Лагранджева механика

[OlegML]

Munin в сообщении #507661 писал(а):

Фейнман прочитал популярные лекции на эту тему, изданные как книжка "КЭД - странная теория света и вещества". Рекомендую.

Жаль, я надеялся быстро и просто получить ответы на волнующие вопросы.

[Munin]

Если для вас прочитать прочитать 100-страничную популярную книжку, которая читается на одном дыхании, - не быстро и просто, то я уже не знаю, что вам посоветовать.

[Утундрий]

OlegML в сообщении #507765 писал(а):

я надеялся быстро и просто получить ответы

В церковь сходить не пробовали?

[recluse]

OlegML в сообщении #507617 писал(а):

А что же выяснилось, из каких соображений она выбирает свой путь?

Грубо говоря, работает принцип Гюйгенса-Френеля - остается только тот путь, который выживает после всевозможных интерференций.

Разумеется, к этому надо относиться с определенной долей сдержанности. Реализация фейнмановской программы по формулировке квантовой механики в терминах интегралов по траекториям - дело, по-видимому, безнадежное (одно из ключевых имен Kleinert). Поэтому в квантовой механике интегралы по траекториям существуют как вторичное образование по отношению к традиционной формулировке. Однако, если так подходить к классической механике, то тоже никакой мистики нет.

Пусть есть частица, двигающаяся под действием консервативной силы, ее уравнение движения

$$m \ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}$$

можно записать в терминах кинетической $E_K$ и потенциальной $E_P$ энергий как уравнение Лагранжа-Эйлера

$$\frac{d}{dt} \frac{\partial}{\partial \dot{\mathbf{r}}} (E_K-E_P) = \frac{\partial}{\partial \mathbf{r}} (E_K - E_P).$$

А там, где есть такое уравнение, можно получить и функционал, экстремум которого оно дает. Его называют действием $L = E_K - E_P$. Зная ответ, соответствующие рассуждения легко восстановить.

Стартовое утверждение: частица двигается так, что ее полная энергия сохраняется, т.е.

$$\delta(E_K(\dot{\mathbf{r}}) + E_P(\mathbf{r})) = 0.$$

Тогда.. и т.д. За несколько шагов (там надо будет принять, что $\delta \dot{\mathbf{r}} = d \delta \mathbf{r}/dt$) приходим к принципу: на траекториях действие должно быть экстремальным.

В каких-то книжках эти рассуждения, наверняка, прописываются во всех деталях. Когда-то, лет 100 назад, я в истории этого дела немного копался и что-то видел, но сейчас по-быстрому не нашел.

[Munin]

recluse в сообщении #513818 писал(а):

Реализация фейнмановской программы по формулировке квантовой механики в терминах интегралов по траекториям - дело, по-видимому, безнадежное (одно из ключевых имен Kleinert).

Нельзя ли поподробнее, чем просто имя?

recluse в сообщении #513818 писал(а):

Поэтому в квантовой механике интегралы по траекториям существуют как вторичное образование по отношению к традиционной формулировке.

А как быть с многочисленными учебниками КТП, в которых ФИТ излагается как первый и основной способ квантования?

[recluse]

Кляйнерт- большой энтузиаст и пропагандист интегралов по траекториям. Ему принадлежит известная, в полторы тысячи страниц, книга Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets. В частности он смог решить задачу об атоме водорода, используя интегралы по траекториям (до него пытались неоднократно, говорят, что эту задачу еще Фейнман всем предлагал). В конце 70-х он это сделал для связанных состояний, а решения, включающие непрерывный спектр, получил еще какое-то время спустя.

Полного обоснования для интегралов по траекториям нет. Как правильно переходить к пределу более менее установленно для каких-то (весьма значительных) классов задач. Выходя за пределы этих классов, с интегралами можно запросто обмануться, поскольку a priori тяжело сказать как надо поступать. Опыт, сын ошибок трудных, заставил Ауэрбаха в его книге Interacting electrons and quantum magnetism дать, в общем, пессимистичное наставление

We must keep in mind that we are on shaky mathematical grounds. For that reason, path integral results should be checked whenever possible against operator methods

И не потому, что он большой любитель строгости, а потому что в спиновых задачах из интегралов по траекториям получались и неправильные (и даже бессмысленные, неимеющие решений) уравнения движения, и неправильные результаты.

[rylov]

Mega Sirius12 в сообщении #507022 писал(а):

говорится, что частица движется так, чтобы интеграл от лагранджиана был экстремален
Но вопрос-а чему равна сама функция, интеграл от которой должен быть минимален?

Можно еще спросить, чему равны начальные условия. Все это детали обусловленные свойствами изучаемой динамической системы.

Описание динамических систем с помощью вариационного принципа является принципиальной чертой классической концепции динамики. Формально классическая концепция динамики проявляется в том, что число динамических уравнений равно числу динамических уравнений, подлежащих определению. По другому, можно сказать, что классическая концепция динамики является детерминистической концепцией.

Не следует думать, что стохастические (случайно движущиеся) частицы описываются как-то иначе, чем в рамках классической концепции динамики. Например, молекула газа движется случайно, но описать движение отдельной молекулы не возможно (по крайней мере, в рамках классической концепции динамики). Зато среднее движение молекул газа великолепно описываются уравнениями газовой динамики. Движение «частиц газа» (содержащих много молекул газа) отлично описывается в рамках классической концепции динамики. Пишется вариационный принцип. Из него получаются динамические уравнения, описывающие детерминированное движение «частиц газа». То же самое относится к квантовой механике, где уравнение Шредингера описывает среднестатистическую частицу (или статистический ансамбль квантовых частиц, нормированный на одну частицу), движение которой детерминировано. При этом волновая функция является способом описания любой идеальной сплошной среды (например, идеального газа). Отличие «квантовой жидкости» от идеального газа только в форме внутренней энергии для рассматриваемой сплошной среды.

Лучше понять роль вариационного принципа (и классической концепции динамики) позволяет рассмотрение другой концепции динамики, когда число динамических уравнений отличается от числа динамических переменных, подлежащих определению из решения этих динамических уравнений. Такую альтернативную концепции динамики частиц я называю каркасной концепцией динамики.

Дело в том, что в дискретной геометрии пространства-времени, нет гладких мировых линий, нельзя определить импульс и фазовое пространство. В этом случае состояние частицы определяется ее каркасом (это несколько пространственно-временных точек). Отсюда название концепции динамики (каркасная концепция). Математический аппарат дифференциальной геометрии не работает в дискретной геометрии пространства-времени: нет дифференциальных уравнений, нельзя дифференцировать, нельзя использовать соотношения линейного векторного пространства в привычном координатном представлении. Одним словом, математический аппарат совершенно новый («лженаука» в восприятии модераторов и заслуженных участников форума)

Различие между каркасной концепцией динамики частиц и классической концепцией динамики такое же, а может быть даже большее чем между СТО и ньютоновской концепцией пространства-времени. Как известно СТО не очень-то приветствовали в начале 19 века, когда она создавалась. Решающим экспериментом, перевесившим чашу весов в пользу СТО, как известно, был опыт Майкельсона – Морли.

Есть такой решающий эксперимент и в споре между классической концепцией динамики и каркасной концепцией динамики. Он свидетельствует в пользу каркасной концепции и геометрической парадигмы с ее дискретной геометрией пространства-времени. Это недавний эксперимент ОПЕРА по «определению средней скорости нейтрино». Эта скорость почему-то оказалась больше скорости света в пустоте. Сейчас в Архивах имеются сотни работ, пытающихся либо объяснить результат эксперимента в рамках классической концепции динамики, либо поставить под сомнение результаты эксперимента. В рамках каркасной концепции результат эксперимента ОПЕРА объясняется непринужденно. Кроме того объясняется, почему разница во времени прихода между нейтринным и световым импульсом от вспышки сверхновой оказывается существенно меньшей, чем в эксперименте ОПЕРА. Кому интересны детали, смотрите на моем сайте. Адрес сайта в моем профиле.

[Munin]

recluse в сообщении #513881 писал(а):

И не потому, что он большой любитель строгости, а потому что в спиновых задачах из интегралов по траекториям получались и неправильные (и даже бессмысленные, неимеющие решений) уравнения движения, и неправильные результаты.

Нельзя ли поподробней, как именно получаются неправильные уравнения движения и неправильные результаты. Или где почитать вкратце и обзорно.

[recluse]

В книге глава так и называется The spin path integral. Промахнуться нельзя.

Здесь доходят до естественной крайности, объявляя, что вообще к пределу переходить нельзя. С их выводом можно не соглашаться (теорему о несуществовании предельного перехода они, понятно, не доказывают), но о проблемах они рассказывают с подробностями.

[Someone]

rylov в сообщении #513896 писал(а):

В рамках каркасной концепции результат эксперимента ОПЕРА объясняется непринужденно. Кроме того объясняется, почему разница во времени прихода между нейтринным и световым импульсом от вспышки сверхновой оказывается существенно меньшей, чем в эксперименте ОПЕРА

Да, это типичная ситуация. Лженаучные "теории" всегда с лёгкостью и совершенно непринуждённо "объясняют" любые результаты любых опытов.

[rylov]

Someone в сообщении #513954 писал(а):

Да, это типичная ситуация. Лженаучные "теории" всегда с лёгкостью и совершенно непринуждённо "объясняют" любые результаты любых опытов.

Совершенно согласен с Вами. Могу еще добавить, что менее одного процента подобных работ оказываются действительно правильными. Но правильные работы все же есть. Насколько я понимаю, именно для их обнаружения существует дискуссионный отдел научного форума. Если уж Вы решились выступать на дискуссионном отделе форума, то следует критиковать по существу, а не отделываться банальностями вроде Вашего выступления. Подобное утверждение можно высказать даже не читая то, что было написано.

[Someone]

(rylov)

rylov в сообщении #513964 писал(а):

Но правильные работы все же есть. Насколько я понимаю, именно для их обнаружения существует дискуссионный отдел научного форума.

Правильность работы проверяется путём её публикации в рецензируемом издании соответствующего профиля и последующего обсуждения и проверки (в том числе - экспериментальной) специалистами. Форум для этого не предназначен.

rylov в сообщении #513964 писал(а):

Если уж Вы решились выступать на дискуссионном отделе форума, то следует критиковать по существу, а не отделываться банальностями вроде Вашего выступления.

Критика по существу уже была, но Вы её полностью проигнорировали. Не вижу смысла продолжать.

rylov в сообщении #513964 писал(а):

Подобное утверждение можно высказать даже не читая то, что было написано.

Я уже читал Ваше сочинение и имею представление о чём идёт речь. Вы ведь заявляли, что в Вашей "теории" никакое утверждение ни из какого не выводится, поэтому Вы тем более можете "объяснить" что угодно: Вы можете просто сформулировать любое утверждение, ни откуда не вытекающее, но "объясняющее" полученный в опыте результат. Выводить его из исходных положений (то есть, аксиом) теории Вам не нужно - по Вашему же заявлению, вообще никаких аксиом у Вас нет и не требуется. В отличие, например, от СТО или ОТО, которые в этом отношении являются чрезвычайно жёсткими и не допускают поправок, позволяющих подогнать теорию под ответ.

По этой причине СТО и ОТО - это наука (независимо от того, будут они в дальнейшем опровергнуты какими-то опытами или не будут), а Ваши труды - лженаука.

[Munin]

recluse в сообщении #513922 писал(а):

В книге глава так и называется The spin path integral. Промахнуться нельзя.

Нашёл, но там эта цитата применяется не к интегралу самому по себе, а к одному рассматриваемому приближению для его вычисления.

Спасибо, я думал, проблема круче.

[recluse]

Munin в сообщении #514022 писал(а):

Нашёл, но там эта цитата применяется не к интегралу самому по себе, а к одному рассматриваемому приближению для его вычисления.

Спасибо, я думал, проблема круче.

Нет, ничего нового, это старая известная общая проблема: нет не только таблиц интегралов по траекториям, но и четкого способа их записать (за пределами разработанных классов задач). Для традиционных уравнений движения этой проблемы, в общем, нет - по любому гамильтониану уравнения движения записываются запросто. Поэтому-то, по-видимому, приходится признать, что переформулировка квантовой механики на языке интегралов по траекториям на данном этапе состояния общей теории таких интегралов невозможна.

[Парджеттер]

rylov, строгое замечание за захват чужой темы и распространение лженауки. За рецидив последует пожизненный бан.