Гравитация и двухмерный мир

[Munin]

Я так понял, получаем нечто вроде 0=1-1.

[obar]

Утундрий в сообщении #516877 писал(а):

То есть, оставляем слева нуль, а справа что-то там пишем и получаем нечто вроде $0=1$.

Казимировский ТЭИ зависит не только от метрического фактора, но и от его производных по времени. Так что получаются вполне содержательные уравнения.

[Утундрий]

obar в сообщении #516913 писал(а):

получаются вполне содержательные уравнения.

Продемонстрируйте, если не сложно.

[obar]

Рассмотрим 1+1 вселенную с топологией $\mathbb{S}\times\mathbb{R}$ и метрикой $ds^2=a^2(t)(dt^2-dx^2)$. Во втором ВКБ приближении перенормированный казимировский ТЭИ для скалярного массивного поля имеет вид

$$ T_0^0=\frac{1}{\pi l^2}\int_{x}^\infty\frac{\sqrt{t^2-x^2}}{e^{t}-1}\,dt+ \frac{m^4\dot{a}^2}{32\pi}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{1}{\omega_k^5}. $$

$$ T_1^1=\frac{1}{\pi l^2}\int_{x}^\infty\frac{t^2\,dt}{\sqrt{t^2-x^2}(e^{t}-1)}\,+ \frac{m^4}{32\pi}\left[(2\ddot{a}a+\dot{a}^2)\sum_k\frac1{\omega_k^5}-5m^2a^2\dot{a}^2\sum_k\frac1{\omega_k^7}\right]. $$

Тут $l=2\pi a(t)$, $x=ml$, $m$ -- масса скалярного поля, $\omega_k^2=k^2+m^2a^2$ -- частоты вакуумных мод с импульсом $k$ (дискретном). Можно убедиться, что приведенный ТЭИ удовлетворяет закону сохранения $T^{\nu}_{\mu}{}_{;\nu}\equiv0$ и приводит к непротиворечивым уравнениям.

[Munin]

obar в сообщении #516998 писал(а):

и приводит к непротиворечивым уравнениям.

только, у меня такое подозрение, не к эйнштейновским...

[obar]

В смысле?

$$ R_{\mu\nu}-\frac12 Rg_{\mu\nu}\equiv0=\alpha(T_{\mu\nu}^{(m)}+T_{\mu\nu}^{(vac)}) $$

Разве это не уравнения Эйнштейна?

[Munin]

Были бы, если бы $a$ входил в левую часть, а не в правую. В уравнениях Эйнштейна справа стоит просто ТЭИ материи, от метрики не зависящий.

[type2b]

это Вы вычисляете

$$\frac{\delta}{\delta g_{\mu\nu}}\rm{det} (-\nabla^2+m^2)$$

?

а почему при $m=0$ не видно лиувиллевского $T$?

[obar]

Munin в сообщении #517066 писал(а):

В уравнениях Эйнштейна справа стоит просто ТЭИ материи, от метрики не зависящий.

Любой тензор зависит от метрики (если не с нижними индексами, то с верхними). Метрический ТЭИ

$$ T_{\mu\nu}=\frac2{\sqrt{-g}}\,\frac{\delta S}{\delta g^{\mu\nu}} $$

в общем случае зависит не только от метрики, но и от ее производных. Например, для того же скалярного поля с конформной связью в ТЭИ входит слагаемое вида $R_{\mu\nu}|\phi|^2$.

[Munin]

obar в сообщении #517169 писал(а):

Любой тензор зависит от метрики (если не с нижними индексами, то с верхними).

Только не таким образом, чтобы её динамику задавать. Я думал.

obar в сообщении #517169 писал(а):

Например, для того же скалярного поля с конформной связью в ТЭИ входит слагаемое вида $R_{\mu\nu}|\phi|^2$.

Наверное, я чего-то не знаю. Можно на лагранжиан этого поля (в плоском пространстве) взглянуть?

[obar]

В лагранжиан входит скалярная кривизна. Но даже в плоском пространстве-времени вклад в ТЭИ от этого слагаемого ненулевой (подробнее см. Гриб, Мамаев, Мостапаненко "Квантовые эффекты в интенсивных внешних полях").

[Munin]

Книжка большая, можно точнее? Или просто выпишите лагранжиан.

[Утундрий]

А я все думал при чем тут Казимир... Ну, когда имеется некоторое квантованное поле, то оно конешно. Только я до сей поры о чистой гравитации в 2D говорил, точнее об ее обобщении в сторону $\[f\left( R \right)\]$-теории.

[obar]

Munin в сообщении #517284 писал(а):

Книжка большая, можно точнее? Или просто выпишите лагранжиан.

$$ \mathcal{L}=\sqrt{-g}\Big(\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-(m^2+\xi R)|\phi|^2\Big) $$

Утундрий в сообщении #517295 писал(а):

А я все думал при чем тут Казимир... Ну, когда имеется некоторое квантованное поле, то оно конешно. Только я до сей поры о чистой гравитации в 2D говорил, точнее об ее обобщении в сторону $\[f\left( R \right)\]$-теории.

Во-первых, я добавляю не квантованное поле, а лишь его вакуум. Во-вторых, даже если в начальном состоянии частицы отсутствовали, то при расширении они, вообще говоря, появятся. Рассмотрение лишь "чистой гравитации" противоречит КТП.

[Утундрий]

obar в сообщении #517307 писал(а):

Во-первых, я добавляю не квантованное поле, а лишь его вакуум.

Ну так не добавляйте ни того ни другого. Пусть у нас будет база без единого слоя. Не скукожится, поди.

obar в сообщении #517307 писал(а):

Рассмотрение лишь "чистой гравитации" противоречит КТП.

Это если есть чему противоречить (см. выше).