2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 выпуклые множества
Сообщение12.12.2011, 20:31 


10/02/11
6786
Привести пример линейного пространства $L$ и выпуклого множества $M\subset L,\quad M\ne L$ таких, что не существует нетривиального линейного функционала $f\in L^*$ и конcтанты $c$ для которых $f\mid_M\ge c$.

 Профиль  
                  
 
 Re: выпуклые множества
Сообщение12.12.2011, 22:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Ну $L$ -- все последовательности, а $M$ -- финитные, не подойдет?

Не подойдет. Сам спросил, сам ответил.

 Профиль  
                  
 
 Re: выпуклые множества
Сообщение13.12.2011, 10:26 
Заслуженный участник


14/01/07
787
$L=C([-1,1])$ . $M$ - множество непрерывных функций $f$ на этом отрезке , таких, что $f(0)=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: выпуклые множества
Сообщение13.12.2011, 11:00 


10/02/11
6786
neo66 в сообщении #515017 писал(а):
$L=C([-1,1])$ . $M$ - множество непрерывных функций $f$ на этом отрезке , таких, что $f(0)=0$.

Опять пишите чепуху.

 Профиль  
                  
 
 Re: выпуклые множества
Сообщение13.12.2011, 11:19 
Заслуженный участник


14/01/07
787

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #515023 писал(а):
Опять пишите чепуху.
Интересная закономерность: второй раз на этом форуме встречаю чела, считающего себя специалистом в функциональном анализе, с немотивированной агрессией. Интересно, это особенность ФАНа или личное достижение?

Вторая попытка: $L=L^2([-1,1])$ относительно меры Лебега. $M$ - множество непрерывных функций $f$ на этом отрезке , таких, что $f(0)=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: выпуклые множества
Сообщение13.12.2011, 12:18 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Хотя я не любитель анализа, приведу пример: Пусть $L={(a_1,a_2,...)}$ линейное пространство последовательностей с условием $\sum_i |a_i| <\infty $. Берем произвольную стремящуюся к бесконечности последовательность $c_i, c_i>0$ и за $M$ примем последовательности с условием $\sum_i c_i|a_i|<\infty$. Это линейное подпространство выпуклое и удовлетворяет требуемому условию.

 Профиль  
                  
 
 Re: выпуклые множества
Сообщение13.12.2011, 12:26 


10/02/11
6786
Попытки предъявить в качестве $M$ подпространство заведомо не имеют смысла. С помощью базиса Гамеля всегда можно построить нетривиальный линейный функционал $f$ такой, что $f\mid_M=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: выпуклые множества
Сообщение13.12.2011, 13:24 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Oleg Zubelevich в сообщении #515042 писал(а):
Попытки предъявить в качестве $M$ подпространство заведомо не имеют смысла. С помощью базиса Гамеля всегда можно построить нетривиальный линейный функционал $f$ такой, что $f\mid_M=0$.

Я сторонник конструктивной математики, там вы не построите скажем взяв $c_i=i$. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: выпуклые множества
Сообщение13.12.2011, 18:57 
Заслуженный участник


13/12/05
4620
Просто линейные пространства, без топологии?

 Профиль  
                  
 
 Re: выпуклые множества
Сообщение13.12.2011, 18:58 


10/02/11
6786
да

 Профиль  
                  
 
 Re: выпуклые множества
Сообщение13.12.2011, 19:09 
Заслуженный участник


13/12/05
4620
Не могу врубиться в формулировку. Оно равносильно тому, что любой нетривиальный функционал неограничен снизу на $M$?

 Профиль  
                  
 
 Re: выпуклые множества
Сообщение13.12.2011, 19:24 


10/02/11
6786
я понимаю так: множество выпуклое, но ни в каком полупространстве не содержится

 Профиль  
                  
 
 Re: выпуклые множества
Сообщение13.12.2011, 19:25 
Заслуженный участник


13/12/05
4620
Ну так бы и говорили :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: выпуклые множества
Сообщение13.12.2011, 19:40 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Задача не конструктивная и решения не существует. По любому базису Гамеля можно построить линейный функционал равный значению первой координаты со знаком плюс или минус, а этот вектор можно взять произвольным. Соответственно выпуклость М и неограниченность функционала на нем означает, что вся прямая заданного направления принадлежит М. Так как этот вектор был произвольным, то М совпадает с L.

-- Вт дек 13, 2011 19:45:21 --

Если половина, то с плюсом или минусом функционал удовлетворяет этому условию.

 Профиль  
                  
 
 Re: выпуклые множества
Сообщение13.12.2011, 19:53 
Заслуженный участник


13/12/05
4620
Руст в сообщении #515184 писал(а):
Соответственно выпуклость М и неограниченность функционала на нем означает, что вся прямая заданного направления принадлежит М.

Не понимаю, почему.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group