2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Одномерная динамика
Сообщение23.11.2011, 08:04 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
$F(x)=\frac{4x\sqrt{1-x^2}}{1+4x^2-4x^4}$ отображает отрезок $[0,1]$ на себя.
Рассмотрим бесконечную последовательность чисел $x_0,x_1,x_2,....$ такую, что $0<x_0<1$,
$x_0$ и $\sqrt{1-{x_0}^2}$ - рациональные числа, $x_{n+1}=F(x_n)$.
Докажите, что все числа в этой последовательности различны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерная динамика
Сообщение27.11.2011, 05:26 


02/11/08
1193
Понятно, что интересуют только рациональные числа (судя по Вашим задачам, которые были здесь раньше). Может здесь и более общее утверждение справедливо - для всех действительных чисел не будет повторов по аналогии с логистическим отображением. А вот если уменьшить константу в числителе, то возможно появятся циклы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерная динамика
Сообщение27.11.2011, 09:15 


25/08/11

1074
монотонности здесь нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерная динамика
Сообщение27.11.2011, 09:17 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
Напоминает процедуру удвоения точек на эллиптической кривой. Если так, то подобные утверждения доказываются не слишком сложно (знаменатели дробей постоянно растут и поэтому все дроби оказываются попарно различными).

-- Вс ноя 27, 2011 13:19:23 --

sergei1961 в сообщении #508685 писал(а):
монотонности здесь нет?
Это вряд ли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерная динамика
Сообщение27.11.2011, 11:11 


25/08/11

1074
знаменатели растут-наверное, они ещё должны с числителями не сокращаться, чтобы уверждать, что все разные?

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерная динамика
Сообщение27.11.2011, 15:28 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
Yu_K, не рекомендую делать выводы относительно действительных чисел. Неповторяемость чисел определяется выбором начальных условий. При другом их выборе моментально могут появиться периодические траектории без всякой смены константы в числителе.
nnosipov, знаменатели растут, и связь с удвоениями проглядывается, но этого не достаточно для доказательства, а оно, действительно, не такое уж сложное. Мыслите, как всегда, в правильном направлении.
Монотонности, конечно, нет. Одной. Но есть две. Это моя подсказка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерная динамика
Сообщение27.11.2011, 16:47 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
Покажем, что знаменатель дроби $x_{k+1}$ больше знаменателя дроби $x_k$ (имеются в виду несократимые представления дробей). Поскольку $\sqrt{1-x_k^2}$ --- рациональное число (это можно доказать по индукции, пользуясь тем, что $1-F(x)^2=(\ldots)^2$), имеем $x_k=2mn/(m^2+n^2)$ либо $x_k=(m^2-n^2)/(m^2+n^2)$ для некоторых натуральных взаимно простых чисел $m$, $n$ разной чётности. Далее рассматриваем первый случай (второй рассматривается аналогично, надеюсь). Тогда
$$
x_{k+1}=F(x_k)={\frac {8 \left( {m}^{2}+{n}^{2} \right) ^{2} \left( m-n \right) 
 \left( m+n \right) mn}{{m}^{8}+20\,{m}^{6}{n}^{2}-26\,{m}^{4}{n}^{4}+
20\,{m}^{2}{n}^{6}+{n}^{8}}}.
$$
Нетрудно показать, что числитель и знаменатель последней дроби взаимно просты. Кроме того, знаменатель равен $C(m^2+n^2)^4$, где $1 \leqslant C \leqslant 2$. То есть больше, чем $m^2+n^2$, а это знаменатель $x_k$.

scwec, а что за монотонности Вы упоминали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерная динамика
Сообщение27.11.2011, 17:41 


02/11/08
1193
scwec
Фейгенбаум как раз и показал зависимость именно от коэффициента в выражении для функции. Классическая картинка ниже. Справа логистическое отображение - слева Ваше для разных коэффициентов и зависимости от начальных значений там особо нет, если отбросить начальный участок последовательности - либо стохастика - либо периодичность. По оси х отложен параметр $A$, и для этого параметра отображено некоторое количество точек последовательности $x_k$. Вначале при малых А последовательность имеет одну стационарную точку, потом появляется с ростом А цикл длины 2, потом циклы длины 4 и 8 - а потом наступает хаос с перемежаемостью с циклами длины 4 и 8.
Изображение

Удвоение периода и стохастика полностью идентичны для любых нелинейных отображений подобного вида. Понятно, что присутствуют нюансы с округлением и точностью вычислений - для логистического отображения с рациональными начальными данными сохраняется и рациональность последовательности и числитель и знаменатель растут очень быстро. Но если на ветках слева найдутся рациональные точки, то и найдется периодическое решение с рациональными значениями - периода 2 или 4 или 8.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерная динамика
Сообщение27.11.2011, 18:22 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
Решение nnosipov - то,что надо. Что касается двух монотонностей, то ведь и числители и знаменатели растут. Поскольку они каждый раз взаимно просты, отсюда и отсутствие повторений.
Что касается эффекта Фейгенбаума. Помогут ли кассические картинки ответить на такой вопрос: обязательно ли стохастичны траектории для заданной вначале функции с начальными условиями нашей задачи? Наверное, да. Или это нужно доказывать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерная динамика
Сообщение27.11.2011, 18:30 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
Yu_K в сообщении #508860 писал(а):
Но если на ветках слева найдутся рациональные точки, то и найдется периодическое решение с рациональными значениями - периода 2 или 4 или 8.
Можете привести пример? По-моему, это противоречит задаче scwec.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерная динамика
Сообщение27.11.2011, 19:09 


02/11/08
1193
Немного разные задачи.
Для логистического отображения
$x_{k+1}=ax_k(1-x_k)$
при $a=2$ и $x_0=1/2$ все $x_k=1/2$.

Для циклов периода 2 имеем уравнение
$x=a^2x(1-x)(1-ax(1-x))$ - но здесь кроме $a=3$ нет рациональных точек - а эта точка вырожденная и не дает цикла длины 2.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%3Da*a*x%281-x%29%281-a*x%281-x%29%29.http://www.wolframalpha.com/input/?i=a%5E2-2a-3%3Dk%5E2 - дискриминант всегда иррациональное число в интересующей нас области.
Для циклов периода 4 имеем уравнение
$x=a^3x(1-x)(1-ax(1-x))(1-a^2x(1-x)(1-ax(1-x)))$ - но здесь похоже тоже нет рациональных точек.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%3Da*a*a*x%281-x%29%281-a*x%281-x%29%29%281-a*a*x%281-x%29%281-a*x%281-x%29%29%29

А вариант отображения топикстартера надо смотреть аналогичным образом.
То есть решать такие уравнения
$x=f(x)$
$x=f(f(x))$
$x=f(f(f(f(x))))$ - а там несократимые дроби в случае коэффициента равного 4 - значит там решений нет в целых числах. Может есть рациональные точки при меньших значениях коэффициента. По крайней мере при меньших значениях коэффициента точно есть иррациональные периодические решения с периодом 2,4,8 - что видно из картинок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерная динамика
Сообщение28.11.2011, 08:51 


02/11/08
1193
Немного напутал - там же надо рациональные значения корней смотреть, а не целые.
Тогда вот пример цикла длины 2 для логистического отображения.
$a=7/2$
$x_{2k}=3/7$, $x_{2k+1}=6/7$, $k=0,1,2...$
и для этого значения $a$ есть стационарная точка
$x_{k}=5/7$, $k=0,1,2...$.

Судя по расчетной картинке для отображения топикстартера при значениях A примерно от 3.92 до 3.95 есть циклы длины 4 (я когда считал в знаменателе тоже заменил 4 на A). При больших значениях A что-то гарантировать наверное сложно - будут ли там внутри области стохастики циклы длины 4 или 8 я не знаю. Есть расчетные данные для показатели Ляпунова для подобных отображений - и утверждается, что при превышении некоторого предельного значения этого показателя все становится хаотично. http://mathworld.wolfram.com/LogisticMap.html - может здесь какие-нибудь ссылки есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерная динамика
Сообщение28.11.2011, 10:01 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
Мы немного отклонились от темы, хотя доказательство первоначального утверждения успешно проведено. Его достаточно, чтобы двинуться дальше.
Но раз уж уклонились, то я повторю вопрос из предыдущего своего сообщения в подробной формулировке. Таким образом, нас интересует конкретная функция с конкретными начальными условиями.
Верно ли, что точки $x_0,x_1,x_2......$ при условии, что $0<x_0<1$, $x_0,\sqrt{1-x^2}$ -рациональные числа, $x_{n+1}=F(x_n)$, где $F(x)=\frac{4x\sqrt{1-x^2}}{1+4x^2-4x^4}$ всюду плотно заполняют отрезок $[0,1]$? Желательно доказательство или ссылка на него.
Что-то вроде: для таких-то функций любая траектория либо периодическая, либо эргодическая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерная динамика
Сообщение28.11.2011, 16:27 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
Вот пример доказательства того, что рациональные точки конкретной эллиптической кривой образуют всюду плотное множество: http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/lo ... MDLOG_0017

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерная динамика
Сообщение28.11.2011, 17:21 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
nnosipov, очень интересный материал. Он, конечно, не дает прямой ответ на сформулированный вопрос. Мы ведь пока об эллиптических кривых конкретно не говорили. Да и разобраться поподробней с ним не мешало бы. В любом случае, большое спасибо.
Однако, мой вопрос не снимается. Именно в том виде, как он сформулирован.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group