Гравитация и двухмерный мир

[ИгорЪ]

Как я понимаю, обсуждаются варианты придания смысла двумерной гравитации. Здесь http://qft.itp.ac.ru/index.shtml#napr3 по ссылке 27 на стр. 3-4, ну и далее можно почитать про эффективное действие для 2-гравитации, индуцированное квантованными полями материи (идеи Сахарова). Еще есть обзор Миронова в ЭЧАЯ: Матричные модели двумерной гравитации. Там в начале есть мотивация этой деятельности. Но читать это тяжело. Посему вопрос
obar
Я слыхал, что казимировский вакуум в двумерной конформной теории прямо связан с центральным зарядом=вейлевской аномалией. Ваш ТЭИ тогда должен выражаться через $c$-центральный заряд. Не знаете как? Ну и ещё хочется лагранжиан материи, и путь, дающий ваш вариант уравнений Эйнштейна с казимировским ТЭИ в длинноволновом (или коротковолновом?) пределе. Вобщем, хочется понять как квантовая теория скалярного поля продуцирует классическую 2-гравитацию. Если я, конечно, правильно понимаю сюжет.

[obar]

ИгорЪ в сообщении #517981 писал(а):

Я слыхал, что казимировский вакуум в двумерной конформной теории прямо связан с центральным зарядом=вейлевской аномалией.

Я не знаю, что такое центральный заряд и вейлевская аномалия. Приведенный ТЭИ получается достаточно просто. Для статического случая вычисления элементарны и приведены в книге Биррела и Дэвиса (или Мостепаненко, Трунов "Эффект Казимира"). Для динамического мира вычисления технически сложнее, но по существу те же: записывается решение для полевых мод при заданном $a(t)$ во втором ВКБ приближении и вычисляется перенормированный ТЭИ по методу Абеля -- Плана.
За ссылки спасибо, интересно. Если еще что-то вспомните по теме -- буду признателен.

[type2b]

Пусть имеется двумерная конформная теория поля (CFT), пусть для простоты у нее есть действие $S[g,X]$, где $g$ -- метрика. С точностью до некоторых деталей, диффеоморфизмами можно привести метрику к диагональной ${\rm d}s^2=\exp(2\phi){\rm d}z{\rm d}{\bar z}$ (в евклиде; в минковском аналогично). На классике, поскольку теория конформна, действие имеет вейлевскую симметрию, и метрика $\exp(2\phi)$ из действия выпадает. В квантовой теории вейлевская симметрия оказывается аномальной. Утверждение:

$$\int {\rm D}X \exp(-S[\exp(2\phi),X]) = \exp(-cS_L[\phi])\int {\rm D}X \exp(-S[1,X]),$$

где $S_L$ -- действие Лиувилля, и $c$ -- центральный заряд (это его определение; название происходит из того, что он является центральным зарядом в алгебре Вирасоро, т.е. алгебре аномальной конформной симметрии).
Из этой формулы видно, что эффективный тензор энергии-импульса после того, как поле $X$ отынтегрировали, зависит от метрики, а именно, совпадает с тензором теории Лиувилля от конформного фактора $\phi$.
Таким образом, хотя гравитация с действием эйнштейна-гильберта тривиальна в 2д, из-за аномалии конформный фактор становится динамическим полем лиувилля.
Для свободного бозона $c=1$, а при наличии $\xi$ что-то типа $c=1+6\xi^2$. За численными факторами я тут не следил, всякие пиквадраты еще должны быть везде. Выше я спрашивал, почему при $m=0$ из формулы obar'a не воспроизводится ТЭИ Лиувилля, но мне не ответили. Может, я плохо смотрел и он воспроизводится, либо может он посчитан в таком приближении, что $m$ к нулю брать нельзя. Вот.

[obar]

type2b в сообщении #518286 писал(а):

Выше я спрашивал, почему при из формулы obar'a не воспроизводится ТЭИ Лиувилля, но мне не ответили.

При $m=0$ приведенный ТЭИ принимает постоянные значения, не зависящие от динамики вселенной. Это и понятно, т.к. в безмассовом пределе уравнение Клейна-Гордона конформно-инвариантно и решения для полевых мод (при любом законе расширения) есть стандартные плоские волны. Рождение частиц не происходит. Значения компонент ТЭИ совпадают в этом случае с ТЭИ для статической вселенной (их можно найти в указанной мной литературе). Что такое ТЭИ Лиувалля мне неизвестно.

[type2b]

да, при $m=0$ действие и уравнения вейль-инвариатны, но эта инвариантность будет нарушена любой регуляризацией, сохраняющей диффеоморфизмы. Конформная симметрия аномальна и $T_{\mu\nu}$ будет зависеть от метрики.

[kwakush]

Munin в сообщении #498212 писал(а):

Например, исследование закона Ньютона в $n$ измерениях дало интересный результат: устойчивые орбиты планет в многомерных пространствах невозможны

Где об этом можно подробнее почитать?

[SergeyGubanov]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #498212 писал(а):

tola в сообщении #498124 писал(а):

Если не секрет, а для чего такая экзотика, для чего это надо?

Просто обычные упражнения в теорфизике. Исследование "игрушечных" моделей, исследование свойств настоящих моделей - вдруг они неожиданно ответят на вопросы, которые мы и не задавали?

На самом деле всё ещё проще, занятия двумерной гравитацией являются разновидностью m-активности.

Pphantom:

Удалил ссылку. Шутки - шутками, но рекламировать это не надо.

[AL Malino]

Munin в сообщении #498212 писал(а):

Например, исследование закона Ньютона в $n$ измерениях дало интересный результат: устойчивые орбиты планет в многомерных пространствах невозможны.

kwakush в сообщении #1056570 писал(а):

Где об этом можно подробнее почитать?

Если Вам оно нужно просто для ознакомления с вопросом (без претензий на большую науку), то могу порекомендовать брошюрку Г.Е.Горелика «Почему пространство трехмерно?» М.: Наука, 1982, 168 с.
Впрочем, в рамках классической механики большой науки в этом вопросе, решённом более ста лет назад, нет: обладая некоторыми навыками в работе с формулами, Вы можете получить заинтересовавшие Вас результаты сами.

[Alex_J]

Интереса ради. Выкладки конечно сложные и замечательные (везде выше), (и чем сложнее, тем замечательнее, математики согласятся )... но всё-таки... интереса ради. Напомню.
Что в первом приближении большие планеты Солнечной системы находятся в плоскости, так же как и спутники планет (да, не все и не всех). И даже кольца - в плоскости. И в первом опять же приближении можно моделировать поведение точечных масс в 2-х измерениях. По тому же закону - обратно квадрату. И всё работает.
И сложные динамические системы, какими являются и спутники, и кольца, и планеты, и галактики, имеют очевидную тенденцию выстраиваться в плоскости. Третье измерение мешает согласованному движению по окружности - те же газопылевые диски доказывают это. Всё собирается и сплющивается в диск.
Ну это так. Для напоминания и размышлений...

[photon]

Alex_J в сообщении #1096523 писал(а):

планеты Солнечной системы находятся в плоскости, так же как и спутники планет (да, не все и не всех)

ну "почти все спутники" в одной плоскости: http://stuffin.space/

Alex_J в сообщении #1096523 писал(а):

Ну это так. Для напоминания и размышлений...