выпуклые множества

[Oleg Zubelevich]

У меня почти тоже самое.

Задача. Привести пример линейного пространства $L$ и выпуклого множества $M\subset L,\quad M\ne L$ таких, что не существует нетривиального линейного функционала $f\in L^*$ и конcтанты $c$ для которых $f\mid_M\ge c$.



Решение. Пусть $L$ -- пространство финитных последовательностей: $x=\{x_i\}_{i\in\mathbb{N}}\in L$ и для любого такого $x$ найдется $N$ такое, что для всех $k>N$ будет $x_k=0$.
В качестве $M$ возьмем конус состоящий из последовательностей, у которых последний ненулевой элемент положителен. Этот конус -- выпуклый.

$e_1=(1,0,\ldots),e_2=(0,1,0,\ldots),\ldots$ -- базис Гамеля в $L$. Предположим указанный линейный функционал $f$ и константа $c$ существуют. Поскольку функционал нетривиальный $f(e_k)\ne 0$ для некоторого $k$. Очевидно, $Ae_k+e_{k+1}\in M$ при любом $A\in\mathbb{R}$. Легко подобрать константу $A$ так, что $Af(e_k)+f(e_{k+1})<c$. Противоречие.

[Padawan]

Oleg Zubelevich
Хороший пример. Мне понравился.