Парадокс Эренфеста 100 лет спустя

[zbl]

Парадокс Эренфеста здесь -- это повод разобраться, что такое система отсчёта, зачем она нужна и особенно зачем нужно знать, что она такое.
Сначала организационно-лирическое отступление.

(Оффтоп)

Хочу провести социальный эксперимент.

У подобных веток (моего ли авторства или нет, на этом ли форуме или нет) всегда одна судьба.
Автор делает утверждение или замечание, аудитория делится приблизительно на две категории: те, кто увидели ошибки и те, у кого в голове зароились мысли около темы (другие категории пренебрежимы).
Причём, ни те, ни другие обычно не находят времени и желания хорошенько понять автора.
Ну, и понеслась...

Вот, хочу иначе.
У меня нет времени трепаться.
Хочу, чтобы те, кто желает моего присутствия в этой ветке, только отвечали на мои простые вопросы и ничего, кроме того.
Например, даже прежде, чем говорить "это не правильно", вы должны понять, что именно я утверждал-то, и более того: я должен убедиться, что вы поняли это правильно.
Il est clair?

А технология простая: я сначала расскажу, задам вопрос "понятно ли?", вы продемонстрируете мне, что поняли, а вот уже только потом я спрошу "а согласны вы с этим?" и вы расскажите что не так.
Ни в чём другом я не желаю участвовать.
Если хотите высказать глубокую мыслю по поводу, то, кто ж вам мешает: открывайте ветку "К вопросу о синхронизации часов" и излагайте там.
Здесь же я хочу видеть только то, что я захочу увидеть.

И поверьте, так гораздо интереснее, чем обычные пляски глухарей.

Рассмотрим две инерциальные системы отсчёта (мы все знаем, что это такое, правда ведь?), одна из которых движется относительно другой стандартным образом вдоль оси абсцисс.
Это движение можно задать следующим координатным преобразованием:
$x'=x+Vt;\;t'=t$
Я не зря так витиевато выразился...
Что мы проделали этим? -- мы расчертили пространство-время новыми координатами.
В классической механике это преобразование координат можно было бы трактовать как переход к другой системе отсчёта -- потому, что время и длина абсолютны там.
Поначалу (до конца 60-х) даже так это и трактовали в релятивистской механике тоже: эта замена координат -- это переход к другой системе отсчёта, лишь $t$ и $x$ там не будут длиной и временем, а только координатным временем и пространственной координатой.

Теперь нужно разобраться, почему $t$ и $x$ в движущейся системе не суть даже координаты.
Вообще-то, тут надо начать с того, что же такое координаты, но я пойду с конца -- так проще.
Посмотрим на метрику.
$ds^2=dt'^2 - dx'^2=(1-V^2)dt^2-2Vdtdx-dx^2$
Она, разумеется, от замены координат плоской быть не перестала.
Откроем Ландау и Лифшица параграф "Расстояния и промежутки времени" и посмотрим про синхронизацию часов.
Там есть такая величина, которую я называю дефект синхронизации:
$\Delta t=-\frac{g_{tx} dx}{g_{tt}}=\frac{Vdx}{1-V^2}$
Часы не синхронизируются именно из-за него: он накапливается, когда мы синхронизируем часы вдоль линии, и, когда обойдём замкнутый контур, значения координатного времени в одной и той же точке не совпадут.
Так как временная координата однозначно определяет момент во времени, то с её неоднозначностью неоднозначно и время.

Но мы только что получили дефект синхронизации для двух инерциальных систем отсчёта?
А тут замкнутых контуров нет...
Или это не аргумент? и дефект синхронизации должен быть равен нулю тождественно?...

Истинные (терминология Ландау и Лифшица; мне больше нравится физические) время и длину можно быстро получить, диагонализировав форму $ds^2$ с помощью так называемой леммы расщепления.
$ds^2=dt'^2 - dx'^2=(1-V^2)dt^2-2Vdtdx-dx^2=$
$=\left(\sqrt{1-V^2}dt-\frac{Vdx}{\sqrt{1-V^2}}\right)^2 -\left(\frac{dx}{\sqrt{1-V^2}}\right)^2=$
$=\left(\frac{dt' - Vdx'}{\sqrt{1-V^2}}\right)^2 - \left(\frac{dx' - Vdt'}{\sqrt{1-V^2}}\right)^2.$
Дифференциалы времени и длины, соответственно, будут:
$d\tau=\frac{dt' - Vdx'}{\sqrt{1-V^2}}=d\left(\frac{t' - Vx'}{\sqrt{1-V^2}}\right)$
$d\lambda=\frac{dx' - Vdt'}{\sqrt{1-V^2}}=d\left(\frac{x' - Vt'}{\sqrt{1-V^2}}\right).$
Преобразование дифференциалов получилось голономное (это практически и единственный случай, когда оно голономное), поэтому мы умеем перейти от значений $x'$ и $t'$ к значениям $\tau$ и $\lambda$.

Хотите узнать ответ на только что поднятый вопрос: нулевой ли тождественно дефект синхронизации?
Ведь $\tau$ и $\lambda$ -- это тоже координаты в движущейся системе отсчёта, неправда ли?
Так сосчитайте ка для них величину дефекта синхронизации.
Если сделаете, то я заодно сразу увижу, что вы прекрасно поняли всё, о чём я рассказал...

И вот, координаты, похоже, бывают разные.
Но пока не сосчитаете то, что я просил, только "похоже".

Без вычислений это можно понять, если посмотреть внимательно на координатное преобразование (я его называю опорным) $x'=x+Vt;\;t'=t$.
Ведь, например, $Vt$ -- это что такое? -- это расстояние, которое прошло начало отсчёта движущейся системы за время $t$.
Это значение относительно какой системы отсчёта измеряется? какой? относительно движущейся или относительно лабораторной?
...А какого же чёрта вы называете тогда $x$ координатой в движущейся системе? -- её там измерять ещё ой как надо сообразить, как.
Вот $\lambda$ -- это координата именно в движущейся системе.
Что это так, есть масса разных умных умозаключений, одно из которых (не самое простое) приведено у Ландау и Лифшица.
Зельманов в своей диссертации поставил себе целью вывести выражения для дифференциалов $d\tau$ и $d\lambda$ через $dt'$ и $dx'$ из самых-самых-самых общих соображений... общее некуда... и вывел даже так...
Нет причин сомневаться поэтому, что $d\tau$ и $d\lambda$ -- это дифференциалы именно физических времени и длины.

Вот теперь можно в первом приближении попытаться разобраться в том, что такое система отсчёта.
Если у нас есть лабораторная инерциальная система отсчёта, то мы можем задать движение наблюдателей другой системы отсчёта относительно лабораторной.
Но это всё, что можно; этого мало, чтобы до конца задать движущуюся систему.
Нужно ещё кое-что задать.
А конкретно: способ измерять относительно неё длину и время или, что то же самое, координаты.
То есть, мы сначала задаём поле базисов $d\tau,б\;d\lambda$ в пространстве-времени лабораторной системы, а уже только потом относительно этого поля базисов строим координаты в пространстве-времени движущейся системы.
Система отсчёта -- это, матязыком говоря, поле базисов над пространством-временем (грассманово расслоение).
Но система отсчёта -- это не касательное расслоение: к каждой мировой точке приклеен только базис касательного пространства, а не оно целиком (ни в коем случае не выходите в него).
Самый важный момент во всём этом: не сначала заданы координаты, а потом по ним время, длина и система отсчёта, а сначала задана система отсчёта (грассманово расслоение), а уже только потом по нему время, длина и только потом координаты.

Ну вот, принцип, думаю ясен.
Если вы поняли то, что изложено, то двинем дальше в чарующий мир неголономных преобразований координат на примере парадокса Эренфеста.
Просто, осталось применить полученное понимание; в общем-то, лишь дело несложной техники.
Но я не двину дальше, пока не убежусь, что меня поняли хотябы в первом приближении правильно.

[obar]

(Оффтоп)

Так все хорошо начиналось: "У меня нет времени трепаться...", а вылилось в итоге в километровое "изьяснение" со вставками типа "мы все знаем, что это такое, правда ведь?" и пр. 90% всего текста -- чистой воды треп.

В чем собственно парадокс? Что в разных системах отчета вопрос о возможности синхронизации решается по разному? Да, это так. У Ландау так и написано: "однозначная синхронизация часов во всем пространстве возможна лишь в таких системах отчета, в которых все компоненты $g_{0\alpha}$ равны нулю". Например, в пространстве Минковского синхронизация не возможна во вращающихся системах отчета. Это выглядит парадоксальным? Не думаю.

[peregoudov]

zbl в сообщении #511021 писал(а):

И поверьте, так гораздо интереснее, чем обычные пляски глухарей.

Автор темы сам не из этой породы, не?

По теме: бессмысленная она. Все эти пляски вокруг систем отсчета, "физических" расстояний и промежутков времени --- бессмысленны. Физика начнется тогда, когда будет поставлена физическая задача. Например, о возникающих во вращающемся диске напряжениях. Или, видел картинку в одной популярной книжке, может ли диск от вращения деформироваться в чашу. Но до такой постановки вопроса автору темы и его обычным "оппонентам" --- как до Китая раком...

[obar]

peregoudov в сообщении #511184 писал(а):

Но мы только что получили дефект синхронизации для двух инерциальных систем отсчёта?
А тут замкнутых контуров нет...
Или это не аргумент? и дефект синхронизации должен быть равен нулю тождественно?...

Для 1+1 мерия синхронизация возможна в любых системах отчета. В данном случае реализуется ситуация, отмеченная у Ландау в сноске, "когда $g_{0i}$ могут быть обращены в нуль простым преобразованием временной координаты, не затрагивающим выбора пространственных координат".

[vicont]

zbl в сообщении #511021 писал(а):

Например, даже прежде, чем говорить "это не правильно", вы должны понять, что именно я утверждал-то, и более того: я должен убедиться, что вы поняли это правильно.

Вот как раз в плане "понять сказанное" несколько вопросов.

zbl в сообщении #511021 писал(а):

Рассмотрим две инерциальные системы отсчёта (мы все знаем, что это такое, правда ведь?), одна из которых движется относительно другой стандартным образом вдоль оси абсцисс.

ОК. Нет вопросов, две так две, инерциальные, так инерциальные...

zbl в сообщении #511021 писал(а):

Это движение можно задать следующим координатным преобразованием:
$x'=x+Vt;\;t'=t$
Я не зря так витиевато выразился...

А почему вы решили, что можно? Из исходных условий это абсолютно не следует.

zbl в сообщении #511021 писал(а):

Что мы проделали этим? -- мы расчертили пространство-время новыми координатами.

Это что, непонятно откуда появилась еще одна СО? Исходя из начальных условий пространство-время уже расчерчено двумя различными системами координат. Единственное, что вы сделали, это заявили какие наборы координат из этих двух систем координат соответствуют одной и той же точке пространства-времени.

zbl в сообщении #511021 писал(а):

ээта замена координат -- это переход к другой системе отсчёта, лишь $t$ и $x$ там не будут длиной и временем, а только координатным временем и пространственной координатой

Тоже загадочная фраза. Берем определения.
Координаты — величины, определяющие положение точки (тела) в пространстве (на плоскости, на прямой). Совокупность координат всех точек пространства является системой координат.
Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов.
Длина — физическая величина, числовая характеристика протяжённости линий.
Координата и длина это разные вещи по определению. Так что хоть там, хоть тут они не могут быть одним и тем же. Или вы пользуетесь какими то другими определениями?
А насчет времени, это слово такое многозначное. Может лучше говорить "временная координата"? Для уменьшения поводов для недопонимания.

zbl в сообщении #511021 писал(а):

Теперь нужно разобраться, почему $t$ и $x$ в движущейся системе не суть даже координаты.
Вообще-то, тут надо начать с того, что же такое координаты, но я пойду с конца -- так проще.

А что может быть проще, чем взять определение координат и показать, что $t$ и $x$ ему не удовлетворяют?

zbl в сообщении #511021 писал(а):

Но мы только что получили дефект синхронизации для двух инерциальных систем отсчёта?А тут замкнутых контуров нет...Или это не аргумент? и дефект синхронизации должен быть равен нулю тождественно?...

А почему вы не рассматриваете вариант, когда вдоль замкнутого контура дефект синхронизации меняет свою величину и знак? Тогда ведь при неравенстве его нулю тождественно на каждом участке контура, суммарный может вполне быть равен нулю.

zbl в сообщении #511021 писал(а):

Если у нас есть лабораторная инерциальная система отсчёта, то мы можем задать движение наблюдателей другой системы отсчёта относительно лабораторной.Но это всё, что можно; этого мало, чтобы до конца задать движущуюся систему.Нужно ещё кое-что задать.А конкретно: способ измерять относительно неё длину и время или, что то же самое, координаты.

А если есть две лаборатории, движущиеся относительно друг друга? То какая из них будет лабораторнее? И почему способ задания пространственных и временной координат, подходящий для одной лаборатории, не будет подходить для другой?
Ну, про координаты и длину я уже говорил, что у них разные определения, поэтому это не то же самое. В общем случае, разумеется. Если вы берете частный случай, то может вы его четко опишете, чтобы не теряться в догадках?

zbl в сообщении #511021 писал(а):

То есть, мы сначала задаём поле базисов $d\tau,б\;d\lambda$ в пространстве-времени лабораторной системы, а уже только потом относительно этого поля базисов строим координаты в пространстве-времени движущейся системы.

А если "движущиеся" наблюдатели решили построить СО, а "неподвижную" лабораторию еще не построили? Им тогда останется только повеситься? Почему построение СО должно зависеть от наличия другой СО?
И почему нельзя сначала приписать каждой точке пространства набор координат, а уже после этого определить алгоритм определения длин по этим координатам? Результат ведь получится один и тот же.

[epros]

zbl в сообщении #511021 писал(а):

Теперь нужно разобраться, почему $t$ и $x$ в движущейся системе не суть даже координаты.

Пока непонятно почему же это вдруг, читаем дальше.

zbl в сообщении #511021 писал(а):

...А какого же чёрта вы называете тогда $x$ координатой в движущейся системе? -- её там измерять ещё ой как надо сообразить, как.

Ага, а вот и "объяснение", которое мне, увы, ничего не объяснило. Ибо чтобы называть нечто координатой, вовсе не нужно это нечто как-то измерять. Координата - это всего лишь одно из чисел, любым образом приписанных событию пространства-времени с целью оное идентифицировать. Вам не нужно заморачиваться вопросами о том, откуда взялась координата, потому что она может взяться откуда угодно, например, она может быть результатом замены координат некой лабораторной СО, как Вы это продемонстрировали выше.

zbl в сообщении #511021 писал(а):

Самый важный момент во всём этом: не сначала заданы координаты, а потом по ним время, длина и система отсчёта, а сначала задана система отсчёта (грассманово расслоение), а уже только потом по нему время, длина и только потом координаты.

Этот тезис, опять же, непонятен. Совершенно не имеет значения что "сначала", а что "потом", ибо длины и промежутки времени не имеют прямого отношения к промежуткам координат - это совершенно разные вещи, и функции у них разные: Длины и промежутки времени являются результатом выполнения неких процедур измерения, а координаты событий всего лишь отражают некий способ их идентификации. Как измерение можно проделать, не привязываясь к конкретному способу идентификации событий пространства-времени, так и идентификацию событий пространства-времени можно выполнить, не привязываясь к результатам измерения длин и промежутков времени.

[Dolalex]

zbl в сообщении #511021 писал(а):

Часы не синхронизируются именно из-за него: он накапливается, когда мы синхронизируем часы вдоль линии, и, когда обойдём замкнутый контур, значения координатного времени в одной и той же точке не совпадут.

Вот в этом месте поподробнее...
Мы синхронизируем часы не вдоль линии, а в двух системах координат.
Дефект синхронизации накапливается по мере удаления начала отсчета движущейся системы координат вдоль линии.
Поскольку системы отсчета инерциальны, обойти замкнутый контур мы не можем.
Если мы откажемся от инерциальности, т.е. позволим одной из СО ускоряться, да еще применим преобразования Лоренца (для чистоты эксперимента), то, обойдя замкнутый контур, получим известный "парадокс близнецов".
Так?

[A-u-uuu]

zbl в сообщении #511021 писал(а):

мы сначала задаём поле базисов $d\tau, d\lambda$ в пространстве-времени лабораторной системы, а уже только потом относительно этого поля базисов строим координаты в пространстве-времени движущейся системы.

Меня две вещи интересуют : согласованность переходов: $(\tau',\lambda') \to (t',x')\to (t,x) \to (\tau,\lambda)$ туда и обратно, и второе - непрерывность переходов $(\tau_0, \lambda_0) \to (\tau_1, \lambda_1)$.

zbl в сообщении #511021 писал(а):

Система отсчёта -- это, матязыком говоря, поле базисов над пространством-временем (грассманово расслоение).

Если поприземленней, то СО - это пара СК $((t,x), (\tau, \lambda))$, а преобразования это отдельная песня. Так ?

zbl в сообщении #511021 писал(а):

Но система отсчёта -- это не касательное расслоение: к каждой мировой точке приклеен только базис касательного пространства, а не оно целиком (ни в коем случае не выходите в него)

Короче, переходы между $(t,x), (t',x')$ - координатами в физическом пространстве-времени голономны, а вот между координатами в собственном пространстве-времени $\tau, \lambda, \tau', \lambda '$ между СО - не голономны. Так ?

[Munin]

zbl в сообщении #511021 писал(а):

Там есть такая величина, которую я называю дефект синхронизации:
$\Delta t=-\frac{g_{tx} dx}{g_{tt}}=\frac{Vdx}{1-V^2}$
Часы не синхронизируются именно из-за него: он накапливается, когда мы синхронизируем часы вдоль линии, и, когда обойдём замкнутый контур, значения координатного времени в одной и той же точке не совпадут.

Вы можете привести подробные выкладки, приводящие у вас для вашей замены координат для замкнутого контура к ненулевому результату?

[zbl]

obar в сообщении #511198 писал(а):

Для 1+1 мерия синхронизация возможна в любых системах отчета. В данном случае реализуется ситуация, отмеченная у Ландау в сноске, "когда $g_{0i}$ могут быть обращены в нуль простым преобразованием временной координаты, не затрагивающим выбора пространственных координат".

Видимо, Вы хотя бы кое-что понимаете из сказанного мной.
Синхронизировать часы всегда можно вдоль незамкнутого контура, а в одномерном случае всё пространство -- это и есть незамкнутый контур, и поэтому всегда можно синхронизировать часы во всём пространстве.
Но "$g_{0i}$ могут быть обращены в нуль простым преобразованием временной координаты, не затрагивающим выбора пространственных координат" -- это немного не то, что упомянутое мной преобразование от $t',x'$ к $\tau,\lambda$.
Жаль, что Вы не выписали и явный вид преобразования "не затрагивающего выбора пространственных координат", которое обратит в нуль $g_{0i}$...
Я просил сосчитать $\Delta t$ для преобразования от $t',x'$ к $\tau,\lambda$, но меня бы устроило в этом плане и "не затрагивающего выбора пространственных координат".

[Munin]

zbl в сообщении #512270 писал(а):

Я просил сосчитать

А ваши расчёты можно увидеть?

[zbl]

vicont в сообщении #511237 писал(а):

zbl в сообщении #511021 писал(а):

Это движение можно задать следующим координатным преобразованием:
$x'=x+Vt;\;t'=t$
Я не зря так витиевато выразился...

А почему вы решили, что можно? Из исходных условий это абсолютно не следует.

Понять, что именно не понятно, тоже очень трудно...
Опорное преобразование представляет собой закон движения любого наблюдателя движущейся системы; это то и значит, что "задать движение этих наблюдателей".

vicont в сообщении #511237 писал(а):

Исходя из начальных условий пространство-время уже расчерчено двумя различными системами координат.

Вы перескочили этап, на котором оно расчерчивалось.
Эта ветка возникла из желания рассказать Someone (по его просьбе) о том, что такое система отсчёта.
Этот вопрос тут основной, парадокс Эренфеста -- только хороший повод и иллюстрация.

vicont в сообщении #511237 писал(а):

Координата и длина это разные вещи по определению.

Вы мне этим говорите, что, например, угол (координата в полярной системе координат) -- это не длина?
А цвет или запах могут служить координатами?

Я хочу, чтобы было понятно, о чём речь.
Вот ключевое диссонансное утверждение: декартовы координаты главнее полярных.
Длина главнее угла.
Когда транспортир изготавливается, он градуируется; нужно иметь эталон; либо эталон угла, либо эталон длины, либо оба сразу.
По стандарту (по закону) транспортиры градуируются по эталону длины; длина -- основная физвеличина, угол -- производная.
Можно угол выбрать основной; тогда длина будет производной.
Можно и угол, и длину сделать основными, но тогда нужно эталоны согласовывать между собой, и выбранная процедура согласования обязательно сделает один эталон основным, а другой -- производным; поэтому нет разницы.
Длина главнее угла только потому, что есть бумажка с печатью, что это так.
Но, пока закон в силе, чтобы уметь измерить угол, обязательно нужно уметь измерить длину, а не наоборот.
Конечно, можно основные величины поменять на другие, но это ничего не изменит.
То, что нельзя не сделать -- это выбрать какую-то величину в качестве основной, всё равно какую, но обязательно будет одна главная.
Вот так декартовы координаты становятся главнее остальных.

vicont в сообщении #511237 писал(а):

А насчет времени, это слово такое многозначное. Может лучше говорить "временная координата"? Для уменьшения поводов для недопонимания.

Я уже разделил это: истинное (физическое) время и временная координата, длина и пространственная координата.

vicont в сообщении #511237 писал(а):

А что может быть проще, чем взять определение координат и показать, что $t$ и $x$ ему не удовлетворяют?

А я уже это и сделал.
Проблема как раз в том, что Вы и, похоже, никто из присутствующих пока не заметил этого.

(Оффтоп)

В том социальный эксперимент и состоит, чтобы добиться понимания всего, что мною сказано, каждого слова.
И вот уже только потом о чём-то начинать беседовать.

vicont в сообщении #511237 писал(а):

А почему вы не рассматриваете вариант, когда вдоль замкнутого контура дефект синхронизации меняет свою величину и знак?

Потому что до вращающейся окружности я ещё не дошёл, а здесь замкнутых контуров нет.

vicont в сообщении #511237 писал(а):

А если есть две лаборатории, движущиеся относительно друг друга? То какая из них будет лабораторнее?

Лабораторной называют лишь ту, что больше нравится всем присутствующим (но все должны иметь в виду одну и ту же).
Координаты лабораторной системы я обозначаю буквами со штрихами: $t',x'$.

vicont в сообщении #511237 писал(а):

И почему способ задания пространственных и временной координат, подходящий для одной лаборатории, не будет подходить для другой?

Потому что одновременность относительна.
Но я думаю, Вам это пока ничего не скажет...

vicont в сообщении #511237 писал(а):

А если "движущиеся" наблюдатели решили построить СО, а "неподвижную" лабораторию еще не построили? Им тогда останется только повеситься?

Верно.
Одна система отсчёта не должна нуждаться в наличии другой.

vicont в сообщении #511237 писал(а):

И почему нельзя сначала приписать каждой точке пространства набор координат, а уже после этого определить алгоритм определения длин по этим координатам? Результат ведь получится один и тот же.

Попробуйте взять и руками это проделать, это "приписать".
Я где-то писал о разнице между координатами в физике и математике.
Надо сюда скопировать:

zbl где-то как offtopic писал(а):

Вот попросили мы математика нарисовать нам координатную сетку; как он будет делать?
Он возьмёт мел и нарисует нам на доске координатную сетку.
Теперь попросим физика.
Он возьмёт мел и нарисует нам на доске координатную сетку.
В чём разница в подходах?
А вот в чём: если уборщица вымоет доску, то другой математик не сможет нарисовать точно такую же сетку, как первый рисовал.
Физик же рисовал совсем не так, как математик, а именно так, что другой физик завсегда сможет нарисовать точно такую же сетку, как бы уборщица не старалась.
Вот в том и разница между координатами в математике и координатами в физике.

-- 07 дек 2011 02:03 --

epros в сообщении #511595 писал(а):

zbl в сообщении #511021 писал(а):

...А какого же чёрта вы называете тогда $x$ координатой в движущейся системе? -- её там измерять ещё ой как надо сообразить, как.

Ага, а вот и "объяснение", которое мне, увы, ничего не объяснило. Ибо чтобы называть нечто координатой, вовсе не нужно это нечто как-то измерять. Координата - это всего лишь одно из чисел, любым образом приписанных событию пространства-времени с целью оное идентифицировать.

Я выше в ответе vicont привёл цитату из себя о разнице между координатами в физике и математике.
Цвет и запах могут служить в качестве координат?

epros в сообщении #511595 писал(а):

Длины и промежутки времени являются результатом выполнения неких процедур измерения, а координаты событий всего лишь отражают некий способ их идентификации.

Эту точку зрения (которая не нова) можно развить в непротиворечивую философию (получится разновидность позитивизма).
Альтернативное определение координат таково: координаты -- это такой набор физвеличин, набор результатов измерения которых однозначно определяет место в пространстве и момент во времени.
Если Вам это определение не любо, то, в общем-то, никакой проблемы с длиной Вы ощущать не должны: для Вас не важно, как именно измеряются координаты, а потому невозможность измерять длину, конечно, никакой проблемы не ставит.

-- 07 дек 2011 02:06 --

Dolalex в сообщении #511613 писал(а):

Мы синхронизируем часы не вдоль линии, а в двух системах координат.
Дефект синхронизации накапливается по мере удаления начала отсчета движущейся системы координат вдоль линии.
Поскольку системы отсчета инерциальны, обойти замкнутый контур мы не можем.
Если мы откажемся от инерциальности, т.е. позволим одной из СО ускоряться, да еще применим преобразования Лоренца (для чистоты эксперимента), то, обойдя замкнутый контур, получим известный "парадокс близнецов".
Так?

Смысл сказанного Вами до меня не дошёл, по существу ничего ответить не смогу.

-- 07 дек 2011 02:09 --

Munin в сообщении #511853 писал(а):

Вы можете привести подробные выкладки, приводящие у вас для вашей замены координат для замкнутого контура к ненулевому результату?

Похоже, Вы даже не поняли предмета разговора.
До вращающейся окружности ещё семь вёрст лесом; речь шла только о двух инерциальных системах, в которых никаких замкнутых контуров нет.

-- 07 дек 2011 02:34 --

(Оффтоп)

В целом, результат социального эксперимента пока превосходный: вижу, хоть кто-то что-то понял.

Перечислю кратко ещё раз то, что я хотел бы, чтобы было понято.
а) Самое главное: сначала система отсчёта, потом длина, только потом координаты.
Это, вижу, совсем не понятно пока; пытался пояснить выше.
б) В координатном преобразовании $x'=x+Vt;\;t'=t$ буква $x$ -- это значение длины, измеренной в лабораторной, а не в движущейся системе, а значит не есть пространственная координата в ней (которая должна измеряться именно относительно движущейся системы).
Это, вроде, понято, но, видимо, вызывает пока когнитивный диссонанс.
в) Величина $\Delta t$ ключевая в вопросе о синхронизации часов.
В одномерном случае всегда можно синхронизировать часы во всём пространстве, но тогда $\Delta t$ должен быть тождественно нулевым.
Я сосчитал $\Delta t$ для преобразования от $t',x'$ к $t,x$ и попросил сосчитать то же самое для преобразования от $t',x'$ к $\tau,\lambda$.
obar подсказал мне, что существуют и другие подходящие для того координаты, причём они больше перекликаются с тем, что сказано в учебнике.
Но ни того, ни другого пока не сосчитано.
Разумеется, когда бы результат появился, я спросил: а каков физический смысл ненулевого значения $\Delta t$ у некоторых из координат?

-- 07 дек 2011 02:38 --

С парадоксом Эренфеста нам так или иначе придётся говорить об абсолютно твёрдых телах.
Давайте ка вспомним, что это такое и почему именно их не может быть в релятивистской механике.
Я писать устал, так что просил бы кого-нибудь этот момент кратко нам напомнить.

[obar]

zbl в сообщении #512270 писал(а):

Жаль, что Вы не выписали и явный вид преобразования "не затрагивающего выбора пространственных координат", которое обратит в нуль $g_{0i}$...

Преобразования вполне очевидны

$$ ds^2=g_{00}dt^2+2g_{01}dxdt+g_{11}dx^2=g_{00}\left(dt+\frac{g_{01}}{g_{00}}dx\right)^2+\left(g_{11}-\frac{g_{01}^2}{g_{00}}\right)dx^2 =g_{00}(dt')^2+\left(g_{11}-\frac{g_{01}^2}{g_{00}}\right)dx^2. $$

[epros]

zbl в сообщении #512294 писал(а):

Я выше в ответе vicont привёл цитату из себя о разнице между координатами в физике и математике.
Цвет и запах могут служить в качестве координат?

Цитату я что-то не очень понял. Почему это вдруг физик сможет нарисовать "ту же самую" координатную сетку, а математики нет?

Касательно цвета и запаха: Если очень хочется расширить понятие координат, то почему бы и нет? Но вообще-то под координатами обычно понимают N чисел, идентифицирующих точку пространства.

zbl в сообщении #512294 писал(а):

Альтернативное определение координат таково: координаты -- это такой набор физвеличин, набор результатов измерения которых однозначно определяет место в пространстве и момент во времени.

Ничего особо удивительного в таком определении я не вижу. Ну, величины, ну идентифицируют. Замечательно. А почему они вдруг должны быть однозначно сопоставимы с длинами и промежутками времении, кои, в отличие от координат, жёстко привязаны к некоему эталону?

[epros]

obar в сообщении #512321 писал(а):

zbl в сообщении #512270 писал(а):

Жаль, что Вы не выписали и явный вид преобразования "не затрагивающего выбора пространственных координат", которое обратит в нуль $g_{0i}$...

Преобразования вполне очевидны

$$ ds^2=g_{00}dt^2+2g_{01}dxdt+g_{11}dx^2=g_{00}\left(dt+\frac{g_{01}}{g_{00}}dx\right)^2+\left(g_{11}-\frac{g_{01}^2}{g_{00}}\right)dx^2 =g_{00}(dt')^2+\left(g_{11}-\frac{g_{01}^2}{g_{00}}\right)dx^2. $$

Кстати, вот здесь экстремальный пример двумерных координат, с синхронизацией которых путём замены переменной $t$ будут проблемы.