Электродинамика Гельмгольца

[Someone]

Зиновий писал(а):

Вы уже который раз взываете о предоставлении Вам каких-то аргументов.(???)
По Вашей просьбе я не поленился и вынес на форум систему уравнений электрических и магнитных полей Гельмгольца.
Вместо выяснения неясных Вам моментов, Вы начали их безграмотно трансформировать в уравнения электродинамики Максвелла, ...

Врёте совершенно нагло и бездарно. Ничего я не трансформировал. Вот то, что написали Вы:

Зиновий писал(а):

http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=50846#50846
Система уравнений вихревых электромагнитных полей по Гельмгольцу $$rotB= \mu \mu_0 J_T + \frac {1} {c^2 _T} \frac {\delta E_T} {\delta t}$$, $$rotE_T = - \frac {\delta B} {\delta t}$$ и $$divB \equiv divE_T \equiv divJ \equiv 0$$.
Где:
$E_T$- вихревая составляющая вектора электрической напряженности;
$B$- вектор магнитной индукции;
$c _T$- скорость распространения вихревых электрического и магнитного полей равная скорости света.
Система уравнений электрического градиентного поля по Гельмгольцу $$divgrad \varphi = - \frac {\rho} {\varepsilon \varepsilon_0} + \frac {1} {c^2} \frac {\delta^2 \varphi} {\delta t^2}$$ и $$E\equiv - grad \varphi$$.
Где:
$\varphi$- скалярный потенциал электрического безвихревого поля;
$E$- напряженность электрического безвихревого поля;
с- скорость распространения электрического безвихревого поля, отличная от скорости света.

Вот то, что написал я:

Someone писал(а):

http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=50925#50925

$$\begin{cases}\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits\vec B=\mu\mu_0\vec J+\frac 1{c_T^2}\frac{\partial\vec E_T}{\partial t}\text{,}\\ \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits\vec E_T=-\frac{\partial\vec B}{\partial t}\text{,}\\ \mathop{\mathrm{div}}\nolimits\vec B=\mathop{\mathrm{div}}\nolimits\vec E_T=\mathop{\mathrm{div}}\nolimits\vec J=0\end{cases}$$

и

$$\begin{cases}\mathop{\Delta}\nolimits\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon\varepsilon_0}+\frac 1{c^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}\text{,}\\ \vec E=-\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits\varphi\text{.}\end{cases}$$

Что я сделал? Объясняю, раз Вы этого не в состоянии понять:
1) обозначил частные производные так, как их обозначают все, кроме Вас;
2) явно указал векторные величины, расставив над ними стрелочки (мне так больше нравится).
Что Вам здесь не нравится?
Осталась неясность с обозначениями $J_T$ и $J$. Это похоже на опечатку, и я у Вас об этом спросил: одно и то же это или нет? Вы ответить не соизволили. Может быть, Вы сами этого не знаете? Взяв дивергенцию от обеих частей первого уравнения, мы сразу получим $\mathop{\mathrm{div}}\nolimits\vec J_T=0$, поэтому мне непонятно, зачем нужны две различные величины $\vec J_T$ и $\vec J$, удовлетворяющие одному и тому же уравнению и обозначающие, по всей видимости, ток. У Вас эти величины не определены. До получения внятных разъяснений буду считать, что это одно и то же.

Зиновий писал(а):

... вопрошая, "что нового?".

Где я спрашивал: "что нового"?

Зиновий писал(а):

Какие Вам нужны, после такого подхода с Вашей стороны, "аргументы"?
Обсуждайте на здоровье электродинамику Максвелла, но в соответствующей теме.

Аргументы нужны по следующим пунктам.

1) В цитате, приведённой Варягом, сказано:

Цитата:

http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=50705#50705
В теории Гельмгольца, так же как и у Максвелла, рассматривается ток смещения. Только он определяется не величиной $\frac{\partial\vec D}{\partial t}$, а величиной $\frac{\partial\vec P}{\partial t}$, где $\vec P$ — вектор поляризации среды. Из теории Гельмгольца следует существование электрических и магнитных волн, только их скорость не равна скорости света. Кроме того, в среде существуют и продольные электрические волны

В Вашей системе отсутствует $\frac{\partial\vec P}{\partial t}$, зато, как и у Максвелла, присутствует $\frac{\partial\vec E_T}{\partial t}$. Если в первой из Ваших систем положить $\vec J_T=\vec 0$, то получится система уравнений Максвелла в вакууме. Следовательно, в вакууме получаются точно такие же электромагнитные волны, как и у Максвелла, в то время как в цитате прямо сказано, что у Гельмгольца волны совсем другие: они не электромагнитные, а отдельно электрические и магнитные, да ещё и распространяются не со скоростью света.
Вывод: представленная Вами система уравнений не имеет отношения к теории Гельмгольца.

2) Уравнение неразрывности, выражающее закон сохранения электрического заряда, имеет вид $\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathop{\mathrm{div}}\nolimits\vec J=0$, где $\rho$ - плотность заряда, $\vec J$ - плотность тока. Это уравнение выводится из предположений, что заряд сохраняется, и что ток является движением зарядов.
В Вашей же системе написано $\mathop{\mathrm{div}}\nolimits\vec J=0$. Это не позволяет считать ток движением зарядов: Ваш "ток" не может изменять пространственное распределение зарядов, а движение зарядов не является током. И то, и другое явно противоречит твёрдо установленным фактам.

3) Непонятен физический смысл члена $\frac 1{c^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}$ во второй системе. Какие экспериментально установленные факты он отражает?

[Зиновий]

Someone писал(а):

Зиновий писал(а):

Вы уже который раз взываете о предоставлении Вам каких-то аргументов.(???)
По Вашей просьбе я не поленился и вынес на форум систему уравнений электрических и магнитных полей Гельмгольца.
Вместо выяснения неясных Вам моментов, Вы начали их безграмотно трансформировать в уравнения электродинамики Максвелла, ...

Врёте совершенно нагло и бездарно. Ничего я не трансформировал. Вот то, что написали Вы:

На сей раз, учитывая, что Вы действительно спрашиваете, оставляю это Ваше хамство без внимания.
В дальнейшем, при повторе, Вам будет отказано в общении.

Someone писал(а):

Зиновий писал(а):

http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=50846#50846
Система уравнений вихревых электромагнитных полей по Гельмгольцу $$rotB= \mu \mu_0 J_T + \frac {1} {c^2 _T} \frac {\delta E_T} {\delta t}$$, $$rotE_T = - \frac {\delta B} {\delta t}$$ и $$divB \equiv divE_T \equiv divJ \equiv 0$$.
Где:
$E_T$- вихревая составляющая вектора электрической напряженности;
$B$- вектор магнитной индукции;
$c _T$- скорость распространения вихревых электрического и магнитного полей равная скорости света.
Система уравнений электрического градиентного поля по Гельмгольцу $$divgrad \varphi = - \frac {\rho} {\varepsilon \varepsilon_0} + \frac {1} {c^2} \frac {\delta^2 \varphi} {\delta t^2}$$ и $$E\equiv - grad \varphi$$.
Где:
$\varphi$- скалярный потенциал электрического безвихревого поля;
$E$- напряженность электрического безвихревого поля;
с- скорость распространения электрического безвихревого поля, отличная от скорости света.

Вот то, что написал я:

Someone писал(а):

http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=50925#50925

$$\begin{cases}\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits\vec B=\mu\mu_0\vec J+\frac 1{c_T^2}\frac{\partial\vec E_T}{\partial t}\text{,}\\ \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits\vec E_T=-\frac{\partial\vec B}{\partial t}\text{,}\\ \mathop{\mathrm{div}}\nolimits\vec B=\mathop{\mathrm{div}}\nolimits\vec E_T=\mathop{\mathrm{div}}\nolimits\vec J=0\end{cases}$$

и

$$\begin{cases}\mathop{\Delta}\nolimits\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon\varepsilon_0}+\frac 1{c^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}\text{,}\\ \vec E=-\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits\varphi\text{.}\end{cases}$$

Что я сделал? Объясняю:
1) обозначил частные производные так, как их обозначают все, кроме Вас; (за что вам отдельное спасибо, т.к. я не нашел, как обозначить дельту частной производной. Но не надо было из этого устраивать пожар. - Зиновий)
2) явно указал векторные величины, расставив над ними стрелочки (мне так больше нравится).
Что Вам здесь не нравится? (это не обязательный прием, чаще обозначают жирным шрифтом с наклоном. - Зиновий)
Осталась неясность с обозначениями $J_T$ и $J$. Это похоже на опечатку, и я у Вас об этом спросил: одно и то же это или нет? Вы ответить не соизволили. Может быть, Вы сами этого не знаете? Взяв дивергенцию от обеих частей первого уравнения, мы сразу получим $\mathop{\mathrm{div}}\nolimits\vec J_T=0$, поэтому мне непонятно, зачем нужны две различные величины $\vec J_T$ и $\vec J$, удовлетворяющие одному и тому же уравнению и обозначающие, по всей видимости, ток. У Вас эти величины не определены. До получения внятных разъяснений буду считать, что это одно и то же.

Вот это и называется " безграмотная трансформация".
Возьмите векторный анализ и посмотрите, чем отличается вектор векторного поля отличный от нуля, но дивергенция которого равна нулю тождественно, от вектора векторного поля также отличного от нуля, но дивергенция которого просто равна нулю?
Аналогично для операции ротор.
Когда Вы это поймете, то вопрос о Вашей трансформации уравнений Гельмгольца у Вас автоматически отпадет.
Подсказка.
Наверно не зря в уравнениях Гельмгольца кое где фигурируют не простые равенства, а тождества, которые Вы с легкостью заменили на простые равенста?
Надеюсь, что к этому моменту Вы уже поймете, что $J_T$ не тоже самое, что $J$ и в чем между ними разница (преподаватель мат. топологии должен это чувствовать нутром).

Someone писал(а):

Зиновий писал(а):

... вопрошая, "что нового?".

Где я спрашивал: "что нового"?

Самой оценкой своих преобразований.

Someone писал(а):

Зиновий писал(а):

Какие Вам нужны, после такого подхода с Вашей стороны, "аргументы"?
Обсуждайте на здоровье электродинамику Максвелла, но в соответствующей теме.

Аргументы нужны по следующим пунктам.

1) В цитате, приведённой Варягом, сказано:

Цитата:

http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=50705#50705
В теории Гельмгольца, так же как и у Максвелла, рассматривается ток смещения. Только он определяется не величиной $\frac{\partial\vec D}{\partial t}$, а величиной $\frac{\partial\vec P}{\partial t}$, где $\vec P$ — вектор поляризации среды. Из теории Гельмгольца следует существование электрических и магнитных волн, только их скорость не равна скорости света. Кроме того, в среде существуют и продольные электрические волны

В Вашей системе отсутствует $\frac{\partial\vec P}{\partial t}$, зато, как и у Максвелла, присутствует $\frac{\partial\vec E_T}{\partial t}$. Если в первой из Ваших систем положить $\vec J_T=\vec 0$, то получится система уравнений Максвелла в вакууме. Следовательно, в вакууме получаются точно такие же электромагнитные волны, как и у Максвелла, в то время как в цитате прямо сказано, что у Гельмгольца волны совсем другие: они не электромагнитные, а отдельно электрические и магнитные, да ещё и распространяются не со скоростью света.
Вывод: представленная Вами система уравнений не имеет отношения к теории Гельмгольца.

2) Уравнение неразрывности, выражающее закон сохранения электрического заряда, имеет вид $\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathop{\mathrm{div}}\nolimits\vec J=0$, где $\rho$ - плотность заряда, $\vec J$ - плотность тока. Это уравнение выводится из предположений, что заряд сохраняется, и что ток является движением зарядов.
В Вашей же системе написано $\mathop{\mathrm{div}}\nolimits\vec J=0$. Это не позволяет считать ток движением зарядов: Ваш "ток" не может изменять пространственное распределение зарядов, а движение зарядов не является током. И то, и другое явно противоречит твёрдо установленным фактам.

3) Непонятен физический смысл члена $\frac 1{c^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}$ во второй системе. Какие экспериментально установленные факты он отражает?

По 1).
Т.е. сообразить, что вектор поляризации равен вектору напряженности электрического поля умноженному на константу, которая будучи подставленная во все уравнения сократится, Вы не в состоянии.
Это понятно.
По 2).
В замкнутом контуре течет ток, дивергенция которого не просто равна нулю, а равна нулю тождественно (например, ток индукции в замкнутом электропроводящем витке).
Естественно, что этот ток не меняет распределение зарядов.
Вы полагаете, что такой ток не связан с электрическими зарядами, или Вы отрицаете сам факт существования подобного тока?
По 3).
$\frac 1{c^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}$ отображает объемную плотность электрических зарядов поляризации в окружающем пространстве.
Факт их наличия был доказан открытием Теслой продольных электрических волн.

[Developer]

Зиновий писал(а):

Developer писал(а):

Зиновий Исаакович! Поясните, пожалуйста, в какой последовательности нужно выполнять действия формальной теории поля типа $rot(rot(rot\vec a))$?
У Вас в нетленном труде о "несостоятельности..." результат выглядит как "минус оператор Лапласа над вихрем вектора $\vec a$", а если эти действия выполнять, как и положено, справа налево по порядку вектор за вектором, то и результат будет иной, - "минус вихрь над оператором Лапласа от вектора $\vec a$".

1. ... можно расписать действие соответствующих операторов и убедиться в тождественности искомых результатов.
2. Если уж быть корректным, то в работе, в данном выражении, фигурирует не оператор Лапласа, а набла квадрат.
Математику надо знать.

Спасибо огромное!!!
Вопросов больше нет...

[Someone]

Зиновий писал(а):

Вот это и называется " безграмотная трансформация".
Возьмите векторный анализ и посмотрите, чем отличается вектор векторного поля отличный от нуля, но дивергенция которого равна нулю тождественно, от вектора векторного поля также отличного от нуля, но дивергенция которого просто равна нулю?
Аналогично для операции ротор.

Ну-ка, ну-ка, это уже чрезвычайно интересно! Объясните-ка нам всем, "чем отличается вектор векторного поля отличный от нуля, но дивергенция которого равна нулю тождественно, от вектора векторного поля также отличного от нуля, но дивергенция которого просто равна нулю" во всех точках? Другими словами, объясните нам, чем отличается функция, тождественно равная нулю, от функции, равной нулю во всех точках.

Зиновий писал(а):

Надеюсь, что к этому моменту Вы уже поймете, что $J_T$ не тоже самое, что $J$ и в чем между ними разница (преподаватель мат. топологии должен это чувствовать нутром).

Будьте любезны сформулировать определения векторов $\vec J_T$ и $\vec J$, чтобы я не занимался разгадыванием Ваших загадок.

Зиновий писал(а):

По 1).
Т.е. сообразить, что вектор поляризации равен вектору напряженности электрического поля умноженному на константу, которая будучи подставленная во все уравнения сократится, Вы не в состоянии.
Это понятно.

Не пройдёт. В уравнении Максвелла присутствует член $\frac{\partial\vec D}{\partial t}$, причём, $\vec D=\varepsilon_0\vec E+\vec P$, где $\vec P$ - вектор поляризации среды, а в уравнении Гельмгольца, как утверждается в ссылке, предоставленной Варягом, - член $\frac{\partial\vec P}{\partial t}$. В вакууме $\vec P=\vec 0$ (если хотите - тождественно, то есть, во всех точках). Поэтому в уравнении Максвелла остаётся $\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}$, как и в Вашем уравнении, а в уравнении Гельмгольца - $\vec 0$.

Зиновий писал(а):

По 2).
В замкнутом контуре течет ток, дивергенция которого не просто равна нулю, а равна нулю тождественно (например, ток индукции в замкнутом электропроводящем витке).
Естественно, что этот ток не меняет распределение зарядов.
Вы полагаете, что такой ток не связан с электрическими зарядами, или Вы отрицаете сам факт существования подобного тока?

Не пройдёт. Случай, когда ток не изменяет распределения зарядов, является достаточно частным. Мы же постоянно наблюдаем изменения пространственного распределения зарядов. Если считать, что дивергенция любого тока должна быть равна нулю, то перемещение зарядов, изменяющее их пространственное распределение, током не является. Если общее перемещение зарядов током не является, то почему током является перемещение в некотором специальном случае?

Зиновий писал(а):

По 3).
$\frac 1{c^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}$ отображает объемную плотность электрических зарядов поляризации в окружающем пространстве.
Факт их наличия был доказан открытием Теслой продольных электрических волн.

Не пройдёт. Например, в плазме продольные электрические волны существуют и описываются в рамках соответствующей теории, основанной на уравнениях Максвелла. Но Ваша-то система уравнений работает и в вакууме, где никаких зарядов нет. Какая там поляризация и откуда взялась ненулевая объёмная плотность зарядов?

[Зиновий]

Someone писал(а):

Зиновий писал(а):

Вот это и называется " безграмотная трансформация".
Возьмите векторный анализ и посмотрите, чем отличается вектор векторного поля отличный от нуля, но дивергенция которого равна нулю тождественно, от вектора векторного поля также отличного от нуля, но дивергенция которого просто равна нулю?
Аналогично для операции ротор.

Ну-ка, ну-ка, это уже чрезвычайно интересно! Объясните-ка нам всем, "чем отличается вектор векторного поля отличный от нуля, но дивергенция которого равна нулю тождественно, от вектора векторного поля также отличного от нуля, но дивергенция которого просто равна нулю" во всех точках? Другими словами, объясните нам, чем отличается функция, тождественно равная нулю, от функции, равной нулю во всех точках.

1. Ваше весьма смелое заявление о том, что векторное поле, дивергенция которого равна нулю тождественно, равно нулю тождественно и само, больше подходит студенту первокурснику, который только начал знакомиться с основами векторного анализа, а не преподавателю мат. топологии.
Т.е. Вы, как преподаватель-математик, полагаете, что, если, для векторного поля $F\equiv rotP$
выполняется условие $divF\equiv 0, то из этого автоматически следует, что $F\equiv 0$???
Ответ жду краткий, ДА или НЕТ.
2. Мне даже как-то неловко обучать преподавателя-математика математическим терминам.
Но Вы меня принудили.
Когда пишут равенство, то это означает "не во всех точках", а в конкретном частном случае.
"Равенство во всех точках" - тождество.

Someone писал(а):

Зиновий писал(а):

Надеюсь, что к этому моменту Вы уже поймете, что $J_T$ не тоже самое, что $J$ и в чем между ними разница (преподаватель мат. топологии должен это чувствовать нутром).

Будьте любезны сформулировать определения векторов $\vec J_T$ и $\vec J$, чтобы я не занимался разгадыванием Ваших загадок.

См. ответ на первый вопрос.

Someone писал(а):

Зиновий писал(а):

По 1).
Т.е. сообразить, что вектор поляризации равен вектору напряженности электрического поля умноженному на константу, которая будучи подставленная во все уравнения сократится, Вы не в состоянии.
Это понятно.

Не пройдёт. В уравнении Максвелла присутствует член $\frac{\partial\vec D}{\partial t}$, причём, $\vec D=\varepsilon_0\vec E+\vec P$, где $\vec P$ - вектор поляризации среды, а в уравнении Гельмгольца, как утверждается в ссылке, предоставленной Варягом, - член $\frac{\partial\vec P}{\partial t}$. В вакууме $\vec P=\vec 0$ (если хотите - тождественно, то есть, во всех точках). Поэтому в уравнении Максвелла остаётся $\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}$, как и в Вашем уравнении, а в уравнении Гельмгольца - $\vec 0$.

Т.е. Вы полагаете, что $\varepsilon _0$ и $\mu_0$ не имеющие физического смысла константы, несмотря на получение через них численного значения скорости распространения ЭМВ?

Someone писал(а):

Зиновий писал(а):

По 2).
В замкнутом контуре течет ток, дивергенция которого не просто равна нулю, а равна нулю тождественно (например, ток индукции в замкнутом электропроводящем витке).
Естественно, что этот ток не меняет распределение зарядов.
Вы полагаете, что такой ток не связан с электрическими зарядами, или Вы отрицаете сам факт существования подобного тока?

Не пройдёт. Случай, когда ток не изменяет распределения зарядов, является достаточно частным. Мы же постоянно наблюдаем изменения пространственного распределения зарядов. Если считать, что дивергенция любого тока должна быть равна нулю, то перемещение зарядов, изменяющее их пространственное распределение, током не является. Если общее перемещение зарядов током не является, то почему током является перемещение в некотором специальном случае?

Я не знаю, что Вы "постоянно наблюдаете".
Электрики наблюдают одно.
Радисты другое.
Оптики третье.
Математики-топологи, как выяснилось, четвертое.
Речь идет об общих уравнениях электродинамики, единых для всех.

Someone писал(а):

Зиновий писал(а):

По 3).
$\frac 1{c^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}$ отображает объемную плотность электрических зарядов поляризации в окружающем пространстве.
Факт их наличия был доказан открытием Теслой продольных электрических волн.

Не пройдёт. Например, в плазме продольные электрические волны существуют и описываются в рамках соответствующей теории, основанной на уравнениях Максвелла. Но Ваша-то система уравнений работает и в вакууме, где никаких зарядов нет. Какая там поляризация и откуда взялась ненулевая объёмная плотность зарядов?

1. Причем здесь "плазма"?
В каком моем сообщении Вы нашли слово "плазма"?
2. С вопросом по поляризации вакуума, обратитесь к Гельмгольцу, Герцу и Тесле.
Кстати, кое-что по данному вопросу, Вы можете найти у Ньютона, Фарадея и Максвелла.
"Токи смещения в вакууме" Вас не смущают, а "заряды поляризации в вакууме" смутили.
Какая-то странная избирательность...
Обратитесь к Варяг-у, он поможет с литературой.

[Someone]

Зиновий писал(а):

Someone писал(а):

Зиновий писал(а):

Вот это и называется " безграмотная трансформация".
Возьмите векторный анализ и посмотрите, чем отличается вектор векторного поля отличный от нуля, но дивергенция которого равна нулю тождественно, от вектора векторного поля также отличного от нуля, но дивергенция которого просто равна нулю?
Аналогично для операции ротор.

Ну-ка, ну-ка, это уже чрезвычайно интересно! Объясните-ка нам всем, "чем отличается вектор векторного поля отличный от нуля, но дивергенция которого равна нулю тождественно, от вектора векторного поля также отличного от нуля, но дивергенция которого просто равна нулю" во всех точках? Другими словами, объясните нам, чем отличается функция, тождественно равная нулю, от функции, равной нулю во всех точках.

1. Ваше весьма смелое заявление о том, что векторное поле, дивергенция которого равна нулю тождественно, равно нулю тождественно и само, больше подходит студенту первокурснику, который только начал знакомиться с основами векторного анализа, а не преподавателю мат. топологии.
Т.е. Вы, как преподаватель-математик, полагаете, что, если, для векторного поля $F\equiv rotP$
выполняется условие $divF\equiv 0, то из этого автоматически следует, что $F\equiv 0$???
Ответ жду краткий, ДА или НЕТ.

Зиновий, Вы меня потрясли. Вы, оказывается, не в состоянии правильно понять собственную фразу, в которой длинное выражение "дивергенция вектора векторного поля, отличного от нуля" заменено одним словом "функция".

Зиновий писал(а):

2. Мне даже как-то неловко обучать преподавателя-математика математическим терминам.
Но Вы меня принудили.
Когда пишут равенство, то это означает "не во всех точках", а в конкретном частном случае.
"Равенство во всех точках" - тождество.

А вот в Вашей системе уравнений первое (и второе, кстати) уравнение $rotB= \mu \mu_0 J_T + \frac {1} {c^2 _T} \frac {\delta E_T} {\delta t}$ записано в виде простого равенства, а не тождественного. Означает ли это, что оно выполняется не во всех точках, "а в конкретном частном случае"? И в каком именно, кстати? И знаете ли Вы, что такое решение дифференциального уравнения?

Зиновий писал(а):

Someone писал(а):

Будьте любезны сформулировать определения векторов $\vec J_T$ и $\vec J$, чтобы я не занимался разгадыванием Ваших загадок.

См. ответ на первый вопрос.

"Ответ" на первый вопрос ни в каком смысле не отвечает на второй. Ещё раз прошу сформулировать определения этих векторов. В научных работах принято объяснять обозначения сразу же, а не загадывать читателям загадки.

Зиновий писал(а):

Someone писал(а):

Зиновий писал(а):

По 1).
Т.е. сообразить, что вектор поляризации равен вектору напряженности электрического поля умноженному на константу, которая будучи подставленная во все уравнения сократится, Вы не в состоянии.
Это понятно.

Не пройдёт. В уравнении Максвелла присутствует член $\frac{\partial\vec D}{\partial t}$, причём, $\vec D=\varepsilon_0\vec E+\vec P$, где $\vec P$ - вектор поляризации среды, а в уравнении Гельмгольца, как утверждается в ссылке, предоставленной Варягом, - член $\frac{\partial\vec P}{\partial t}$. В вакууме $\vec P=\vec 0$ (если хотите - тождественно, то есть, во всех точках). Поэтому в уравнении Максвелла остаётся $\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}$, как и в Вашем уравнении, а в уравнении Гельмгольца - $\vec 0$.

Т.е. Вы полагаете, что $\varepsilon _0$ и $\mu_0$ не имеющие физического смысла константы, несмотря на получение через них численного значения скорости распространения ЭМВ?

Зиновий, не уворачивайтесь. Физический смысл названных констант не имеет отношения к вопросу о различиях в уравнениях. В Вашем уравнении присутствует член, совпадающий с соответствующим членом в уравнении Максвелла. В уравнении Гельмгольца стоит совсем другой член, никак не приводящийся к такому виду. Поэтому Ваша система уравнений не совпадает с системой уравнений Гельмгольца, за которую Вы пытаетесь её выдать.

Зиновий писал(а):

Someone писал(а):

Не пройдёт. Случай, когда ток не изменяет распределения зарядов, является достаточно частным. Мы же постоянно наблюдаем изменения пространственного распределения зарядов. Если считать, что дивергенция любого тока должна быть равна нулю, то перемещение зарядов, изменяющее их пространственное распределение, током не является. Если общее перемещение зарядов током не является, то почему током является перемещение в некотором специальном случае?

Я не знаю, что Вы "постоянно наблюдаете".
Электрики наблюдают одно.
Радисты другое.
Оптики третье.
Математики-топологи, как выяснилось, четвертое.
Речь идет об общих уравнениях электродинамики, единых для всех.

Вам никогда не приходилось сталкиваться с изменением пространственного распределения зарядов? Как это может произойти, если дивергенция тока равна нулю? Ответа нет.

Зиновий писал(а):

Someone писал(а):

Зиновий писал(а):

По 3).
$\frac 1{c^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}$ отображает объемную плотность электрических зарядов поляризации в окружающем пространстве.
Факт их наличия был доказан открытием Теслой продольных электрических волн.

Не пройдёт. Например, в плазме продольные электрические волны существуют и описываются в рамках соответствующей теории, основанной на уравнениях Максвелла. Но Ваша-то система уравнений работает и в вакууме, где никаких зарядов нет. Какая там поляризация и откуда взялась ненулевая объёмная плотность зарядов?

1. Причем здесь "плазма"?
В каком моем сообщении Вы нашли слово "плазма"?

А ни в каком. Но это существенный пример.

Зиновий писал(а):

2. С вопросом по поляризации вакуума, обратитесь к Гельмгольцу, Герцу и Тесле.
Кстати, кое-что по данному вопросу, Вы можете найти у Ньютона, Фарадея и Максвелла.
"Токи смещения в вакууме" Вас не смущают, а "заряды поляризации в вакууме" смутили.
Какая-то странная избирательность...
Обратитесь к Варяг-у, он поможет с литературой.

Токи смещения меня не смущают, поскольку это просто изменение электрического поля. Переменное магнитное поле порождает электрическое поле. Почему бы переменному электрическому полю не порождать магнитного? Ситуация совершенно симметричная. А термин "ток смещения" возник просто из аналогии, поскольку этот член складывается с настоящим током и производит такой же эффект.
А вот заряды, возникающие в вакууме "из ничего", меня несколько смущают. Особенно ввиду того обстоятельства, что токи в Вашей "электродинамике" не могут изменять пространственное распределение зарядов.

Кстати, в электродинамике Максвелла для скалярного потенциала (в калибровке Лоренца) получается такое же уравнение, как у Вас, с членом $\frac 1{c^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}$. Здесь он возникает из-за того, что дивергенция векторного потенциала связана со скоростью изменения скалярного, ($\mathop{\mathrm{div}}\nolimits\vec A=-\frac 1c\frac{\partial\varphi}{\partial t}$), а в выражение для электрического поля входит не только скалярный потенциал, но и векторный ($\vec E=-\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits\varphi-\frac 1c\frac{\partial\vec A}{\partial t}$). Таким образом, в электродинамике Максвелла этот член связан с влиянием магнитного поля на электрическое.

P.S. Прошу у всех прощения за избыточное цитирование, но Зиновий явно изо всех сил пытается увильнуть от ответов.

[Developer]

Someone писал(а):

P.S. Прошу у всех прощения за избыточное цитирование, но Зиновий явно изо всех сил пытается увильнуть от ответов.

Я с Вами не во всём согласен, уважаемый Someone (но только относительно доводов Зиновия Исааковича, ибо Ваши доводы по существу обсуждаемых вопросов электродинамики вне всяческих подозрений и, на мой взгляд, вне какой-либо критики).
Зиновий Исаакович в своём труде "Несостоятельность теории электромагнетизма и выход из сложившегося тупика" на 11 страницах вордовского формата А4 с кеглем 10 подробно и без увиливания показал, как, используя причудливую смесь уравнений Максвелла, векторных и скалярных потенциалов, теоремы Гельмгольца и виртуозной эквилибристики операторами векторного анализа и формальной теории поля, получить "настоящую" систему уравнений электродинамики, а не какую-то там "несостоятельную версию Максвелла", чтобы затем из своей настоящей системы уравнений электродинамики выполнить расчёт э.д.с. магнитной индукции во вторичной обмотке катушки индуктивности при протекании переменного тока в первичной катушке.
И каков Вы думаете результат?
А точно такой же, какой у Льва Ландау и Евгения Лифшица в "Теории поля"на стр. 94, только полученный всего в одно действие (видимо из соображений экономии бумаги и в расчёте на некоторую осведомлённость и подготовленность читателей, для которых и предназначалась вся "Теоретическая физика" авторов):
циркуляция вектора электрического поля "по замкнутому контуру, огибающему поверхность", через которую проходит поток магнитного поля, "называется также электродвижущей силой в данном контуре".
Или другими словами авторов: "электродвижущая сила в некотором контуре равна взятой с обратным знаком производной по времени от потока магнитного поля через поверхность, ограничиваемую этим контуром".
Для этого Ландау и Лифшицу понадобилось всего одно уравнение Максвелла $rot\vec E=-\frac 1 c \frac{\partial {\vec H}}{\partial t}}$ и всего одна теорема Стокса, а чтобы Зиновий Исаакович не упрекал меня в незнании систем единиц, я сразу признаюсь, что в записи использована система единиц Хевисайда-Лоренца, в которой магнитная проницаемоть ваккума принята равной единице.

[Зиновий]

Someone писал(а):

Зиновий писал(а):

1. Ваше весьма смелое заявление о том, что векторное поле, дивергенция которого равна нулю тождественно, равно нулю тождественно и само, больше подходит студенту первокурснику, который только начал знакомиться с основами векторного анализа, а не преподавателю мат. топологии.
Т.е. Вы, как преподаватель-математик, полагаете, что, если, для векторного поля $F\equiv rotP$
выполняется условие $divF\equiv 0, то из этого автоматически следует, что $F\equiv 0$???
Ответ жду краткий, ДА или НЕТ.

Зиновий, Вы меня потрясли. Вы, оказывается, не в состоянии правильно понять собственную фразу, в которой длинное выражение "дивергенция вектора векторного поля, отличного от нуля" заменено одним словом "функция".

Я не справшивал Вас о Ваших "потрясениях".
Не вижу ответа на заданный Вам вопрос.
"ДА" или "НЕТ"???
Общение с Вами будет продолжено только после получения от Вас краткого и ясного ответа на заданный Вам вопрос.

[нг]

[mod]Зиновий:
Замечание за злоупотребление цитированием. Исправьте, пожалуйста, Ваше сообщение.[/mod]

[Зиновий]

[quote="нг"][/quote]Прошу извинить!
Исправил.

[Someone]

Зиновий писал(а):

Я не справшивал Вас о Ваших "потрясениях".
Не вижу ответа на заданный Вам вопрос.
"ДА" или "НЕТ"???
Общение с Вами будет продолжено только после получения от Вас краткого и ясного ответа на заданный Вам вопрос.

Зиновий, почему я должен отвечать за глупость, которую Вы придумали сами и приписали мне? Постарайтесь правильно понять, что я написал на самом деле. Я нигде не писал, что если дивергенция векторного поля равна нулю, то и само поле нулевое. Я писал о том, что нет разницы между утверждениями "функция равна нулю тождественно" и "функция равна нулю во всех точках". Подставтье в эти фразы вместо слова "функция" свою фразу "дивергенция вектора векторного поля, отличного от нуля" и посмотрите, что получится.

Также вспомните определение решения дифференциального уравнения.

[Зиновий]

Someone писал(а):

Зиновий писал(а):

Я не справшивал Вас о Ваших "потрясениях".
Не вижу ответа на заданный Вам вопрос.
"ДА" или "НЕТ"???
Общение с Вами будет продолжено только после получения от Вас краткого и ясного ответа на заданный Вам вопрос.

Зиновий, почему я должен отвечать за глупость, которую Вы придумали сами и приписали мне? Постарайтесь правильно понять, что я написал на самом деле. Я нигде не писал, что если дивергенция векторного поля равна нулю, то и само поле нулевое. Я писал о том, что нет разницы между утверждениями "функция равна нулю тождественно" и "функция равна нулю во всех точках". Подставтье в эти фразы вместо слова "функция" свою фразу "дивергенция вектора векторного поля, отличного от нуля" и посмотрите, что получится.

Допустим Вы, действительно, имели ввиду нечто другое, нежели я понял из Вашего сообщения.
Но, тогда, Вы должны признать, что Ваше заявление об идентичности векторов плотности тока $J_T$ и $J $ заданных соотношениями $divJ_T\equiv 0$ и $divJ=0$, и проведенная Вами замена некорректны?
Или вы хотите получить подробное доказательство Вашей ошибки?

[Someone]

Зиновий писал(а):

Допустим Вы, действительно, имели ввиду нечто другое, нежели я понял из Вашего сообщения.
Но, тогда, Вы должны признать, что Ваше заявление об идентичности векторов плотности тока $J_T$ и $J $ заданных соотношениями $div J_T\equiv 0$ и $div J=0$, и проведенная Вами замена некорректны?
Или вы хотите получить подробное доказательство Вашей ошибки?

Я же несколько раз просил Вас дать определения векторов $\vec J_T$ и $\vec J$. Если бы Вы сразу это сделали, половины дискуссии не было бы. Но Вы до сих пор ругаетесь, вместо того, чтобы дать эти определения.
Однако уравнения $\mathop{\mathrm{div}}\nolimits\vec A\equiv 0$ и $\mathop{\mathrm{div}}\nolimits\vec A=0$ означают одно и то же: дивергенция вектора (точнее, векторной функции) $\vec A$ равна нулю во всех точках.
Сравните с другими уравнениями Вашей системы, например, с $rot B=\mu\mu_0 J_T+\frac{1}{c^2_T}\frac{\delta E_T}{\delta t}$. Здесь левая часть равна правой во всех точках или не во всех?

В известной мне литературе запись (дифференциальных) уравнений со знаком $\equiv$ вместо $=$ не встречается.

[Зиновий]

Someone писал(а):

Зиновий писал(а):

Допустим Вы, действительно, имели ввиду нечто другое, нежели я понял из Вашего сообщения.
Но, тогда, Вы должны признать, что Ваше заявление об идентичности векторов плотности тока $J_T$ и $J $ заданных соотношениями $div J_T\equiv 0$ и $div J=0$, и проведенная Вами замена некорректны?
Или вы хотите получить подробное доказательство Вашей ошибки?

Я же несколько раз просил Вас дать определения векторов $\vec J_T$ и $\vec J$. Если бы Вы сразу это сделали, половины дискуссии не было бы. Но Вы до сих пор ругаетесь, вместо того, чтобы дать эти определения.

1. Если бы в своем сообщении Вы ограничились вопросом по отличиям векторов плотности тока у Гельмгольца и Максвелла, то давно бы получили исчерпывающий ответ.
Однако Вы начали фривольно осуществлять трансформацию уравнений Гельмгольца в уравнения Максвелла, игнорируя обязательные свойства векторных функций, опираясь, исключительно, на традиционные - ошибочные методы работы с ними, осуществляя при этом негативные выводы, что и повлекло соответственное развитие дискуссии.
2. Оба вектора плотности тока имеют один и тот же физический смысл, а все отличия их исчерпывающе отображены в уравнениях.
Так:
а) $J_T$ отвечающий условию $divJ_T\equiv 0$ имеет строго вихревой пространственный характер, т.е. $J_T\equiv rotP$, где $P$ - некая векторная функция.
б) $J$ отвечающий условию $divJ=0$, согласно теореме единственности векторного анализа, имеет вид $J\equiv rotP+grad\varphi$ и $grad\varphi$ отличен от нуля в исследуемом пространстве.
Где:
$P$ - некая векторная функция;
$\varphi$ - некая скалярная функция.

Someone писал(а):

Однако уравнения $\mathop{\mathrm{div}}\nolimits\vec A\equiv 0$ и $\mathop{\mathrm{div}}\nolimits\vec A=0$ означают одно и то же: дивергенция вектора (точнее, векторной функции) $\vec A$ равна нулю во всех точках.

Попробуем проверить правильность Вашего утверждения.
Согасно теореме единственности векторного анализа (теорема Гельмгольца) имеем:

Теорема Гельмгольца
Всякое однозначное и непрерывное векторное поле $F$, обращающееся в ноль в бесконечности, может быть представлено, и притом единственным образом, в виде суммы градиента некоторой скалярной функции $\varphi $ и ротора некоторой векторной функции $A$ , дивергенция которой равна нулю:

$F=grad\varphi + rotA$,

$divA=0$,

где:

$\varphi $ - скалярный потенциал поля $F$,

$A$ - векторный потенциал поля $F$ ,

при условии что: ...

К сожалению, даже в формулировке теоремы единственности, в современной трактовке, пренебрегают различием между равенством и тождеством, создавая путаницу и неоднозначность, противоречащую условию единственности.
Посмотрим насколько это допустимо.
Подействуем оператором дивергенция на вектор $F$, записанный согласно теореме единственности:
$divF=divgrad\varphi + divrotA$.
Т.к. $divrotA\equiv 0$, то получаем след. выражение:
$divF=divgrad\varphi$.
Рассмотрим оба случая, когда дивергенция $F$ равна нулю тождественно и просто равна нулю.
1. $divF=divgrad\varphi\equiv 0$.
Т.е. во всех точках поля отсутствуют источники поля.
Из чего следует отсутствие самого поля (см. "Основная задача теории поля").
Т.е.
$grad\varphi\equiv 0$.
2. $divF=divgrad\varphi=0$.
В этом случае, условие отсутствия источников поля наложено на некоторую область поля, не содержащую источники поля, но предполагается их наличие вне этой области (в противном случае равенство было бы тождественное) и, след, мы должны положить что:
$grad\varphi\neq 0$.
Таким образом мы доказали существенную значимость применения равенства или тождества при описании векторных полей.
Следовательно, Ваше предположение о равнозначности равенства и тождества, в данном случае, ошибочно.

Someone писал(а):

Сравните с другими уравнениями Вашей системы, например, с $rot B=\mu\mu_0 J_T+\frac{1}{c^2_T}\frac{\delta E_T}{\delta t}$. Здесь левая часть равна правой во всех точках или не во всех?

В цитируемой Вами части, приведенной мной системы уравнений Гельмгольца, на все векторы наложено условие тождественного равенства нулю дивергенции этих векторов.
След. равенство не нарушается ни в одной точке поля.
Однако, в какой-то части поля есть первичные токи $J_T$, а в какой-то части поля их может и не быть, при наличии отличного от нуля поля $B$.
Вот почему здесь более уместно равенство, а не тождество.

Someone писал(а):

В известной мне литературе запись (дифференциальных) уравнений со знаком $\equiv$ вместо $=$ не встречается.

Именно отсюда и пошла якобы "неоднозначность" определения векторных полей и их потенциалов.
Именно это и маскировало внутреннее противоречие электродинамики Максвелла.

[Someone]

Зиновий писал(а):

К сожалению, даже в формулировке теоремы единственности, в современной трактовке, пренебрегают различием между равенством и тождеством, создавая путаницу и неоднозначность, противоречащую условию единственности.
...
2. $divF=divgrad\varphi=0$.
В этом случае, условие отсутствия источников поля наложено на некоторую область поля, не содержащую источники поля

Извините, Зиновий, но это всё ерунда, которую Вы сами придумали. Поскольку в математике Вы разбираетесь весьма посредственно, то результат оказался плачевным. Всегда условия, выражаемые равенством, предполагаются выполненными во всех точках области, в которой рассматривается система дифференциальных уравнений. Если же предполагается, что равенство выполняется не во всех точках, то полагается указывать, где именно оно выполняется.

Я ведь не зря советовал вспомнить определение решения дифференциального уравнения: функция называется решением дифференциального уравнения в заданной области, если при подстановке этой функции в уравнение получается равенство, верное во всех точках указанной области, то есть, тождественно.

Г.М.Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том III. "Наука", Москва, 1966.

Цитата:

670. Специальные поля.

2) Векторное поле $\vec A$ называется соленоидальным, или трубчатым (от греческого слова σολέν - трубка), если существует векторная величина $\vec B$, для которой $\vec A$ служит вихрем: $\vec A=\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits\vec B$.

Для того, чтобы поле $\vec A$ было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы во всей рассматриваемой области выполнялось равенство $\mathop{\mathrm{div}}\nolimits\vec A=0$.

Зиновий писал(а):

б) $J$ отвечающий условию $divJ=0$, согласно теореме единственности векторного анализа, имеет вид $J\equiv rotP+grad\varphi$ и $grad\varphi$ отличен от нуля в исследуемом пространстве.
Где:
$P$ - некая векторная функция;
$\varphi$ - некая скалярная функция.

Согласно хорошо известной теореме векторного анализа, процитированной выше, $\vec J=\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits\vec P$, и никакой скалярной функции тут нет.

Зиновий писал(а):

1. Если бы в своем сообщении Вы ограничились вопросом по отличиям векторов плотности тока у Гельмгольца и Максвелла, то давно бы получили исчерпывающий ответ.

Я так и не получил определений токов $\vec J_T$ и $\vec J$. Вы, правда, пишете, что

Зиновий писал(а):

2. Оба вектора плотности тока имеют один и тот же физический смысл, а все отличия их исчерпывающе отображены в уравнениях.

Но это никак не может сойти за определение. К тому же очень интересно сопоставить то, что Вы пишете в разных местах:

Зиновий писал(а):

1. $divF=divgrad\varphi\equiv 0$.
Т.е. во всех точках поля отсутствуют источники поля.
Из чего следует отсутствие самого поля (см. "Основная задача теории поля").

Зиновий писал(а):

http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=50846#50846
$divB \equiv divE_T \equiv divJ \equiv 0$

Сопоставляя эти две цитаты, сразу получаем $\vec B=\vec E_T=\vec J=\vec 0$ во всех точках, то есть, тождественно, так как, согласно Вашему же утверждению, тождественное равенство нулю дивергенции векторного поля означает, что поле не имеет источников (что правда), и потому само поле отсутствует. В результате получается, что первая Ваша система имеет только нулевое решение.

Что касается вектора $\vec J_T$, то, взяв дивергенцию от обеих частей уравнения $\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits\vec B=\mu\mu_0\vec J_T+\frac 1{c^2_T}\frac {\partial\vec E_T}{\partial t}$, мы, ввиду условия $\mathop{\mathrm{div}}\nolimits\vec E_T\equiv 0$, сразу получим $\mathop{\mathrm{div}}\nolimits\vec J_T\equiv 0$, откуда, всё по тому же Вашему утверждению, и $\vec J_T=\vec 0$ во всех точках. В итоге первая система ничего, кроме нулей, не даёт.

Зиновий писал(а):

Именно отсюда и пошла якобы "неоднозначность" определения векторных полей и их потенциалов.

Неединственность потенциалов возникает не из-за того, что кто-то заменил знак $\equiv$ знаком $=$. Просто для обеспечения единственности нужно наложить дополнительные условия. Всё равно все понимают равенства как выполняющиеся во всех точках, то есть, тождественно (если прямо не сказано что-нибудь другое). Это только Вы у нас такой оригинал.