Нефизичность не в том, что псевдотензор не тензор, а в том, что определенная с помощью него величина зачастую не имеет ясного физического смысла: что-то там сохраняется, а что -- бог его знает.
Что значит "не имеет ясного физического смысла"? Её физический смысл заключается в том, что она описывает энергию и импульс гравитационного поля - те самые величины, которых не хватает до закона сохранения в задачах на падение тел в гравитационном поле: Пока эта величина не определена, непонятно, откуда берутся энергия и импульс разгоняющегося тела. Естественно, определение этой величины может быть неоднозначным, поскольку непосредственно наблюдается она
только через дефект энергии и импульса тела, взаимодействующего с полем. Но эта ситуация не нова. Например, мы привыкли определять поток электромагнитной энергии вектором Пойнтинга. Однако к нему совершенно спокойно можно прибавить любое бездивергентное поле, и это никак не повлияет на наблюдаемые эффекты взаимодействия электрических зарядов с электромагнитным полем.
Хочу заметить, что ясный физический смысл энергии гравитационного поля можно продемонстрировать как раз на примере сферически-симметричного статичного поля (в частности, решения Шварцшильда). Здесь плотность энергии поля весьма красивым образом выражается через квадрат ускорения свободного падения, т.е. независимым от замен пространственных координат образом - поэтому я и задумался о корректности примера Логунова. Расчёт не слишком сложный, так что я попробую его здесь привести. Итак, ускорение свободного падения в направлении
:
1)
где дифференциалы берутся по геодезической, направленной вдоль
.
Для сферически-симметричного статического решения (
):
2)
![$\mathfrak{g} = \frac{d \left(\sqrt{- g_{r r}} ~ dr \right)}{(\sqrt{g_{t t}} \, dt)^2} = \frac{\sqrt{- g_{r r}}}{g_{t t}} \, \frac{d^2 r}{dt^2} = - \frac{\sqrt{- g_{r r}}}{g_{t t}} \, \Gamma^{r}_{t t} = \frac{\sqrt{- g_{r r}}}{g_{t t}} \times \frac{1}{2} \, g^{r r} g_{t t,r} = - \frac{g_{t t,r}}{2 \sqrt{- g_{r r}} \, g_{t t}} = - \frac{[\ln(g_{t t})],r}{2 \sqrt{- g_{r r}}}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/0/c506d2e7255987c53781fdb4ed3cb5f182.png "$\mathfrak{g} = \frac{d \left(\sqrt{- g_{r r}} ~ dr \right)}{(\sqrt{g_{t t}} \, dt)^2} = \frac{\sqrt{- g_{r r}}}{g_{t t}} \, \frac{d^2 r}{dt^2} = - \frac{\sqrt{- g_{r r}}}{g_{t t}} \, \Gamma^{r}_{t t} = \frac{\sqrt{- g_{r r}}}{g_{t t}} \times \frac{1}{2} \, g^{r r} g_{t t,r} = - \frac{g_{t t,r}}{2 \sqrt{- g_{r r}} \, g_{t t}} = - \frac{[\ln(g_{t t})],r}{2 \sqrt{- g_{r r}}}$")
(здесь индексом после запятой обозначается частная производная по соответствующей координате).
Нетрудно заметить, что величина
представляет собой классический потенциал. Это видно из рассмотрения интеграла от ускорения свободного падения по расстоянию вдоль координаты
:
3)
![$\varphi(r_2) - \varphi(r_1) = - \int\limits_{r_1}^{r_2} \mathfrak{g} \, \sqrt{- g_{r r}} \, dr = \frac{1}{2} \, \ln[g_{t t}(r_2)] - \frac{1}{2} \, \ln[g_{t t}(r_1)]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/a/86acd505dbfa22566daa6e2cbb1d742182.png "$\varphi(r_2) - \varphi(r_1) = - \int\limits_{r_1}^{r_2} \mathfrak{g} \, \sqrt{- g_{r r}} \, dr = \frac{1}{2} \, \ln[g_{t t}(r_2)] - \frac{1}{2} \, \ln[g_{t t}(r_1)]$")
Так что формулу для ускорения свободного падения можно записать и традиционным образом:
4)
Здесь и далее индексом
после запятой обозначается производная по расстоянию в радиальном направлении, т.е.
.
Однако нас сейчас интересует масса, заключённая внутри сферы. Воспользуемся классическим определением, согласно которому:
5)
, где
- элемент площади сферы, а
- гравитационная постоянная.
Отсюда масса внутри сферы:
6)
В сферическом слое толщиной
имеем массу:
7)
![$dM = \frac{1}{4 \pi G} [S \, \varphi_{,p}]_{,p} \, dp$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/d/76dab85c2f5c2d6593be361f3ecfe90282.png "$dM = \frac{1}{4 \pi G} [S \, \varphi_{,p}]_{,p} \, dp$")
Поделив которую на объём слоя
, получим объёмную плотность массы:
8)
![$\rho = \frac{1}{4 \pi G} \, \frac{1}{S} \, [S \, \varphi_{,p}]_{,p}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/8/b988d15e9673c522d13bbdc2f7a151ef82.png "$\rho = \frac{1}{4 \pi G} \, \frac{1}{S} \, [S \, \varphi_{,p}]_{,p}$")
Замечательный момент заключается в том, что формулы 6 и 8 независимы от того, как определены пространственные координаты - нужно только уметь правильно считать площадь сферы и производные по расстоянию в радиальном направлении. Именно поэтому я сомневаюсь в результате Логунова.
Теперь давайте посчитаем величину
в пустом пространстве. Обращаю внимание, что пространство может быть пустым только в том сферическом слое, где мы рассчитываем данную величину. Нам достаточно того, чтобы здесь метрика была Шварцшильдовской, ближе и дальше от центра она может отличаться (напоминаю, что речь идёт о сферически-симметричном статическом поле). Итак:
9)
![$- \mathfrak{g} = [\frac{1}{2} \ln(1 - \frac{r_g}{r})]_{,r} / \sqrt{\frac{r}{r - r_g}} = \frac{r_g}{2 r^2} \sqrt{\frac{r}{r - r_g}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/8/598dac6a386038038cd4981f305ba5ae82.png "$- \mathfrak{g} = [\frac{1}{2} \ln(1 - \frac{r_g}{r})]_{,r} / \sqrt{\frac{r}{r - r_g}} = \frac{r_g}{2 r^2} \sqrt{\frac{r}{r - r_g}}$")
10)
![$4 \pi \rho \, G = \frac{S_{,p}}{S} \, \varphi_{,p} + \varphi_{,p p} = \frac{2}{r} \sqrt{1 - \frac{r_g}{r}} (- \mathfrak{g}) + (- \mathfrak{g})_{,r} \sqrt{1 - \frac{r_g}{r}} = \frac{r_g}{r^3} + (- \mathfrak{g})_{,r} \sqrt{1 - \frac{r_g}{r}} = \left[\mathfrak{g} \, \sqrt{1 - \frac{r_g}{r}} \right]_{,r} - \mathfrak{g}_{,r} \sqrt{1 - \frac{r_g}{r}} = \mathfrak{g} \, \left[\sqrt{1 - \frac{r_g}{r}} \right]_{,r} = - \mathfrak{g}^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/7/2a731c3c66c902275cc2177ae4c97c8182.png "$4 \pi \rho \, G = \frac{S_{,p}}{S} \, \varphi_{,p} + \varphi_{,p p} = \frac{2}{r} \sqrt{1 - \frac{r_g}{r}} (- \mathfrak{g}) + (- \mathfrak{g})_{,r} \sqrt{1 - \frac{r_g}{r}} = \frac{r_g}{r^3} + (- \mathfrak{g})_{,r} \sqrt{1 - \frac{r_g}{r}} = \left[\mathfrak{g} \, \sqrt{1 - \frac{r_g}{r}} \right]_{,r} - \mathfrak{g}_{,r} \sqrt{1 - \frac{r_g}{r}} = \mathfrak{g} \, \left[\sqrt{1 - \frac{r_g}{r}} \right]_{,r} = - \mathfrak{g}^2$")
Получается, что плотность массы сферически-симметричного статического гравитационного поля (а значит - и плотность энергии) пропорциональна квадрату ускорения свободного падения. Правда эта величина отрицательна...
при этом не меняется. А ускорение свободного падения - характеристика геодезической, проведённой в направлении 
.