Гравитация магнитного поля

[Утундрий]

epros
Если это вариации на тему задачи из ЛЛ2, где нужно найти уравнения геодезической в стационарном поле в трехмерных обозначениях, то изуродовали вы их мастерски. Заимствовано откуда или самостоятельное творчество?

[epros]

Изуродовал самостоятельно. Только это не задача на нахождение геодезической, а задача на нахождение плотности гравитационной энергии без использования какого бы то ни было определения псевдотензора.

[obar]

epros в сообщении #518275 писал(а):

Получается, что плотность массы сферически-симметричного статического гравитационного поля (а значит - и плотность энергии) пропорциональна квадрату ускорения свободного падения. Правда эта величина отрицательна...

И чем вы тут хвастаетесь? Тем, что получили отрицательную массу? Причем эта масса уменьшается с увеличением ускорения свободного падения. Думаю, в вашем определении массы физического смысла не больше, чем других подобных определениях.

epros в сообщении #518275 писал(а):

поэтому я и задумался о корректности примера Логунова

В таком случае, лучше найдите ошибку в его вычислениях, приведенных, например, в его книге "Лекции по теории относительности".

[epros]

obar в сообщении #518431 писал(а):

И чем вы тут хвастаетесь? Тем, что получили отрицательную массу? Причем эта масса уменьшается с увеличением ускорения свободного падения. Думаю, в вашем определении массы физического смысла не больше, чем других подобных определениях.

Чем тут хвастаться? Отрицательность энергии статического гравитационного поля очевидна и без всяких расчётов, из самых общих соображений. Как раз если бы её величина получилась положительной, это было бы поводом задуматься о том, где тут ошибка в расчётах.

obar в сообщении #518431 писал(а):

В таком случае, лучше найдите ошибку в его вычислениях, приведенных, например, в его книге "Лекции по теории относительности".

Ну, может как-нибудь и соберусь этим заняться. Но скорее всего ошибка где-то в определениях суперпотенциалов, использованных для расчёта. В ОТО очень легко забыть разницу между тензором и тензорной плотностью или где-нибудь пропустить множитель типа $\sqrt{- g_{r r}}$, а в итоге - совсем другой результат. Вот, скажем, в литературе полно примеров, когда считая, как в решении Шварцшильда скорость свободного падения тела зависит от расстояния, авторы получают, что на гравитационном радиусе она обращается в нуль. А весь фокус всего лишь в "специфическом" определении скорости. Определите скорость как предел отношения расстояния ко времени и получите совсем другой результат.

[Munin]

epros в сообщении #518275 писал(а):

Получается, что плотность массы сферически-симметричного статического гравитационного поля (а значит - и плотность энергии) пропорциональна квадрату ускорения свободного падения. Правда эта величина отрицательна...

Значит, где-то ошибка. Должна быть положительна.

epros в сообщении #518446 писал(а):

Отрицательность энергии статического гравитационного поля очевидна и без всяких расчётов, из самых общих соображений. Как раз если бы её величина получилась положительной, это было бы поводом задуматься о том, где тут ошибка в расчётах.

Изложите вашу логику. Как раз в полевой теории энергия должна быть положительно определена "очевидно и без всяких расчётов, из самых общих соображений". В частности, ОТО здесь расходится с теорией Ньютона (в которой функционал отрицателен, но ничего страшного в этом нет, потому что у поля нет степеней свободы).

[epros]

Munin в сообщении #518532 писал(а):

Значит, где-то ошибка. Должна быть положительна.

Вам лично должна?

Munin в сообщении #518532 писал(а):

Изложите вашу логику.

Спасибо за наконец-то конкретный вопрос. Если имеем сферически-симметричное тело массой $M_1$ и пыль массой $M_2$, распределенную где-то очень далеко ("почти на бесконечности"), то в окрестности тела поле определяется массой $M_1$, но общая масса системы $M_1 + M_2$. Теперь дождёмся, когда вся пыль упадёт на центральное тело. После этого поле в окрестности тела точно уж станет больше, а не меньше. При этом пыль в процессе падения приобретёт кинетическую энергию (которая потом перейдёт во внутреннюю энергию тела). Таким образом, если считать, что общая энергия системы (которая сохраняется) состоит из
1) суммы энергий тела и пыли и 2) из энергии гравитационного поля, то поскольку первая только возросла, то вторая должна уменьшиться. Получается, что поле в окрестности тела возросло (и это - единственное изменение, которое произошло с полем), однако его энергия уменьшилась. Стало быть чем сильнее поле, тем меньше его энергия. Этот вывод не требует привлечения никаких ОТО, т.е. он основан на самых общих представлениях о гравитационном поле.

[obar]

У вас в левой части уравнения стоит не гравитационная энергия, а плотность массы. Отрицательная. Или вы не отличаете эти величины?

[Munin]

epros в сообщении #518830 писал(а):

Вам лично должна?

Да какие у меня с ней личные счёты? В теории поля так считается, что если энергия положительно определена - всё хорошо, а если отрицательно - возмущения стараются вырасти.

epros в сообщении #518830 писал(а):

Таким образом, если считать, что общая энергия системы (которая сохраняется) состоит из1) суммы энергий тела и пыли и 2) из энергии гравитационного поля, то поскольку первая только возросла, то вторая должна уменьшиться. Получается, что поле в окрестности тела возросло (и это - единственное изменение, которое произошло с полем), однако его энергия уменьшилась. Стало быть чем сильнее поле, тем меньше его энергия.

Звучит толково.

Пока одна мысль: вы пользуетесь предположением, что энергия поля пыли на бесконечности была пренебрежимо мала, и в процессе никуда на бесконечность не уходила.

Вообще, надо посмотреть, как стандартный псевдотензор устроен... он очень хорош в полевом смысле, как аналог энергии электромагнитного поля, и вот он даёт энергию положительную.

[epros]

obar в сообщении #518836 писал(а):

У вас в левой части уравнения стоит не гравитационная энергия, а плотность массы. Отрицательная. Или вы не отличаете эти величины?

Различаю конечно. Энергия-импульс трёхмерного объёма ("псевдовектор") есть интеграл плотности энергии-импульса (псевдотензора) по соответствующей гиперповерхности. Элемент гиперповерхности ортогонален к направлению оси времени, так что этот интергал зависит только от компонент $t^{0 i}$ псевдотензора энергии-импульса. Из последних в силу статичности задачи отличен от нуля только $t^{0 0}$, который и представляет собой плотность энергии, она же с точностью до множителя $c^2$ - плотность массы.

Munin в сообщении #518845 писал(а):

В теории поля так считается, что если энергия положительно определена - всё хорошо, а если отрицательно - возмущения стараются вырасти.

Видать, не подходит эта теория для поля, одноимённые заряды которого притягиваются.

Munin в сообщении #518845 писал(а):

Пока одна мысль: вы пользуетесь предположением, что энергия поля пыли на бесконечности была пренебрежимо мала, и в процессе никуда на бесконечность не уходила.

Система изначально состоит из центрального тела + пыли + гравитационного поля. Да, можно считать, что суммарная масса всего этого конечна. Если при этом конечна масса центрального тела и конечна масса пыли, то у поля нет никаких оснований иметь бесконечную массу.

Munin в сообщении #518845 писал(а):

Вообще, надо посмотреть, как стандартный псевдотензор устроен... он очень хорош в полевом смысле, как аналог энергии электромагнитного поля, и вот он даёт энергию положительную.

Мне почему-то кажется, что Вы здесь ошибаетесь. Независимо от того, какое из определений псевдотензоров Вы считаете "стандартным".

[obar]

epros в сообщении #518861 писал(а):

Из последних в силу статичности задачи отличен от нуля только $t^{0 0}$, который и представляет собой плотность энергии, она же с точностью до множителя $c^2$ - плотность массы.

В ньютоновской теории плотность массы положительна, в то время, как гравитационная энергия благополучно отрицательна. Как же у вас получается отрицательным и то и другое?

[epros]

obar в сообщении #518865 писал(а):

В ньютоновской теории плотность массы положительна, в то время, как гравитационная энергия благополучно отрицательна. Как же у вас получается отрицательным и то и другое?

Плотность массы чего? Я так полагал, что в ньютоновской теории у гравитационного поля никакой массы не было вообще.

[Munin]

epros в сообщении #518861 писал(а):

Видать, не подходит эта теория для поля, одноимённые заряды которого притягиваются.

Должна подходить.

epros в сообщении #518861 писал(а):

Система изначально состоит из центрального тела + пыли + гравитационного поля. Да, можно считать, что суммарная масса всего этого конечна. Если при этом конечна масса центрального тела и конечна масса пыли, то у поля нет никаких оснований иметь бесконечную массу.

Это вы о чём вообще? Какая-то бессвязица.

[BISHA]

obar в сообщении #518836 писал(а):

Стало быть чем сильнее поле, тем меньше его энергия.

Если сравнить электрическое поле и гравитационное, то с увеличением напряженности поля его потенциал увеличивается.

[Munin]

BISHA в сообщении #518974 писал(а):

Если сравнить электрическое поле и гравитационное, то с увеличением напряженности поля его потенциал увеличивается.

$\mathbf{g}=-\operatorname{grad}\varphi.$

Вас многократно просили и призывали не писать невежественной ерунды. Терпение заканчивается.

[BISHA]

Munin в сообщении #518976 писал(а):

Терпение заканчивается.

Для сферического поля заряда $\varphi=\frac{E}{r} $, где $E$ - напряженность э.п. - силовая характеристика, а $\varphi$ - энергетическая. Если поле сильнее, то и его энергия больше.