Первый метод, наглядный. Допустим,

. Тогда

-- это просто

. Взгляните сюда:
WolframAlpha, a^3=1, там где все три корня изображены красными точками на комплексной плоскости. Они все удалены от центра на единичное расстояние и расположены абсолютно симметрично, как лопасти трехлопастного пропеллера. Их аргументы (угловые координаты) равны

,

и

. Если теперь истолковать эти точки как концы векторов, то чему будет равна их сумма, при полной симметрии? Только нулю.
Обозначим
номером 0 красную точку

(правая),
номером 1 красную точку

(левая верхняя),
номером 2 красную точку

(левая нижняя).
Как ведут себя величины

, если их возвести в степень

? Они не изобретают ничего нового, а попадают в эти же точки. Я составлю таблицу, в какие точки (по номерам) попадают соответственно

для разных

:










Заметили закономерность?

стоит на месте.

вращается против часовой стрелки со скоростью одна точка за один шаг.

вращается то ли против часовой стрелки с двойной скоростью, то ли по часовой с одинарной (что неразличимо).
Каждый третий шаг все собираются в точке с номером

, которой соответствует число

.
Второй метод, формальный.

Здесь применена формула для суммы геометрической прогрессии. Если

кратно

, формулой пользоваться нельзя, она дает

. Но если некратно, то в числителе

, а в знаменателе -- нет, то есть вся дробь равна нулю.