Лагранджева механика

[Mega Sirius12]

Читаю первую главу первого тома Ландавшица
Там говорится, что частица движется так, чтобы интеграл от лагранджиана был экстремален
Но вопрос-а чему равна сама функция, интеграл от которой должен быть минимален?
Она зависит от времени, координат, и скорости, но каким образом-не показано
Из этого выводится первый закон Ньютона, ну и остальные
Но эти же рассуждения можно провести и для вселенных с другими физическими законами(скажем где тело при равномерном прямолинейном движении замедлялось бы, и вследствии этого движение было выделить абсолютную систему отсчета, в которой рано или поздно без воздействия внешних сил тела будут покоятся относительно ее)
И в этой вселенной уже при движении будет минимальна другая величина
Но вот рассуждения ландавшица из нее выведут именно законы нашей вселенной
Так не задана явная функция под интегралом
Жду объяснений

[Kitozavr]

Mega Sirius12 в сообщении #507022 писал(а):

лагранджиана

Правильно писать и говорить "лагранжиан". Если это опечатка, то вы сделали её два раза, и подумал, что вы ошиблись не случайно.

Mega Sirius12 в сообщении #507022 писал(а):

Но вопрос-а чему равна сама функция, интеграл от которой должен быть минимален?

Смотрите формулы 4.4-4.6 , в них выписаны лагранжианы в трёх системах координат.
Надо сказать, что в каждой физической теории свой лагранжиан.

[Mega Sirius12]

Цитата:

Правильно писать и говорить "лагранжиан". Если это опечатка, то вы сделали её два раза, и подумал, что вы ошиблись не случайно.

Спасибо, учту

Цитата:

Смотрите формулы 4.4-4.6 , в них выписаны лагранжианы в трёх системах координат.
Надо сказать, что в каждой физической теории свой лагранжиан.

у меня вопрос возник касательно формул 3.1-3.2
Теперь я внимательно перечитал условия, это выводится с учетом изотропии пространства, а в моем примере этой изотропии нет
Верно?

[Kitozavr]

Верно, в другой вселенной будет другой лагранжиан.

[Circiter]

2Mega Sirius12

Цитата:

Она зависит от времени, координат, и скорости, но каким образом-не показано

В большинстве случаев лагранжиан просто равен разности между кинетической и потенциальной энергиями (также как гамильтониан обычно равен сумме оных).

[OlegML]

Мне нравится подход к физике Ландау-Лифшица. Они пытаются построить физику на базе минимума экспериментальных фактов из соображения "так должно быть потому что не может быть иначе." Однако принцип наименьшего действия выглядит неочевидно как постулат. По сути он позволяет найти траекторию по которой система перемещается из точки А конфигурационного пространства в точку Б. При этом для меня остаются туманными два вопроса:
1. Если функция Лагранжа определена в пространстве координат (конфигурационное пространство) почему она зависит от скоростей?
2. Находясь в точке А откуда система знает, что ей нужно переместится в Б?
Ответ на второй вопрос в принципе можно найти в 1 томе. Этот принцип должен выполнятся и для бесконечно малых промежутков времени и сводится к экстремальности дифференциала действия в каждый момент времени в процессе изменения системы. К сожалению это упоминается как бы мимоходом, в то время как на мой взгляд именно экстремальность дифференциала действия является более фундаментальным принципом по тому что...
Пусть некторой физической системе можно сопоставить функцию, которая определяет развитие системы в фазовом или конфигурационном пространстве. Если рассмотреть замкнутую систему, то ее координаты в некоторый момент времени будут однозначно определяться ее состоянием в предыдущий момент времени. Это означает, что вид функции системы в момент t однозначно определяется ее видом в предыдущий момент или, что то же самое, дифференциал функции зависит только от самой функции. Этот принцип выражен, в частности, во временном уравнении Шредингера. Необходимость экстремальности дифференциала сразу следует из принципа "Бог не играет в кости".

[Munin]

OlegML в сообщении #507358 писал(а):

1. Если функция Лагранжа определена в пространстве координат (конфигурационное пространство) почему она зависит от скоростей?

Она определена не в пространстве координат, а в пространстве координат и скоростей. Это явно указано в её обозначении: $L(q,\dot{q}).$

[OlegML]

В том то и вопрос, почему функция рассматривается в пространстве конфигураций, т.е. значений координат всех частиц в определенный момент времени а в выкладках она зависит еще и от скоростей. Но видимо действительно это просто исторически сложившееся название, а реально рассматривается практически в фазовом пространстве.

[Joker_vD]

OlegML в сообщении #507383 писал(а):

В том то и вопрос, почему функция рассматривается в пространстве конфигураций, т.е. значений координат всех частиц в определенный момент времени а в выкладках она зависит еще и от скоростей.

Пардон? Лагранжиан в общем случае заадется на расширенном фазовом пространстве — т.е. на $\mathcal{TM}\times \mathbb R$, где $\mathcal{TM}$ — касательное расслоение гладкого многообразия $\mathcal M$, которое рассматривается в качестве конфигурационного пространства.

[Munin]

OlegML в сообщении #507383 писал(а):

В том то и вопрос, почему функция рассматривается в пространстве конфигураций, т.е. значений координат всех частиц в определенный момент времени а в выкладках она зависит еще и от скоростей.

Функция Лагранжа не рассматривается в пространстве конфигураций. Это траектории движения, которые варьируются, рассматриваются в пространстве конфигураций. Если их рассматривать в фазовом пространстве, то придётся варьировать $p(t)$ и $q(t)$ независимо, а потом ещё накладывать условия связей $p=\dot{q}.$ А системы со связями в общем случае высшая ступень знания, поэтому при изложении основ так не делают.

[Mega Sirius12]

мне кажется, Лагранжева механика выглядит не совсем физично
Как частица может выбирать свой путь?
Она знает только то, что ей положено делать в определенный момент времени, не заглядывая вперед

[Munin]

О, она полтора столетия была диковинным математическим фокусом, пока в квантовой механике в интерпретации интеграла по траекториям не выяснилось, что частица действительно выбирает свой путь, и как она это делает.

[Mega Sirius12]

и если переходить к классическому пределу, то все встает на свои места

[OlegML]

Munin в сообщении #507582 писал(а):

частица действительно выбирает свой путь, и как она это делает.

А что же выяснилось, из каких соображений она выбирает свой путь?

[Munin]

OlegML в сообщении #507617 писал(а):

А что же выяснилось, из каких соображений она выбирает свой путь?

Фейнман прочитал популярные лекции на эту тему, изданные как книжка "КЭД - странная теория света и вещества". Рекомендую.