Касательно геометрии пространственного трёхмерия в ОТО

[epros]

В. Войтик в сообщении #510371 писал(а):

Однако она должна быть тангенциально жёсткой относительно наблюдателя в начале отсчёта в смысле сохранения относительной ориентации направлений.

Сохранение углов между направлениями обеспечить можно. Но что толку, если на некотором удалении от наблюдателя "линии заданных направлений" могут сближаться и удаляться по-всякому?

В. Войтик в сообщении #510371 писал(а):

Почему?

Не знаю как Вы считали. Пространственная метрика вращающейся СО:
$dl^2 = dr^2 + \frac{r^2}{1 - \Omega^2 r^2} d \varphi$ (координату $\theta$ опускаем).
Отсюда длина окружности вокруг наблюдателя:
$L = \frac{2 \pi R}{\sqrt{1 - \Omega^2 R^2}} \approx 2 \pi R \, (1 + \frac{1}{2} \Omega^2 R^2)$,
так что соответствующая компонента кривизны в точке нахождения наблюдателя пропорциональна $\Omega^2$.

[В. Войтик]

epros в сообщении #510401 писал(а):

В. Войтик в сообщении #510371 писал(а):

Однако она должна быть тангенциально жёсткой относительно наблюдателя в начале отсчёта в смысле сохранения относительной ориентации направлений.

Сохранение углов между направлениями обеспечить можно. Но что толку, если на некотором удалении от наблюдателя "линии заданных направлений" могут сближаться и удаляться по-всякому?

Они могут, но не обязаны. Сделаем так, чтобы эти направления были как у сопутствующей стационарной системы. Тогда они будут сохранять относительную ориентацию.

epros в сообщении #510401 писал(а):

...
так что соответствующая компонента кривизны в точке нахождения наблюдателя пропорциональна $\Omega^2$.

$R=\gamma^{\varphi \varphi}\gamma^{rr}R_{r\varphi r\varphi}=3\frac{\Omega^2}{(1-\Omega^2r^2)^2}$
так, что Вы правы.

[epros]

В. Войтик в сообщении #510485 писал(а):

Сделаем так, чтобы эти направления были как у сопутствующей стационарной системы

Сопутствующая стационарная система это что? Координаты Риндлера для тех же моментальных скорости и ускорения наблюдателя? А вращение?

В. Войтик в сообщении #510485 писал(а):

Тогда они будут сохранять относительную ориентацию.

Если Вы имеете в виду углы между направлениями, то, как я уже говорил, их сохранение обеспечивается соответствующим преобразованием угловых координат. А именно, должно обеспечиваться:
$d\theta^2 + \cos^2 {\theta} ~ d\varphi^2 = d\theta'^2 + \cos^2 {\theta'} ~ d\varphi'^2$.

Вообще, задача построения такой СО в пространстве Минковского не представляет собой ничего особенного. Интересны построения СО покоя заданного наблюдателя в произвольном пространстве-времени.

[В. Войтик]

epros в сообщении #510730 писал(а):

Сопутствующая стационарная система это что? Координаты Риндлера для тех же моментальных скорости и ускорения наблюдателя? А вращение?

В течение малого промежутка $\Delta t$ начала и оси декартовых координат нестационарной системы и мгновенно сопутствующей стационарной системы совпадают. При этом ускорение $\mathbf{W}$ и угловая скорость $\mathbf{\Omega}$ сопутствующей стационарной системы равны ускорению и угловой скорости нестационарной системы. Для другого промежутка времени $\mathbf{W}$ и $\mathbf{\Omega}$ изменяются. То есть берётся другая стационарная система отсчёта.

epros в сообщении #510730 писал(а):

В. Войтик в сообщении #510485 писал(а):

Тогда они будут сохранять относительную ориентацию.

Если Вы имеете в виду углы между направлениями...

Я имею ввиду сохранение положения $\mathbf{r}$ любой точки системы координат нестационарной системы отсчёта. Это приводит к сохранению направления $\frac{\mathbf{r}}{r}$

epros в сообщении #510730 писал(а):

Вообще, задача построения такой СО в пространстве Минковского не представляет собой ничего особенного. Интересны построения СО покоя заданного наблюдателя в произвольном пространстве-времени.

Да, наверное это интересно и думаю это возможно. Но, извините, лично мне математическое построение такой системы отсчёта в римановом пространстве-времени не особо интересно. Мне гораздо интереснее следующие физические следствия.

[epros]

В. Войтик в сообщении #510760 писал(а):

epros в сообщении #510730 писал(а):

Сопутствующая стационарная система это что? Координаты Риндлера для тех же моментальных скорости и ускорения наблюдателя? А вращение?

В течение малого промежутка $\Delta t$ начала и оси декартовых координат нестационарной системы и мгновенно сопутствующей стационарной системы совпадают. При этом ускорение $\mathbf{W}$ и угловая скорость $\mathbf{\Omega}$ сопутствующей стационарной системы равны ускорению и угловой скорости нестационарной системы. Для другого промежутка времени $\mathbf{W}$ и $\mathbf{\Omega}$ изменяются.

Так я ж в сообщении #510198 Вам уже описал простой алгоритм построения того же самого, только без всяких сопутствующих стационарных систем.

В. Войтик в сообщении #510760 писал(а):

epros в сообщении #510730 писал(а):

В. Войтик в сообщении #510485 писал(а):

Тогда они будут сохранять относительную ориентацию.

Если Вы имеете в виду углы между направлениями...

Я имею ввиду сохранение положения $\mathbf{r}$ любой точки системы координат нестационарной системы отсчёта. Это приводит к сохранению направления $\frac{\mathbf{r}}{r}$

"Положение" любой точки сохраняется вообще в любой СО. Просто потому, что "положение" и "точка" - это синонимы.

А вот углы между заданными направлениями могут не сохраняться.

В. Войтик в сообщении #510760 писал(а):

Мне гораздо интереснее следующие физические следствия.

Какие физические следствия?

[В. Войтик]

epros в сообщении #510766 писал(а):

Так я ж в сообщении #510198 Вам уже описал простой алгоритм построения того же самого, только без всяких сопутствующих стационарных систем.

Я же не возражаю. Вы правильно это сделали. Но лично мне ближе сопутствующие стационарные системы. Просто нагляднее.

epros в сообщении #510766 писал(а):

"Положение" любой точки сохраняется вообще в любой СО. Просто потому, что "положение" и "точка" - это синонимы.

Это так. Но положение точки другой системы отсчёта относительно жёсткой (тангенциально нежёсткой) меняется.

epros в сообщении #510766 писал(а):

А вот углы между заданными направлениями могут не сохраняться.

Они сохраняются в сопутствующей стационарной, значит сохраняются в нестационарной. Просто по определению жёсткой нестационарной системы.

epros в сообщении #510766 писал(а):

В. Войтик в сообщении #510760 писал(а):

Мне гораздо интереснее следующие физические следствия.

Какие физические следствия?

Не знаю. Т.е. с пространством Минковского то ясно, а вот в римановом не знаю

[epros]

В. Войтик в сообщении #510775 писал(а):

Но лично мне ближе сопутствующие стационарные системы. Просто нагляднее.

Это иллюзия простоты. На самом деле Вы не определили вращение, а значит Ваша сопутствующая стационарная система пока не построена.

Сравните с моим построением: Выполнение пунктов 1) и 2) даёт нам невращающуюся СО. Это значит, что в любой момент $t = \operatorname{const}$ определены направления, которые "соответствуют" любому заданному направлению в момент $t = 0$. И вращение мы определяем заменой координат, определяющих направления:
$\theta' = f_1(\theta,\varphi,t)$
$\varphi' = f_2(\theta,\varphi,t)$

В. Войтик в сообщении #510775 писал(а):

Т.е. с пространством Минковского то ясно

А что Вам ясно с пространством Минковского?

[В. Войтик]

epros в сообщении #510783 писал(а):

В. Войтик в сообщении #510775 писал(а):

Но лично мне ближе сопутствующие стационарные системы. Просто нагляднее.

Это иллюзия простоты.

Это у Вас иллюзия простоты. Геометрия. Это конечно очень хорошо. Но как Вы на практике построите жёсткую (в том смысле о котором я говорил) нестационарную систему отсчёта без сопутствующей стационарной системы?

epros в сообщении #510783 писал(а):

В. Войтик в сообщении #510775 писал(а):

Т.е. с пространством Минковского то ясно

А что Вам ясно с пространством Минковского?

Ну например то, что длина ускоренной линейки в инерциальной системе зависит не только от скорости какой - либо точки, но и от её ускорения.

[epros]

В. Войтик в сообщении #510790 писал(а):

Но как Вы на практике построите жёсткую (в том смысле о котором я говорил) нестационарную систему отсчёта без сопутствующей стационарной системы?

Уверяю, что это у Вас будут проблемы с построением "на практике" стационарной сопутствующей системы, если Вы сначала не построите невращающуюся систему покоя наблюдателя (можно и сразу нестационарную).

В. Войтик в сообщении #510790 писал(а):

длина ускоренной линейки в инерциальной системе зависит не только от скорости какой - либо точки, но и от её ускорения

Для недеформированной линейки (а деформированная линейка - это нонсенс) это по определению неверно. Хочу Вам заметить, что линейку от нуля до некоторой скорости V можно разогнать без деформации сколь угодно быстро, вплоть до мгновенного изменения скорости каждой точки.

[В. Войтик]

epros в сообщении #510804 писал(а):

Уверяю, что это у Вас будут проблемы с построением "на практике" стационарной сопутствующей системы, если Вы сначала не построите невращающуюся систему покоя наблюдателя (можно и сразу нестационарную).

А какие проблемы Вы видите?

epros в сообщении #510804 писал(а):

В. Войтик в сообщении #510790 писал(а):

длина ускоренной линейки в инерциальной системе зависит не только от скорости какой - либо точки, но и от её ускорения

Для недеформированной линейки (а деформированная линейка - это нонсенс) это по определению неверно. Хочу Вам заметить, что линейку от нуля до некоторой скорости V можно разогнать без деформации сколь угодно быстро, вплоть до мгновенного изменения скорости каждой точки.

Линейка недеформирована в собственной системе отсчёта. Тем не менее её длина в ИСО зависит от ускорения.

[epros]

В. Войтик в сообщении #510822 писал(а):

А какие проблемы Вы видите?

Ну, раз речь была о "практике", давайте и попробуем проверить на практике: Возьмите геоцентрическую СО, в которой направления задаются географическими координатами (с учётом всех движений Земли, включая прецессию и нутации Земной оси), и попробуйте описать в ней движение Солнца. Только по честному - не переходя в СО, ориентированную по звёздам, а руководствуясь исключительно видимым движением Солнца и данными радиолокации. (Вспомним, что от посылки до приёмки отражённого от Солнца сигнала проходит примерно 16 минут и за это время видимое Солнце по небосводу успевает продвинуться примерно на 4 градуса. И фиг знает по какой траектории в этой СО двигался сигнал локатора.)

Интересно, как Вы для начала построите сопутствующую стационарную СО и как Вам это поможет?

В. Войтик в сообщении #510822 писал(а):

Тем не менее её длина в ИСО зависит от ускорения.

Нет, только от скорости. Хотя, разумеется, когда скорость линейки относительно лабораторной ИСО меняется, скорости разных её частей могут не совпадать, а значит понятие "скорость линейки" вообще неприменимо.

[В. Войтик]

epros в сообщении #510867 писал(а):

В. Войтик в сообщении #510822 писал(а):

А какие проблемы Вы видите?

Ну, раз речь была о "практике", давайте и попробуем проверить на практике: Возьмите геоцентрическую СО, в которой направления задаются географическими координатами (с учётом всех движений Земли, включая прецессию и нутации Земной оси), и попробуйте описать в ней движение Солнца. Только по честному - не переходя в СО, ориентированную по звёздам, а руководствуясь исключительно видимым движением Солнца и данными радиолокации. (Вспомним, что от посылки до приёмки отражённого от Солнца сигнала проходит примерно 16 минут и за это время видимое Солнце по небосводу успевает продвинуться примерно на 4 градуса. И фиг знает по какой траектории в этой СО двигался сигнал локатора.)

Интересно, как Вы для начала построите сопутствующую стационарную СО и как Вам это поможет?

По честному наверное будет не привлекать ОТО к этому вопросу. Я ведь уже сказал, что как будет в ОТО я не знаю (т.е. не уверен). Значит ограничиваемся СТО. А раз используем СТО, то я позволю себе уточнить Ваш вопрос. Надо определить положение материальной точки радарным методом в стационарной системе отсчёта. На этот вопрос, если хотите, я могу дать подробный ответ. Разумеется по честному.

Что касается нестационарной жёсткой системы отсчёта, то в СТО (как мы договорились в начале темы) в системе отсчёта существует понятие радиус-вектора материальной точки. Раз существует, то это положение мат. точки, я уверен, тоже можно вычислить радарным методом. Пока не знаю как это делается. Но видимо только численно.

epros в сообщении #510867 писал(а):

В. Войтик в сообщении #510822 писал(а):

Тем не менее её длина в ИСО зависит от ускорения.

Нет, только от скорости. Хотя, разумеется, когда скорость линейки относительно лабораторной ИСО меняется, скорости разных её частей могут не совпадать, а значит понятие "скорость линейки" вообще неприменимо.

От ускорения тоже зависит. А разве я где-то говорил о скорости линейки? Я говорил, что длина линейки зависит от скорости и ускорения её точки выбранной за её начало.

[zbl]

Someone в сообщении #509415 писал(а):

Пишите, я прочту, так что будет не в пустоту. Я тоже не очень хорошо знаю эту разницу.

Мистическая закономерность: чем бы я ни начал, закончу, пересказывая содержание учебников по общей физике...
Правда, тут чуть прогресс: в учебниках этот момент как раз плохо изложен...
Чтобы не только пересказывать Владимирова, а и толкнуть новые идеи, открою ка я ветку, назову "Парадокс Эренфеста 100 лет спустя".
Там основной вопрос как раз и будет, что такое система отсчёта.

[epros]

В. Войтик в сообщении #510936 писал(а):

По честному наверное будет не привлекать ОТО к этому вопросу.

И не надо, давайте считать, что имеем дело с пространством-временем Минковского.

В. Войтик в сообщении #510936 писал(а):

Надо определить положение материальной точки радарным методом в стационарной системе отсчёта. На этот вопрос, если хотите, я могу дать подробный ответ. Разумеется по честному.

Ну, давайте.

В. Войтик в сообщении #510936 писал(а):

От ускорения тоже зависит. А разве я где-то говорил о скорости линейки? Я говорил, что длина линейки зависит от скорости и ускорения её точки выбранной за её начало.

Каким образом может зависеть от ускорения, если по определению длина линейки в СО её покоя всегда должна быть равна количеству делений на ней? Т.е. независимо от каких-либо ускорений.

Допустим, что каждая точка линейки разгоняется до некой скорости V мгновенно. Допустим, что скорость V такова, что длина разогнавшейся линейки в лабораторной ИСО оказывается вдвое короче её длины в СО покоя. Как выглядит картинка разгона в лабораторной ИСО? Очень просто: Сначала со скоростью V начинает двигаться задний конец линейки, потом "волна" ускорения со сверхсветовой скоростью бежит до переднего конца. В каждый момент времени есть движущаяся со скоростью V часть линейки и есть покоящаяся часть линейки. Движущаяся часть сократилась в длине вдвое сравнительно с длиной в СО покоя, а неподвижная часть остаётся прежней длины. Никакая часть линейки не деформирована, ибо её длина в СО покоя осталась прежней.

Где тут зависимость от ускорения? И это при том, что ускорение в некий момент бесконечно?

[Munin]

Утундрий в сообщении #509399 писал(а):

Тут нужно добавить магическое "чтобы имела смысл Задача Коши"

А что, без координат задача Коши смысла не имеет?