Вот пример, как мне кажется, правильный.
Пусть

- множество всех сходящихся к

последовательностей

, а

- множество тех из них, которые, начиная с некоторого номера, неотрицательны. Тогда любой нетривиальный линейный функционал

, определённый на

, неограничен снизу на

.
Допустим противное. Из нетривиальности

следует, что существует последовательность

, такая, что

. Не ограничивая общности, можно считать, что

при всех

. Действительно,

представима в виде разности двух неотрицательных последовательностей

и

, где

а значит

и по крайней мере одно из чисел

и

не равно

, т.е. вместо

можно взять одну из последовательностей

и

.
Далее будем использовать следующую лемму:
Лемма. 
Действительно, если

, то

при

, но

при

- получаем противоречие с предположением о том, что функционал

ограничен снизу на

.
Поскольку

и

, то из этой леммы следует, что

. Рассмотрим теперь последовательность

, определяемую формулой

а также семейство последовательностей

, определяемых как

Поскольку

, то

при

, а значит для любого

, начиная с некоторого номера

,

, т.е. последовательность

. Отсюда, ещё раз применяя лемму к

, получим:

при любом

. Но, в силу линейности функционала

:

т.к.

. Полученное противоречие и завершает доказательство.