Многочлен неприводим над Q

[Sonic86]

$$f(x) = \frac{x^n+x^m-2}{x^{\gcd (n,m)}-1}, 0<m<n$$

Доказать неприводимость над $\mathbb{Q}$.
Попытки решить имеют жалкий характер. Доказал, что нет корней. Критерий Эйзенштейна не применяется, линейные сдвиги ему также не помогают.
Позаимствовал тут: http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=35320

[bnovikov]

А для взаимно простых пробовали?

[Sonic86]

bnovikov в сообщении #515881 писал(а):

А для взаимно простых пробовали?

Да, пробовал. Я все, что получилось, написал. Может какие-то специальные приемы еще есть?

[AV_77]

Это чем-то на круговые многочлены похоже. По крайней мере близко.

[Sonic86]

Похоже, только это сумма: $f(x) = \frac{x^n-1}{x^d-1}+\frac{x^m-1}{x^d-1}$. Каждое слагаемое легко проанализировать, а вот сумму...

В Лидле Нидеррайтере рассматривается вопрос о неприводимости трехчленов над конечным полем, но я его еще ниасилил. Стоит ли?

[bnovikov]

Sonic86 в сообщении #515862 писал(а):

$$f(x) = \frac{x^n+x^m-2}{x^{\gcd (n,m)}-1}, 0<m<n$$

Доказать неприводимость над $\mathbb{Q}$.
Попытки решить имеют жалкий характер. Доказал, что нет корней. Критерий Эйзенштейна не применяется

Попробуйте применить не сам критерий Эйзенштейна, а идею его доказательства. По-моему, получается.

[Sonic86]

bnovikov в сообщении #516008 писал(а):

Попробуйте применить не сам критерий Эйзенштейна, а идею его доказательства. По-моему, получается.

Наверное, я чего-то не вижу, там если идея и применяется, то нужно еще что-то рассматривать. А просто так получается, что тот минимальный индекс, для которого $p \not \mid a_j$ равен $m$ при $\gcd (n,m)=1$.
Если у Вас что-то получилось, напишите, пожалуйста.
Кроме того, вообще непонятно, как идею критерия Эйзенштейна применять к многочленам $x^a+\ldots+x+2$.

Попытался рассмотреть многочлен $2^{n-2}x^{n-1}f(\frac{1}{2x})$. Тоже мало толку, хотя сразу выходит, что $n$ - четное.

[bnovikov]

Sonic86 в сообщении #516087 писал(а):

Если у Вас что-то получилось, напишите, пожалуйста.
Кроме того, вообще непонятно, как идею критерия Эйзенштейна применять к многочленам $x^a+\ldots+x+2$.

М-да... Не получается. А жаль.

[nnosipov]

У Чеботарёва (Теория Галуа. М.-Л.: 1936) полно всяких признаков неприводимости типа критерия Эйзенштейна. Возможно, какой-нибудь из них здесь и сработает.

[bnovikov]

Вспомнил - существует книжка Яковкина:

Цитата:

В 1938—1440 гг. М. В. Яковкиным найдены и детально разработаны новые методы решения вопроса о приводимости многочленов, гораздо проще и совершеннее методов Л. Кронекера. Впервые эти методы опубликованы Яковкиным в 1941 г. в «Ученых записках МГПИ им. В. И. Ленина», а затем в нескольких номерах журнала «Доклады АН СССР». Наиболее полное и подробное изложение этих методов содержится в книге М. В. Яковкина «Численная теория приводимости многочленов» (Изд-во АН СССР, 1959).

(1938—1440 - так в оригинале).
Я ее в юности смотрел, производила хорошее впечатление. Она есть у меня дома, но я-то не дома. Возможно, в библиотеках найдете (или хотя бы его статьи).

Вот нашел его статью:
http://www.mathnet.ru/links/4f80c22c14b ... im3270.pdf

[nnosipov]

bnovikov в сообщении #516381 писал(а):

Вспомнил - существует книжка Яковкина

Тоже раньше попадалась. Спасибо, что напомнили, надо бы найти эту книжку.

[temp03]

А разве эта задача не эквивалентна, что $f(x) =x^n+x^m-2, 0<m<n$ неприводим над $\mathbb{Q}$?

[nnosipov]

temp03 в сообщении #552995 писал(а):

$f(x) =x^n+x^m-2, 0<m<n$ неприводим над $\mathbb{Q}$?

С чего вдруг неприводим? Ещё как приводим, ибо $f(x)=(x^m-1)+(x^n-1)$ делится на $x^{\gcd{(m,n)}}-1$.

[temp03]

nnosipov, в том-то и дело что я предлагаю забыть про $x^{\gcd{(m,n)}}-1$. Разве $f(x)=(x^m-1)+(x^n-1)$ приводим над $\mathbb{Q}$? Вот с этого и надо начать, а знаменатель вообще не нужен.

[nnosipov]

temp03 в сообщении #553006 писал(а):

Разве $f(x)=(x^m-1)+(x^n-1)$ приводим над $\mathbb{Q}$?

Да, приводим. Неужели не видно?