выпуклые множества

[Oleg Zubelevich]

Привести пример линейного пространства $L$ и выпуклого множества $M\subset L,\quad M\ne L$ таких, что не существует нетривиального линейного функционала $f\in L^*$ и конcтанты $c$ для которых $f\mid_M\ge c$.

[Хорхе]

Ну $L$ -- все последовательности, а $M$ -- финитные, не подойдет?

Не подойдет. Сам спросил, сам ответил.

[neo66]

$L=C([-1,1])$ . $M$ - множество непрерывных функций $f$ на этом отрезке , таких, что $f(0)=0$.

[Oleg Zubelevich]

neo66 в сообщении #515017 писал(а):

$L=C([-1,1])$ . $M$ - множество непрерывных функций $f$ на этом отрезке , таких, что $f(0)=0$.

Опять пишите чепуху.

[neo66]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #515023 писал(а):

Опять пишите чепуху.

Интересная закономерность: второй раз на этом форуме встречаю чела, считающего себя специалистом в функциональном анализе, с немотивированной агрессией. Интересно, это особенность ФАНа или личное достижение?

Вторая попытка: $L=L^2([-1,1])$ относительно меры Лебега. $M$ - множество непрерывных функций $f$ на этом отрезке , таких, что $f(0)=0$.

[Руст]

Хотя я не любитель анализа, приведу пример: Пусть $L={(a_1,a_2,...)}$ линейное пространство последовательностей с условием $\sum_i |a_i| <\infty $. Берем произвольную стремящуюся к бесконечности последовательность $c_i, c_i>0$ и за $M$ примем последовательности с условием $\sum_i c_i|a_i|<\infty$. Это линейное подпространство выпуклое и удовлетворяет требуемому условию.

[Oleg Zubelevich]

Попытки предъявить в качестве $M$ подпространство заведомо не имеют смысла. С помощью базиса Гамеля всегда можно построить нетривиальный линейный функционал $f$ такой, что $f\mid_M=0$.

[Руст]

Oleg Zubelevich в сообщении #515042 писал(а):

Попытки предъявить в качестве $M$ подпространство заведомо не имеют смысла. С помощью базиса Гамеля всегда можно построить нетривиальный линейный функционал $f$ такой, что $f\mid_M=0$.

Я сторонник конструктивной математики, там вы не построите скажем взяв $c_i=i$.

[Padawan]

Просто линейные пространства, без топологии?

[Oleg Zubelevich]

да

[Padawan]

Не могу врубиться в формулировку. Оно равносильно тому, что любой нетривиальный функционал неограничен снизу на $M$?

[Oleg Zubelevich]

я понимаю так: множество выпуклое, но ни в каком полупространстве не содержится

[Padawan]

Ну так бы и говорили

[Руст]

Задача не конструктивная и решения не существует. По любому базису Гамеля можно построить линейный функционал равный значению первой координаты со знаком плюс или минус, а этот вектор можно взять произвольным. Соответственно выпуклость М и неограниченность функционала на нем означает, что вся прямая заданного направления принадлежит М. Так как этот вектор был произвольным, то М совпадает с L.

-- Вт дек 13, 2011 19:45:21 --

Если половина, то с плюсом или минусом функционал удовлетворяет этому условию.

[Padawan]

Руст в сообщении #515184 писал(а):

Соответственно выпуклость М и неограниченность функционала на нем означает, что вся прямая заданного направления принадлежит М.

Не понимаю, почему.