Одномерная динамика

[scwec]

Попробую показать, как можно применить уже элементарно доказанное первоначальное утверждение.
Рассмотрим эллиптическую кривую $v^2=u^3-S^2u$, где $S$ - целое число.
Утверждение $1$. На указанной кривой нет рациональных точек конечного порядка при $v\ne{0}$.
Допустим, что такая точка существует. $P=(u_0,v_0)$. Определим прямоугольный треугольник с длинами сторон
$a_0=|\frac{2Su_0}{v_0}|$, $b_0=|\frac{{u_0}^2-S^2}{v_0}|$, $c_0=|\frac{{u_0}^2+S^2}{v_0}|$ с площадью $S$ и величину $x_0=\frac{a_0}{c_0}$.
Рассмотрим на эллиптической кривой точки ${2^n}P$, где $n$ - все натуральные числа и для каждой из них производим определение величин $a_n,b_n,c_n,x_n=\frac{a_n}{c_n}$ как и для точки $P$.
Используя известные формулы для $u(2P)$ легко вычислить, что $a_{n+1}=|\frac{2{a_n}{b_n}{c_n}}{{a_n}^2-{b_n}^2}|$, $b_{n+1}=|\frac{{a_n}^2-{b_n}^2}{2c}|$, $c_{n+1}=|\frac{{c_n}^4+4{a_n}^2{b_n}^2}{2{c_n}({a_n}^2-{b_n}^2)}|$ и $x_{n+1}=\frac{a_{n+1}}{c_{n+1}}=\frac{4{{x_n}\sqrt{1-{x_n}^2}}}{1+4{x_n}^2-4{x_n}^4}$. Расматривая функцию $F(x)=\frac{4x\sqrt{1-x^2}}{1+4x^2-4x^4}$, начальное $x_0$ и $x_{n+1}=F(x_n)$ получаем, что среди всех $x_n$ - только конечное число различных, ведь $P$ - рациональная точка конечного порядка. Это противоречит доказанному в данной теме утверждению о том, что все $x_n$ различны.
Таким образом достаточно элементарно доказана классическая теорема о том, что на указанной эллиптической кривой имеется ровно четыре точки конечного порядка. (четыре очевидно имеющихся - это ноль -первого порядка, $(-S,0), (0,0), (S,0)$ - второго порядка).
Еще одно замечание: "легко вычислить" - это на самом деле "легко вычислить".

[nnosipov]

Мне почему-то сразу показалось, что речь идёт именно об этом. Но тогда это довольно известный факт. Несколько лет тому назад я читал лекцию на малом мехмате МГУ про конгруэнтные числа (площади рациональных прямоугольных треугольников), на которой и приводил этот факт вместе с доказательством, действительно совершенно элементарным. Для сравнения приведу это доказательство.

Теорема. Если эллиптическая кривая $Sy^2=x^3-x$ содержит хотя бы одну нетривиальную рациональную точку, то таких точек на ней бесконечно много.

Доказательство. Пусть $(x_0,y_0)$ --- рациональная точка, причём $y_0 \neq 0$. Проведем в этой точке касательную к кривой. Она пересечёт кривую в некоторой другой рациональной точке $(x_1,y_1)$. А именно, простые, но несколько громоздкие вычисления показывают, что

$$ x_1=\frac{(x_0^2+1)^2}{4x_0(x_0^2-1)}, \quad y_1=\frac{-x_0^6+5x_0^4+5x_0^2-1}{8Sx_0y_0(x_0^2-1)}. $$

Теперь заметим, что $y_1 \neq 0$ (ведь уравнение $-x^6+5x^4+5x^2-1=0$ не имеет рациональных корней), а потому из точки $(x_1,y_1)$ аналогичной процедурой можно получить точку $(x_2,y_2)$, из нее --- точку $(x_3,y_3)$ и т.д. Мы покажем, что все эти точки будут попарно различны. Пусть $x_0=a_0/b_0$, $x_1=a_1/b_1$ --- запись в виде несократимых дробей. Тогда, как легко видеть,

$$ b_1=\frac{4a_0b_0(a_0^2-b_0^2)}{d_0}, $$

где $d_0=\gcd{((a_0^2+b_0^2)^2,4a_0b_0(a_0^2-b_0^2))}$. Нетрудно убедиться в том, что $d_0=1$ или $d_0=4$. Поэтому

$$ |b_1|=\frac{4|a_0(a_0^2-b_0^2)|}{d_0}\,|b_0|>|b_0|. $$

Итак, знаменатели рациональных чисел $x_k=a_k/b_k$ (в несократимом представлении) монотонно возрастают.

P.S. Скорее всего, это где-то должно быть уже написано, но ссылки дать не могу. Возможно, у Коблица, Введение в эллиптические кривые и модулярные формы.

[scwec]

nnosipov, по Вашему последнему сообщению у меня есть некоторые замечания. Позже сформулирую их. Сейчас - полное отсутствие времени.
Пока скажу только, что в известных источниках на русском языке - Кнэпп, Коблиц, Острик и Цфасман теорема о четырех рациональных точках кручения доказывается с помощью редукции по модулю $p$ с привлечением теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии.

[nnosipov]

Вот вспомнил, где я видел нечто подобное: предложение 17.9.1 в книге Айерлэнда и Роузена "Классическое введение в современную теорию чисел", М.: Мир, 1987. Там рассматривается кривая $x^3+y^3=a$, где $a>2$ свободно от кубов. Было бы интересно повторить, вслед за Морделлом, аналогичный результат для кривой $y^2=x^3+k$ (предложение 17.10.1). Но в этом случае совсем просто не получается.

[scwec]

Доказательство nnosipov совершенно верно. Но оно ведь для кривой $sy^2=x^3-x$. Нужно сделать один маленький шаг, чтобы перенести его на кривую канонического вида. Замена переменных $X=sx$, $Y=s^2{y}$.
В новых переменных уравнение кривой $Y^2=X^3-s^2{X}$(канонический вид) и из доказанного точки $X_0,X_1,X_2...$ все различны. Уверен, что автор все это имел в виду. Замечу только, что если знаменатели чисел $x_n$ монотонно растут, то последовательность чисел $X_n$ этим свойством может не обладать. Поэтому прямое применение метода касательных к уравнению кривой канонического вида к успеху не приводит. Приходится делать или замену переменных или связывать с точками кривой некоторые величины (у меня это $\frac{a}{c}$), обладающие свойством монотонного роста знаменателей, числителей или и того и другого, причем знаменатели и числители должны оставаться взаимно простыми.
Почему этот метод не применяется в классических доказательствах теоремы о четырех точках кручения?
Может быть, при применении довольно сложного аппарата, хотелось избежать элементарных вкраплений.
А может быть, как говаривал Н.М. Коробов -"возможно, пропустили".
Теперь у меня вопрос.
Рассмотрим кривую $y^2=x^3+4s^2{x}$. Докажите, что $s$ конгруэнтно тогда и только тогда, когда на этой кривой существует рациональная точка бесконечного порядка.
Если это так, то почему в определении конгруэнтного числа везде фигурирует кривая $y^2=x^3-s^2x$? Я для себя это объяснить не могу.
Может быть по традиции.
Так же по традиции, возможно, не применяется и элементарный метод, о котором я выше писал.

[nnosipov]

scwec в сообщении #513548 писал(а):

Рассмотрим кривую $y^2=x^3+4s^2{x}$. Докажите, что $s$ конгруэнтно тогда и только тогда, когда на этой кривой существует рациональная точка бесконечного порядка.

У меня возникла другая кривая $2(\xi^3+\xi)=S\eta^2$ (понятно как связанная с Вашей). Связь с кривой $Sy^2=x^3-x$ следующая:

$$ \xi=\frac{x^2-1}{2x}, \quad \eta=\frac{y(x^2+1)}{2x^2}; \quad x=\frac{\xi^2+1}{2\xi}, \quad y=\frac{\eta(\xi^2-1)}{4\xi^2}. $$

Критерий конгруэнтности у меня таков: $S$ конгруэнтно тогда и только тогда, когда на кривой $S\eta^2=2(\xi^3+\xi)$ найдётся рациональная точка с $\xi \neq 1$.

[scwec]

nnosipov в сообщении #514184 писал(а):

Критерий конгруэнтности у меня таков: $S$ конгруэнтно тогда и только тогда, когда на кривой $S\eta^2=2(\xi^3+\xi)$ найдётся рациональная точка с $\xi \neq 1$.

Доказать его можно, например, так: пусть $S$ -конгруэнтное число. Тогда существует рациональный прямоугольный треугольник с длинами сторон $a,b,c$ и площадью $S$. Положим $\xi_0=\frac{a}{b}$ и $\eta_0=\frac{2c}{b^2}$. Точка $(\xi_0,\eta_0)$ лежит на указанной кривой.
Пусть теперь рациональная точка $(\xi_0\ne{1},\eta_0)$ лежит на кривой. Рассмотрим рациональный прямоугольный треугольник с длинами сторон
$A=\frac{4\xi_0({\xi_0}^2+1)}{|{\xi_0}^2-1|}$, $B=|{\xi_0}^2-1|$, $C=\frac{{\xi_0}^4+6{\xi_0}^2+1}{|{\xi_0}^2-1|}$. Площадь его равна $2({\xi_0}^3+\xi_0)$.
Следовательно, $S=\frac{2{\xi_0}^3+2{\xi_0}}{{\eta_0}^2}$ является конгруэнтным числом.
nnosipov, посмотрите, у Вас правильно написана формула для $x$? (третья по счету).
Насчет кривых надо бы еще поговорить. Это позже.

[nnosipov]

scwec в сообщении #514829 писал(а):

nnosipov, посмотрите, у Вас правильно написана формула для $x$? (третья по счету).
Насчет кривых надо бы еще поговорить. Это позже.

Формулу проверил, ошибки не нашёл.
Согласен, здесь есть что обсудить, но в ближайшее время проблематично --- сессия накатывает.

[scwec]

Разве в вопросе было слово ошибка? Ошибки в формуле нет. Имелось в виду вот что. Кривая $Sy^2=x^3-x$ $(1)$ состоит из двух несвязанных овалов и $x$ может принимать отрицательные значения.
Кривая $S{\eta}^2=2({\xi}^3+\xi)$ $(2)$ состоит из одного овала и на ней ${\xi}\ge{0}$.
Таким образом на левый овал $(1)$ ни одна точка $(2)$ с помощью второй группы формул не отображается. На это обстоятельство я и хотел обратить внимание. Ничего криминального здесь, конечно, нет, но нет и отображения "на".
И еще: в приведенном критерии конгруэнтности можно заменить "c ${\xi}\ne{1}$" на "бесконечного порядка" .
Действительно, точки $(1,2)$ и $(1,-2)$ на кривой $(2)$ c $S=1$ имеют порядок $4$. И $\xi=1$ не мешает доказательству критерия в новой формулировке. Оно, конечно, усложняется, но после проведенных в это теме обсуждений, трудности не представит.

[nnosipov]

scwec в сообщении #515467 писал(а):

Разве в вопросе было слово ошибка? Ошибки в формуле нет. Имелось в виду вот что. Кривая $Sy^2=x^3-x$ $(1)$ состоит из двух несвязанных овалов и $x$ может принимать отрицательные значения.
Кривая $S{\eta}^2=2({\xi}^3+\xi)$ $(2)$ состоит из одного овала и на ней ${\xi}\ge{0}$.
Таким образом на левый овал $(1)$ ни одна точка $(2)$ с помощью второй группы формул не отображается. На это обстоятельство я и хотел обратить внимание. Ничего криминального здесь, конечно, нет, но нет и отображения "на".

Да, спасибо, я это тоже заметил. Изначально цель была хоть как-то "переселить" рациональные точки с одной кривой на другую. А теперь было бы неплохо выяснить, как связаны группы рациональных точек этих кривых (не знаю, насколько это сложно, опыта в решении подобных задач у меня нет).

scwec в сообщении #515467 писал(а):

Оно, конечно, усложняется, но после проведенных в это теме обсуждений, трудности не представит.

Согласен.

[scwec]

Насчет связи групп рациональных точек.
Вот две эллиптические кривые. $y^2=x^3-S^2{x}$ $(1)$ и $Y^2=X^3+4S^2{X}$ $(2)$.
Следующие преобразования переводят $(1)$ в $(2)$.

$$ {\varphi}: X=\frac{x^2-S^2}{x},Y=\frac{y(x^2+S^2)}{x^2} $$

$$ {\psi}: X=\frac{4x^2{S^2}}{y^2},Y=\frac{4{x^2}{S^2}(x^2+S^2)}{y^3} $$

Причем в обоих случаях, если $(x,y)$ - рациональная точка $(1)$, то $X$ всегда является квадратом рационального числа.
Оба преобразования переводят две точки $(1)$ в одну точку $(2)$.
Но на $(2)$ могут быть рациональные точки, у которых $X$ не квадрат.
Например, $S=5,x=20,y=100$.
Хотя бы на этом основании видно, что вопрос о связи групп рациональных точек этих кривых совсем не прост.
В качестве утешения можно решить задачу. Нужно найти на $(1)$ рациональные точки $(x,y)$ такие, что
$\psi(x,y)=(X,Y)$ и $X,Y$ - квадраты. То же и для $\varphi$.

[scwec]

В решении задачи из предыдущего сообщения используются обозначения из него же.
С каждой рациональной точкой кривой $(1)$ при $y\ne{0}$ связывается рациональный прямоугольный треугольник с длинами сторон $a,b,c$ и площадью $S$, $a^2+b^2=c^2$ и $\frac{ab}{2}=S$.
$a=|\frac{2xS}{y}|$, $b=|\frac{x^2-S^2}{y}|$, $c=|\frac{x^2+S^2}{y}|$
Рассмотрим на кривой $(1)$ следующие точки: $P_1=(\frac{b(b+c)}{2},\frac{{b^2}(b+c)}{2})$, $P_2=(\frac{b(b+c)}{2},-\frac{{b^2}(b+c)}{2})$, $P_3=(\frac{b(b-c)}{2},\frac{{b^2}(b-c)}{2})$, $P_4=(\frac{b(b-c)}{2},-\frac{{b^2}(b-c)}{2})$. $P_1,P_2$ лежат на правой дуге, $P_3,P_4$ - на левом овале. $P_1=-P_2$, $P_3=-P_4$. Все точки $P_1,P_2,P_3,P_4$ определяют один и тот же треугольник.
Из определения $\varphi$ и $\psi$ легко видеть, что $\varphi(P_1)=Q_1=({b^2},{b^2}{c})$, $\varphi(P_2)=Q_2=({b^2},-{b^2}{c})$,
$\psi(P_3)=Q_3=({a^2},-{a^2}{c})$, $\psi(P_4)=Q_4=({a^2},{a^2}{c})$, где $Q_1,Q_2,Q_3,Q_4$ лежат на кривой $(2)$.
Для того, чтобы $|Y|$ для $Q_1,Q_2,Q_3,Q_4$ было квадратом необходимо и достаточно, чтобы $c$ было квадратом.
Это реализуется при $S=|2uv(u^2-v^2)(u^4-6u^2v^2+v^4)|$, где $u,v$ - произвольные натуральные числа и $u\ne{v}$
$a=4uv|(u^2-v^2)|$, $b=|u^4-6u^2v^2+v^4|$, $c=(u^2+v^2)^2$.
Остается подставить эти значения в формулы для координат точек $P_i,Q_i$.
А теперь предлагается техническая задача.
Нужно найти на левом овале кривой $(1)$ рациональные точки, для которых $|x|$ - квадрат рационального числа.

[scwec]

Кстати, можно добавить для полноты картины об отображениях $\varphi,\psi$:
$\varphi(P_4)=Q_1$, $\varphi(P_3)=Q_2$, $\psi(P_1)=Q_4$, $\psi(P_2)=Q_3$.

[scwec]

На всякий случай напишу координаты точки $P$ на левом овале, для которой $|x|$- квадрат рационального числа.
$P=(-\frac{{a^2}{b^2}}{c^2},\frac{{a^2}{b^2}(a^2-b^2)}{2c^3})$, где $a^2+b^2=c^2$ и $S=\frac{ab}{2}$. Ее можно получить, сложив точки $P_1$ и $P_3$.