta_{-\omega_0}\cap \operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0}\neq \{ (\omega^2-\omega_0^2)\psi_1(\omega)| \psi_1 \in K \}.$$

Oleg Zubelevich в сообщении #520116 писал(а):
$f_1,\ldots f_n,f:L\to \mathbb{R}$ -- любые линейные функционалы на любом линейном пространстве $L$ над $\mathbb{R}$.
Не могли бы указать на источник известного факта? Вы так и не указали, что такое $n$. Если "факт" работает при любом $n$, то: $$\operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0} \subseteq \operatorname{ker}\hat{X} \Rightarrow \hat{x}=C_1 \delta(\omega - \omega_0)$$ $$\operatorname{ker}\Delta_{-\omega_0} \subseteq \operatorname{ker}\hat{X} \Rightarrow \hat{x}=C_2 \delta(\omega + \omega_0)$$ $$\operatorname{ker}\Delta_{-\omega_0} \cap \operatorname{ker}\Delta_{+\omega_0} \subseteq \operatorname{ker}\hat{X} \Rightarrow \hat{x}=C_1 \delta(\omega - \omega_0)+C_2 \delta(\omega + \omega_0),$$
где $$\hat{X}(\psi)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\hat{x}(\omega)(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)d\omega$$ $$\Delta_{+\omega_0}(\psi)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-\omega_0)(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)d\omega$$ $$\Delta_{-\omega_0}(\psi)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(\omega+\omega_0)(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)d\omega$$
Чему же тогда равен $\hat{x}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные уравнения и преобразование Фурье
Сообщение27.12.2011, 10:24 


10/02/11
6786
profrotter в сообщении #520303 писал(а):
Я писал про пространство $K$ основных функций. И Колмогров Фомин (у меня сейчас издание от 1976 года) на стр. 454 пишут: "Мы определили преобразование Фурье для обобщённых функций над $S_{\infty}$. Но можно было взять и любое другое основное пространство, например пространство $K$ бесконечно дифференцируемых финитных функций." Далее на стр. 455 даётся собственно определение.

Правильно, Вы действуете преобразованием Фурье на элемент из $K'$ и получаете элемент из $Z'$ , вообще говоря, а не из $K'$. А потом надо будет еще в обратную сторону преобразовывать -- куда попадем a priori непонятно, нужны дополнительные рассуждения. А на $S'$ все и так ясно, Фурье это изоморфизм $S'$.
profrotter в сообщении #520303 писал(а):
Позвольте, но я нисколько не сомневался в том, что $\psi(\pm\omega_0)=0$ и $\psi\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$ то $\frac{\psi(\omega)}{\omega^2-\omega_0^2}\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$. Я сомневался в том, что
Oleg Zubelevich в сообщении #518959 писал(а):
легко сообразить, что $\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}=\{(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$
и просил Вас пояснить как вы пришли к такому выводу?


Пусть $f\in \ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}$ т.е. $f(\pm\omega_0)=0$ следовательно
$\frac{f(\omega)}{\omega^2-\omega_0^2}\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ т.е. $\frac{f(\omega)}{\omega^2-\omega_0^2}=\psi(\omega)\in  \mathcal{S}(\mathbb{R})$
и $f(\omega)=(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)$ т.е. $f\in\{(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$ . Таким образом доказано включение
$\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}\subseteq\{(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$ до обратного включения Вы там вроде сами догадались
profrotter в сообщении #520303 писал(а):
Не могли бы указать на источник известного факта? Вы так и не указали, что такое $n$. Если "факт"


Колмогоров Фомин стр 128 (1976):
Изображение
а то, что у Вас там ниже написано сами проверяйте, если видите противоречия

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные уравнения и преобразование Фурье
Сообщение27.12.2011, 11:20 
Заслуженный участник


25/01/11
416
Урюпинск
Quantenmechaniker в сообщении #518802 писал(а):
Берём простой пример: $\ddot x + ax = 0$
Преобразуем. Получаем: $-\omega^2\hat x+\omega_0^2\hat x = 0\Rightarrow \hat x = \frac{0}{\omega_0^2-\omega^2}$
Видно, что для $\omega = \pm\omega_0$ мы делим ноль на ноль. Что делать дальше, я не знаю. Применить теорему о вычетах и попытаться показать, что $\hat x$ что-то вроде линейной комбинации двух дельта-функций? Не получилось.

Собственно, вопрос: что я делаю не так?

Не претендуя на математическую строгость скажу, что в физике используется следующий "стандартный приём".
Если у вас есть уравнение на какую-то функцию $f(x)$ и уравнение на неё имеет вид $xf(x)=0$, то (общее) решение имеет вид $f(x)=\operatorname{const} \delta(x)$.

Применительно к Вашему случаю имеем $(\omega^2-\omega_0^2)\hat{x}(\omega)=0\quad\Rightarrow\quad\hat{x}(\omega)=\operatorname{const} \delta(\omega^2-\omega_0^2)$. И дальше раскладываете дельта-функцию в сумму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные уравнения и преобразование Фурье
Сообщение27.12.2011, 13:32 
Заслуженный участник


25/01/11
416
Урюпинск
Извиняюсь, немного не то написал. Пусть искомая функция $F(x)$ и уравнение на неё имеет вид $g(x)F(x)=0$. Тогда общее решение будет $F(x)=f(x)\delta(g(x))$, $f(x)$ --- произвольная функция.
В рассматриваемом примере общее решение соответственно будет $\hat{x}(\omega)=f(\omega)\delta(\omega^2-\omega_0^2)$, $f(\omega)$ --- произвольная функция.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные уравнения и преобразование Фурье
Сообщение27.12.2011, 13:55 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
Oleg Zubelevich в сообщении #520428 писал(а):
Правильно, Вы действуете преобразованием Фурье на элемент из $K'$ и получаете элемент из $Z'$ , вообще говоря, а не из $K'$. А потом надо будет еще в обратную сторону преобразовывать -- куда попадем a priori непонятно, нужны дополнительные рассуждения. А на $S'$ все и так ясно, Фурье это изоморфизм $S'$.
Собственно для тех рассуждений, которые проводил я, всё это было не существенно. Я пытался отвлечься от ситуации, когда у нас преобразование Фурье. Уговорили - будем писать $S$. На суть это никак не влияет, ибо в рассуждениях с керами-херами мы никак не использовали особенности и свойства пространства основных функций.
Oleg Zubelevich в сообщении #520428 писал(а):
Пусть $f\in \ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}$ т.е. $f(\pm\omega_0)=0$ следовательно$\frac{f(\omega)}{\omega^2-\omega_0^2}\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ т.е. $\frac{f(\omega)}{\omega^2-\omega_0^2}=\psi(\omega)\in  \mathcal{S}(\mathbb{R})$
и $f(\omega)=(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)$ т.е. $f\in\{(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$ . Таким образом доказано включение
$\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}\subseteq\{(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$ до обратного включения Вы там вроде сами догадались
Почему из $f(\pm\omega_0)=0$ следует, что $\frac{f(\omega)}{\omega^2-\omega_0^2}\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$?

Вот я повторяю Ваше доказательство:

Пусть $f\in \ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}$ т.е. $f(\pm\omega_0)=0$ следовательно$\frac{f(\omega)}{\omega^4-\omega_0^4}\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ т.е. $\frac{f(\omega)}{\omega^4-\omega_0^4}=\psi(\omega)\in  \mathcal{S}(\mathbb{R})$
и $f(\omega)=(\omega^4-\omega_0^4)\psi(\omega)$ т.е. $f\in\{(\omega^4-\omega_0^4)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$ . Таким образом доказано включение
$\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}\subseteq\{(\omega^4-\omega_0^4)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$

Скажите, что я делаю неправильно?

Oleg Zubelevich в сообщении #520428 писал(а):
Колмогоров Фомин стр 128 (1976):
Изображение
а то, что у Вас там ниже написано сами проверяйте, если видите противоречия
Вижу противоречие. Рассмотрим случай $n=1$, тогда факт означает, что если из $f_1(x)=0$ вытекает, что $f(x)=0$, то существует такая постоянная $a_1$, что $f(x)=a_1f_1(x)$. Однако, условие $f_1(x)=0 \Rightarrow f(x)=0$ вовсе не исключает, что $\exists x_1|f(x_1)=0 \wedge f_1(x_1)\neq 0$. Тогда получаем, что с одной стороны $f(x_1)=0$, а с другой $f(x_1)=a_1f_1(x_1) \neq 0$. Поэтому имею предположение, что "известный факт" следует формулировать следующим образом: $$\bigcap\limits_{i=1}^{n}\operatorname{ker}f_i=\operatorname{ker}f \Rightarrow \exists C_i,i=1,...,n|f(x)=\sum\limits_{i=1}^{n}C_if_i(x).$$ :!: Только предположение, ибо доказывать его времени и желания сейчас не имею, а источник с доказательством не видел. По крайней мере в такой формулировке для $n=1$ получается, как и должно, пропорциональность функционалов с одинаковыми ядрами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные уравнения и преобразование Фурье
Сообщение27.12.2011, 14:36 


10/02/11
6786
profrotter в сообщении #520478 писал(а):
Почему из $f(\pm\omega_0)=0$ следует, что $\frac{f(\omega)}{\omega^2-\omega_0^2}\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$?
А Вы вроде с этим соглашались :D
Из того, что $f(\omega_0)=0,\quad f \in\mathcal{S}(\mathbb{R})$ следует, что $f(\omega)=(\omega-\omega_0)\psi_1(\omega)$, где $\psi_1\in\mathcal{S}(\mathbb{R}).$ Это Вам остается в качестве упражнения, на формулу Тейлора, например.
Далее, поскольку еще имеем $f(-\omega_0)=0$ то можно написать еще формулу такую: $f(\omega)=(\omega+\omega_0)\psi_2(\omega)$, где $\psi_2\in\mathcal{S}(\mathbb{R}).$
Пусть $\omega_0>0$ для определенности.
Выберем числа $a,b$ так, что $-\omega_0<a<b<\omega_0$ и рассмотрим покрытие $\mathbb{R}$ интервалами
$(-\infty,b),\quad (a,\infty)$. Пусть соответственно $\tau_1(\omega) $ и $\tau_2(\omega)$ -- гладкое разложение единицы подчиненное этому покрытию (открываем учебник анализа).
Тогда
$$f(\omega)=(\omega+\omega_0)(\omega-\omega_0)\Big(\frac{1}{\omega-\omega_0}\tau_1(\omega)\psi_2(\omega)+\frac{1}{\omega+\omega_0}\tau_2(\omega)\psi_1(\omega)\Big)$$

profrotter в сообщении #520478 писал(а):
Пусть $f\in \ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}$ т.е. $f(\pm\omega_0)=0$ следовательно$\frac{f(\omega)}{\omega^4-\omega_0^4}\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ т.е. $\frac{f(\omega)}{\omega^4-\omega_0^4}=\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$
и $f(\omega)=(\omega^4-\omega_0^4)\psi(\omega)$ т.е. $f\in\{(\omega^4-\omega_0^4)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$ . Таким образом доказано включение
$\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}\subseteq\{(\omega^4-\omega_0^4)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$

Скажите, что я делаю неправильно?

все правильно, просто множество$\{(\omega^4-\omega_0^4)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$ и множество $\{(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$ это одно и тоже множество

profrotter в сообщении #520478 писал(а):
Рассмотрим случай $n=1$, тогда факт означает, что если из $f_1(x)=0$ вытекает, что $f(x)=0$

Все правильно, если $f_1$ равен нулю, то его ядро -- это все пространство, и если это ядро принадлежит ядру $f$ то значит $f$ обращается в 0 на всем пространстве. Читайте внимательно, разбирайтесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные уравнения и преобразование Фурье
Сообщение27.12.2011, 16:14 


10/02/11
6786
profrotter в сообщении #520478 писал(а):
Рассмотрим случай $n=1$, тогда факт означает, что если из $f_1(x)=0$ вытекает, что $f(x)=0$, то существует такая постоянная $a_1$, что $f(x)=a_1f_1(x)$. Однако, условие $f_1(x)=0 \Rightarrow f(x)=0$ вовсе не исключает, что $\exists x_1|f(x_1)=0 \wedge f_1(x_1)\neq 0$

а, я просто сначала не понял вопрос. Ну здесь тоже нет противоречия. Если $f_1(x)=0 \Rightarrow f(x)=0$ и $\exists x_1|f(x_1)=0 \wedge f_1(x_1)\neq 0$ то это просто означает, что $f=c_1f_1$ где $c_1=0$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 44 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group