Найти сумму коэффициентов

[Unconnected]

Найти сумму коэффициентов $(x^{2}-x+1)^{100}$ при иксах, степени которых делятся на 3.
Нашёл два комплексных корня, представил в виде двух скобок, их пробовал раскладывать в бином.. но что-то там мутно, препод сказал подставлять там некоторые числа, сложить и поделить (умножить, подытожить)), и не сказал, почему так)

[Хорхе]

Правильно, сумма коэффициентов при кратных трем степенях для произвольного многочлена $P$ равна $\frac13 \sum_{a^3=1} P(a),$ где сумма берется по комплексным корням из единицы.

Подумайте, почему. Возьмите, может, многочлен малой степени.

[Unconnected]

Т.е. $\alpha$ - это комплексный корень 3ей степени из единицы (и всего их 3)? А почему так, непонятно.

[svv]

Пусть $a_k=e^{\frac{2\pi k}3 i}$, т. е. $a_0=1, \;\;a_1=e^{\frac{2\pi}3 i}, \;\;a_2=e^{\frac{4\pi}3 i}$ .
Найдите $a_0^n+a_1^n+a_2^n$ в случае, если $n$ кратно $3$ и в случае, если некратно.

[Unconnected]

Нуу если кратно 3, то будет $1+e^{2\pi\cdot i}+e^{4\pi\cdot i}$, а если не кратно - почти то же, и в знаменателе 3.. Но что толку, синуса-то нет перед показателем.

[svv]

Правильно (ну, почти).
Но посмотрите, какая огромная разница проистекает из этого небольшого нюанса:
WolframAlpha, 1+exp(2*pi*i)+exp(4*pi*i)
WolframAlpha, 1+exp(2*pi/3*i)+exp(4*pi/3*i)

[Unconnected]

А там в формуле на вольфраме ошибки нет случайно? Из показателя половина убежала..

[svv]

В формулах, может и есть, но результаты точно правильные.
Все просто:
$1+e^{\frac {2\pi}3 i}+e^{\frac {4\pi} 3 i}=1+(-\frac 1 2 + \frac {i \sqrt{3}} 2)+(-\frac 1 2 - \frac {i \sqrt{3}} 2) = 0$
$1+e^{\frac {4\pi}3 i}+e^{\frac {8\pi} 3 i}=1+(-\frac 1 2 - \frac {i \sqrt{3}} 2)+(-\frac 1 2 + \frac {i \sqrt{3}} 2) = 0$
$1+e^{\frac {6\pi}3 i}+e^{\frac {12\pi} 3 i}=1+1+1=3$
И так далее.

[Unconnected]

А почему $e^{\frac {2\pi}3 i}=(-\frac 1 2 + \frac {i \sqrt{3}} 2)$ ? И ведь на месте экспоненты может быть любое число?

[svv]

WolframAlpha, exp(2*pi/3*i)
Это по формуле Эйлера:
$e^{ix}=\cos x+i\sin x$
Применим её:
$e^{\frac {2\pi}3 i}=\cos \frac{2\pi}3 + i \sin \frac{2\pi}3 =-\frac 1 2 + i \frac {\sqrt{3}} 2$

Unconnected писал(а):

И ведь на месте экспоненты может быть любое число?

Нет. Посмотрите, Хорхе сказал, что надо находить сумму $P(a)$ по комплексным $a$, удовлетворяющим уравнению $a^3=1$. Я чуть ниже привёл все три комплексных корня этого уравнения:
$a_0=1, \;\;a_1=e^{\frac{2\pi}3 i}, \;\;a_2=e^{\frac{4\pi}3 i}$
Кстати, $a_0$ тоже можно записать в аналогичном виде:
$a_0=e^{\frac{0\pi}3 i}=e^{0}=1$.
Так что все три корня имеют форму $e^{i\varphi}$, где $\varphi=\frac{2\pi n}3$
Достаточно взять $n=0,1,2$. Но другие целые $n$ тоже можно брать, просто они не будут давать ничего нового. Так, например,
$e^{\frac{8\pi}3 i}=e^{\frac{6\pi}3 i} e^{\frac{2\pi}3 i} = e^{2\pi i} e^{\frac{2\pi}3 i} = 1\cdot e^{\frac{2\pi}3 i} = e^{\frac{2\pi}3 i}$

Домашнее задание:
1) покажите с помощью формулы Эйлера, что $e^{2\pi i}=1$;
2) покажите с помощью формулы Эйлера, что $e^{2\pi n i}=1$, где $n$ -- целое.

[Shadow]

Жаль что не было $(x^2+x+1)^{100}$ Тогда сразу можно сказать что сумма коэффициентов будет $3^{99}$ Видно из таблицы ниже:

svv в сообщении #511769 писал(а):

Будем записывать коэффициенты для последовательных степеней $(1+x+x^2)^n, \;n\geqslant 0$, в виде таблицы, в которой строки центрированы -- так, чтобы друг под другом оказались коэффициенты при $x^n$, где $n$ -- номер строки, начиная с нуля:

$$\begin{matrix} _ & _ & _ & _ & 1 & _ & _ & _ & _ \\ _ & _ & _ & 1 & 1 & 1 & _ & _ & _ \\ _ & _ & 1 & 2 & 3 & 2 & 1 & _ & _ \\ _ & 1 & 3 & 6 & 7 & 6 & 3 & 1 & _ \\ 1 & 4 & 10 & 16 & 19 & 16 & 10 & 4 & 1 \end{pmatrix}$$

Несложно показать, что правило построения таблицы таково. Каждое число равно сумме трех чисел: стоящего выше, выше-левее и выше-правее. Отсутствие числа считается нулем. Симметричность таблицы -- очевидное следствие этого правила построения.

Т.к каждый элемент таблицы - сумма трех верхних, то сумма кратных 3 коэффициентов будет просто сумма предыдущего ряда. А он степень тройки. Но из-за $-x$, по модулю коэффициенты те же, но знаки чередуются (последий ряд будет 1,-4,10,-16,19,-16...)

[Unconnected]

Так, ну с формулой Эйлера всё понятно (на что расчитывал препод, когда давал задачу, мы ведь это не проходили..). Насчёт д\з - очевидно, подставить в формулу :)
Хорошо, нашли три комплексных кубических корня из 1 (кстати, наверное можно было Эйлера и не напрягать, а возводить в степень тригонометрической Муавра), но так и откуда это:

Цитата:

Хорхе сказал, что надо находить сумму $P(a)$ по комплексным $a$, удовлетворяющим уравнению $a^3=1$. Я чуть ниже привёл все три комплексных корня этого уравнения:

Какая связь между корнями из 1 и суммой коэффициентов? Там же степень икса должна быть кратна 3, мы его вообще не упоминали еще..

(Оффтоп)

Заметка дилетанта: всё-таки занятно, $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ приравниваются числа, которые как бы мнимые, нельзя отметить на вещественной оси, а просто обладают одинаковыми свойствами, что ли..

[svv]

svv писал(а):

Хорхе сказал, что надо находить сумму $P(a)$ по комплексным $a$, удовлетворяющим уравнению $a^3=1$. Я чуть ниже привёл все три комплексных корня этого уравнения:

Unconnected писал(а):

Какая связь между корнями из 1 и суммой коэффициентов? Там же степень икса должна быть кратна 3, мы его вообще не упоминали еще.

Ситуация примерно такая: дерево подпилили со всех сторон, но оно ещё продолжает стоять. Но одно небольшое усилие, и оно упадет.

Хорхе предложил формулу
$\frac13 \sum_{a^3=1} P(a)=\frac 1 3 \left( P(a_0)+P(a_1)+P(a_2) \right)$, где $a_0=1, \;\;a_1=e^{\frac{2\pi}3 i}, \;\;a_2=e^{\frac{4\pi}3 i}$,
которая работает как фильтр: она пропускает коэффициенты при степенях, кратных трем, и отфильтровывает при некратных трем. Давайте проверим это. Пусть $P(x)=\sum\limits_{k=0}^n c_k x^k$, тогда формула даёт
$\frac 1 3 \left( \sum\limits_{k=0}^n c_k a_0^k+\sum\limits_{k=0}^n c_k a_1^k+\sum\limits_{k=0}^n c_k a_2^k \right) = \frac 1 3 \sum\limits_{k=0}^n c_k \left( a_0^k+a_1^k+a_2^k\right)$
А теперь только вспомните, что $a_0^k+a_1^k+a_2^k$ равно $3$, если $k$ кратно $3$, и равно $0$ в противном случае.

[Unconnected]

А, вот теперь поняятно -) Только один момент, который наверное откуда-то следует.. то, что если в $a_0^k+a_1^k+a_2^k=3$, k кратно 3, это понятно, там в степени сократится при любых k, и всегда будет 1. А вот то, что $a_0^k+a_1^k+a_2^k=0$ при k не кратном 3, т.е. они взаимно уничтожатся - не очень очевидно.. т.е. как до этого дотумкать-то можно было)

[svv]

Первый метод, наглядный. Допустим, $k=1$. Тогда $a_0^k+a_1^k+a_2^k$ -- это просто $a_0+a_1+a_2$. Взгляните сюда: WolframAlpha, a^3=1, там где все три корня изображены красными точками на комплексной плоскости. Они все удалены от центра на единичное расстояние и расположены абсолютно симметрично, как лопасти трехлопастного пропеллера. Их аргументы (угловые координаты) равны $0°$, $2\pi/3=120°$ и $4\pi/3=240°$. Если теперь истолковать эти точки как концы векторов, то чему будет равна их сумма, при полной симметрии? Только нулю.

Обозначим
номером 0 красную точку $a_0=e^{\frac {0\pi i}3}=1$ (правая),
номером 1 красную точку $a_1=e^{\frac {2\pi i}3}$ (левая верхняя),
номером 2 красную точку $a_2=e^{\frac {4\pi i}3}$ (левая нижняя).
Как ведут себя величины $a_0, a_1, a_2$, если их возвести в степень $k$? Они не изобретают ничего нового, а попадают в эти же точки. Я составлю таблицу, в какие точки (по номерам) попадают соответственно $a_0^k, a_1^k, a_2^k$ для разных $k$:
$k=0:\;\; 0,0,0$
$k=1:\;\; 0,1,2$
$k=2:\;\; 0,2,1$
$k=3:\;\; 0,0,0$
$k=4:\;\; 0,1,2$
$k=5:\;\; 0,2,1$
$k=6:\;\; 0,0,0$
$k=7:\;\; 0,1,2$
$k=8:\;\; 0,2,1$
$k=9:\;\; 0,0,0$
Заметили закономерность?
$a_0^k$ стоит на месте.
$a_1^k$ вращается против часовой стрелки со скоростью одна точка за один шаг.
$a_2^k$ вращается то ли против часовой стрелки с двойной скоростью, то ли по часовой с одинарной (что неразличимо).
Каждый третий шаг все собираются в точке с номером $0$, которой соответствует число $a_0=1$.

Второй метод, формальный. $a_0^k+a_1^k+a_2^k=e^{\frac{0\pi k i}3}+e^{\frac{2\pi k i}3}+e^{\frac{4\pi k i}3}=\frac{1-e^{2\pi k i}}{1-e^{\frac{2\pi k i}3}}$
Здесь применена формула для суммы геометрической прогрессии. Если $k$ кратно $3$, формулой пользоваться нельзя, она дает $0/0$. Но если некратно, то в числителе $0$, а в знаменателе -- нет, то есть вся дробь равна нулю.